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人教版八年级下册第十七章《勾股定理》单元培优练习题(含答案)

1、勾股定理 单元培优练习题一选择题1下列命题中,是假命题的是( )A有一个内角等于 60的等腰三角形是等边三角形B在直角三角形中,斜边上的高等于斜边的一半C在直角三角形中,最大边的平方等于其他两边的平方和D三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等2下列各组数中,能构成直角三角形的是( )A4,5,6 B1,1, C6,8,11 D5,12,233如图,在 ABC 中, ACB90, AC8, AB10, CD AB 于 D,则 CD 的长是( )A6 B C D4有一个三角形两边长为 4 和 5,要使三角形为直角三角形,则第三边长为( )A3 B C3 或 D以上都不对5如图是我国古代著名的“

2、赵爽弦图”的示意图,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成,其中AE5, BE12,则 EF 的长是( )A7 B8 C7 D76在下列各组数中,是勾股数的是( )A1、2、3 B2、3、4 C3、4、5 D4、5、67在同一平面上把三边 BC3, AC4, AB5 的三角形沿最长边 AB 翻折后得到 ABC,则 CC的长等于( )A B C D8如图, ABC 的顶点 A, B, C 在边长为 1 的正方形网格的格点上, BD AC 于点 D,则 BD 的长为( )A B C D9 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形

3、和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a,较短直角边长为 b若 ab8,大正方形的面积为 25,则小正方形的边长为( )A9 B6 C4 D310从电线杆离地面 8 米处拉一根长为 10m 的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有( )mA2 B4 C6 D811如图,某同学在做物理实验时,将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中,已知烧杯高 8cm,玻璃棒被水淹没部分长 10cm,这只烧杯的直径约是( )A9 cm B8 cm C7 cm D6 cm12若 ABC 的三边 a、 b、 c 满足( a b) 2+|a2+b2 c2|0,则 ABC 是( )A 等腰三

4、角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形二填空题13直角三角形两条边的长度分别为 3cm,4 cm,那么第三条边的长度是 cm14若 ABC 得三边 a, b, c 满足( a b) ( a2+b2 c2)0,则 ABC 的形状为 15已知 a, b 是互质的正整数,且 a+b,3 a, a+4b 恰为一直角三角形的三条边长,则 a+b 的值等于 16如图,在 Rt ABC 中, A90, AB AC4 ,点 D 为 AC 的中点,点 E 在边 BC 上,且 ED BD,则 CDE 的面积是 17将勾股数 3,4,5 扩大 2 倍,3 倍,4 倍,可以得到勾股数6,8,10;9

5、,12,15;12,16,20;,则我们把 3,4,5 这样的勾股数称为基本勾股数,请你也写出三组基本勾股数 , , 18将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起,若 AB20 cm,则阴影部分的面积是 cm219三角形的三边长 a, b, c 满足 2ab( a+b) 2 c2,则此三角形的形状是 三角形20若 3,4, a 和 5, b,13 是两组勾股数,则 a+b 的值是 21如图,小正方形边长为 1,则 ABC 中 AC 边上的高等于 22如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ABCD,中间阴影部分是一个小正方形 EFGH,这样就组成一个“赵爽弦图” 若 AB5, AE4,则正方形

6、 EFGH 的面积为 三解答题23在 ABC 中, ACB90, AC5, AB BC+1,求 Rt ABC 的面积24如图,在 ABD 中, D90, C 是 BD 上一点,已知 BC9, AB17, AC10,求 AD 的长25操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为 a、 b、 c(如图) ,分别用 4 张这样的直角三