1、第十八章 平行四边形一、选择题 1.如图，在四边形 ABCD中， E、 F、 G、 H分别是 AB、 BD、 CD、 AC的中点，要使四边形 EFGH是菱形，则四边形 ABCD只需要满足一个条件，是( )A 四边形 ABCD是梯形B 四边形 ABCD是菱形C 对角线 AC BDD AD BC2.下列说法中错误的是( )A 平行四边形的对角线互相平分B 两组对边分别相等的四边形是平行四边形C 矩形的对角线相等D 有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形3.如图，平行四边形 ABCD的对角线交于坐标原点 O.若点 A的坐标为(4,2)，则点 C坐标为( )A (4，2)B (4,2)C (2
2、，4)D (2，4)4.如图，平行四边形 ABCD的周长是26 cm，对角线 AC与 BD交于点 O， ACAB， E是 BC中点， AOD的周长比 AOB的周长多3 cm，则 AE的长度为( )A 3 cmB 4 cmC 5 cmD 8 cm5.如图，四边形 ABCD的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD是平行四边形( )A OA OC， OB ODB BAD BCD， ABCDC ADBC， AD BCD AB CD， AO CO6.如图，在 ABC中， D， E分别是 AB， AC的中点， AC20 ， F是 DE上一点，连接 AF， CF， DF4.若 AFC90，则
3、 BC的长度为( )A 24B 28C 20D 127.正方形 ABCD中， P、 Q分别为 BC、 CD的中点，则 CPQ大小为( )A 50B 60C 45D 708.如图， ABC中， AB AC15， D在 BC边上， DEBA于点 E， DFCA交 AB于点 F，那么四边形 AFDE的周长是( )A 30B 25C 20D 15二、填空题 9.如图，将平行四边形的 ABCD的一边 BC延长至点 E，若 A110，则 DCE_.10.如图， AB BC， D在 ABC外角平分线上，且 CDBC， ABD的面积为12 cm2，则 BCD的面积为_ cm 2.11.如图，平行四边形 ABC
4、D的对角线交于点 O，且 AB6， OCD的周长为27，则平行四边形 ABCD的两条对角线的和是_12.四边形 ABCD中，对角线 AC、 BD相交于点 O，给出下列四个条件： ABCD； ADBC； OA OC； OB OD，从中任选两个条件，能使四边形 ABCD为平行四边形的选法有_种13.如图， ABC中， AB AC， D为 AB中点， E在 AC上，且 BEAC，若 DE5， AE8，则 BC的长度为_14.一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是53，则长边的长是_米15.如图，在 ABC中， D、 E、 F分别是各边的中点， AH是高， DHF50， DAF_.16
5、.如图，点 P为正方形 ABCD的对角线 BD上任一点，过点 P作 PEBC， PFCD，垂足分别为点 E、 F，连接 EF，下列结论 FPD是等腰直角三角形； AP EF； AD PD； PFE BAP，其中正确的结论是_( 请填序号)三、解答题 17.在 ABCD中， E为 BC边的中点，连接 DE并延长，交 AB边的延长线于点 F.(1)如图1，求证： BF AB；(2)如图2， G是 AB边的中点，连接 DG并延长，交 CB边的延长线于点 H，若四边形 ABCD为菱形，试判断 H与 F的大小，并证明你的结论18.如图， BM、 CN分别平分 ABC的外角 ABD、 ACE，过 A分别作
6、 BM、 CN的垂线，垂足分别为 M、 N，交 CB、 BC的延长线于 D、 E，连接 MN.求证： MN (AB BC AC)19.如图， ABC中， AB AC， E、 F分别是 BC、 AC的中点，以 AC为斜边作Rt ADC.(1)求证： FE FD；(2)若 CAD CAB24 ，求 EDF的度数20.小红同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1所示的四边形 ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证(1)在方框中填空，以补全已知求证；(2)按图2中小红的想法写出证明；(3)用文字叙述所证命题的逆命题为_ 21.如图， ABC中，点 O是
7、AC边上的一个动点，过点 O作直线 MNBC，交 ACB的平分线于点 E，交ACB的外角平分线于点 F.(1)判断 OE与 OF的大小关系？并说明理由；(2)当点 O运动到何处时，四边形 AECF是矩形？并说出你的理由；(3)在(2)的条件下，当 ABC满足什么条件时，四边形 AECF是正方形直接写出答案，不需说明理由22.如图，四边形 ABCD是平行四边形， BE、 DF分别是 ABC、 ADC的平分线，且与对角线 AC分别相交于点 E、 F.(1)求证： AE CF；(2)连接 ED、 FB，判断四边形 BEDF是否是平行四边形，说明理由答案解析1.【答案】D【解析】在四边形 ABCD中，
8、 E、 F、 G、 H分别是 AB、 BD、 CD、 AC的中点，EFAD， HGAD，EFHG；同理， HEGF，四边形 EFGH是平行四边形；A若四边形 ABCD是梯形时， ADCD，则 GHFE，这与平行四边形 EFGH的对边 GH FE相矛盾；故本选项错误；B若四边形 ABCD是菱形时，点 EFGH四点共线；故本选项错误；C若对角线 AC BD时，四边形 ABCD可能是等腰梯形，证明同A选项；故本选项错误；D当 AD BC时， GH GF；所以平行四边形 EFGH是菱形；故本选项正确；故选D.2.【答案】D【解析】A.对角线互相平分是平行四边形的一条重要性质，故该选项正确；B两组对边分
9、别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的定义，故该选项正确；C矩形的对角线相等，是矩形的重要性质，故该选项正确；D有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，而不是一般的四边形，故该选项错误故选D.3.【答案】A【解析】如图所示：四边形 ABCD是平行四边形，对角线交于原点 O，点 A与点 C关于原点 O对称，点 A(4,2)，点 C(4，2) 故选A.4.【答案】B【解析】 ABCD的周长为26 cm，AB AD13 cm， OB OD，AOD的周长比 AOB的周长多3 cm，(OA OD AD)( OA OB AB) AD AB3 cm，AB5 cm， AD8 cm.BC AD
10、8 cm.ACAB， E是 BC中点，AE BC4 cm；故选B.5.【答案】D【解析】A.根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，故此选项可以证明四边形 ABCD是平行四边形；B根据 ABCD可得： ABC BCD180， BAD ADC180，又由 BAD BCD可得： ABC ADC，根据两组对角对应相等的四边形是平行四边形可以判定；C根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形 ABCD是平行四边形；D AB CD， AO CO不能证明四边形 ABCD是平行四边形故选D.6.【答案】B【解析】如题图， AFC90， AE CE， AC20，EF AC10 ，又 DF4，
11、DE4 1014；D， E分别是 AB， AC的中点，DE为 ABC的中位线，BC2 DE28 ，故选B.7.【答案】C【解析】四边形 ABCD为正方形，BA DA BC CD，P、 Q分别为 BC、 CD的中点，DQ BP，CP CQ，C90，CPQ45，故选C.8.【答案】A【解析】 AB AC15， B C，由 DFAC，得 FDB C B，FD FB，同理，得 DE EC.四边形 AFDE的周长 AF AE FD DE AF FB AE EC AB AC151530.故选A.9.【答案】70【解析】平行四边形 ABCD的 A110，BCD A110 ，DCE180 BCD1801107
12、0.10.【答案 】12【解析】过 D作 DEAB于 E，D在 ABC外角平分线上，且 CDBC，DC DE，BCD的面积为 BCDC， ABD的面积为 ABDE，又 AB BC，BCD的面积与 ABD的面积相等为12 cm 2.故答案为12 cm 2.11.【答案 】42【解析】四边形 ABCD是平行四边形，AB CD6，OCD的周长为 27，OD OC27621，BD2 DO， AC2 OC，平行四边形 ABCD的两条对角线的和 BD AC2( DO OC)42.12.【答案 】6【解析】任取其中两个，可以得出“四边形 ABCD是平行四边形”这一结论的情况有；.13.【答案 】2【解析】
13、BEAC，AEB90，D为 AB中点，AB2 DE2510，AE8，BE 6.BC 2 ，14.【答案 】2.5【解析】设长边和短边长分别为5 xm,3xm，2(5x3 x)8，解得 x0.5，长边的长是2.5米15.【答案 】50【解析】如图 AHBC于 H，又 D为 AB的中点，DH AB AD，12，同理可证：3 4，1324，即 DHF DAF，DHF50，DAF50；16.【答案 】【解析】如图，P为正方形 ABCD的对角线 BD上任一点，PA PC， C90，过点 P作 PEBC于点 E， PFCD，PEC DFP PFC C90，四边形 PECF是矩形，PC EF，PA EF，故
14、正确，BD是正方形 ABCD的对角线，ABD BDC DBC45，PFC C 90，PFBC，DPF45，DFP90，FPD是等腰直角三角形，故 正确，在 PAB和 PCB中， ，PABPCB，BAP BCP，在矩形 PECF中， PFE FPC BCP，PFE BAP.故 正确，点 P是正方形对角线 BD上任意一点，AD不一定等于 PD，只有 BAP22.5时， AD PD，故错误，17.【答案 】(1)证明 四边形 ABCD是平行四边形，DC AB， DCAB，C EBF， CDE F，又 E是 CB的中点，CE BE，在 CDE和 BFE中，CDEBFE(AAS)，BF DC，BF AB
15、；(2)解 F H，证明：四边形 ABCD是平行四边形，ADCB，ADH H，四边形 ABCD是菱形，AD DC CB AB， A C，E、 G分别是 CB、 AB的中点，AG CE，在 ADG和 CDE中，ADGCDE(SAS)，CDE ADG，H F.【解析】(1)根据平行四边形性质推出 DC AB， DCAB，得出 C EBF， CDE F，根据AAS证CDEBFE即可；(2)根据菱形的性质推出 AD CD， AG CE， A C，推出 ADGCDE，得出 CDE ADG，根据平行线性质推出 CDE F， ADH H，即可得到答案18.【答案 】证明 AMBM，AMB DMB90，BM平
16、分 ABD，ABM DBM，在 ABM与 DBM中，AMB DMB，BM BM，ABM DBM，ABMDBM(ASA)，AB DB， AM DM，同理： AN EN， AC CE，MN DE (DB BC CE) (AB BC AC)【解析】首先通过 ABMDBM，得到 AB DB， AM DM，同理： AN EN， AC CE，再根据三角形的中位线定理即可得到结果19.【答案 】(1)证明 E、 F分别是 BC、 AC的中点，FE AB，F是 AC的中点， ADC90，FD AC，AB AC，FE FD；(2)解 E、 F分别是 BC、 AC的中点，FEAB，EFC BAC24，F是 AC的
17、中点， ADC90，FD AF.ADF DAF24，DFC48 ，EFD72，FE FD，FED EDF54.【解析】(1)根据三角形的中位线定理得到 FE AB，根据直角三角形的性质得到 FD AC，等量代换即可；(2)根据平行线的性质得到 EFC BAC24，根据直角三角形的性质得到 DFC48，根据等腰三角形的性质计算即可20.【答案 】(1)解 已知：如图 1，在四边形 ABCD中， BC AD， AB CD求证：四边形 ABCD是平行四边形，故答案为 CD，平行；(2)证明 连接 BD，在 ABD和 CDB中，ABDCDB(SSS)ADB DBC， ABD CDB，ABCD， ADC
18、B，四边形 ABCD是平行四边形；(3)用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等故答案为平行四边形两组对边分别相等【解析】(1)命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，根据题设可得已知：在四边形 ABCD中， BC AD， AB CD，求证：四边形 ABCD是平行四边形；(2)连接 BD，利用 SSS定理证明 ABDCDB可得 ADB DBC， ABD CDB，进而可得 ABCD， ADCB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形 ABCD是平行四边形；(3)把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对
19、边分别相等21.【答案 】解 (1) MNBC，OEC ECB，CE平分 ACB，ACE ECB，OEC ACE，OE OC，同理可得： OC OF，OE OF；(2)当 O为 AC中点时，四边形 AECF是矩形；理由如下：OA OC， OE OF(已证) ，四边形 AECF是平行四边形，EC平分 ACB， CF平分 ACG，ACE ACB， ACF ACG，ACE ACF (ACB ACG) 18090，即 ECF90 ，四边形 AECF是矩形；(3)当 ABC是直角三角形时，即当 ACB90时，四边形 AECF是正方形；理由：由(2)得，当点 O为 AC的中点时，四边形 AECF是矩形，A
20、CB90， CE平分 ACB，ACE ECB45，OEC ECB45 ，EOC90，ACEF，四边形 AECF是正方形【解析】(1)利用平行线的性质，得 OEC ECB，根据角平分线的定义可知： ACE ECB，由等量代换和等角对等边，得 OE OC，同理： OC OF，可得结论；(2)先根据对角线互相平分证明四边形 AECF是平行四边形，再由角平分线可得： ECF90，利用有一个角是直角的平行四边形可得结论；(3)由(2)可知，当点 O为 AC的中点时，四边形 AECF是矩形，再证明 ACEF，即可得出答案22.【答案 】(1)证明 四边形 ABCD是平行四边形，AB CD， ABC CDA
21、， ABCD， BAC DCA，BE、 DF分别是 ABC、 ADC的平分线，ABE ABC， CDF ADC，ABE CDF，ABECDF(ASA)，AE CF；(2)解 是平行四边形；连接 BD交 AC于 O，四边形 ABCD是平行四边形，AO CO， BO DOAE CF，AO AE CO CF.即 EO FO.四边形 BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) 【解析】(1)根据角平分线的性质先得出 BEC DFA，然后再证 ACB CAD，再证出 ABECDF，从而得出 AE CF；(2)连接 BD交 AC于 O，则可知 OB OD， OA OC，又 AE CF，所以 OE OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明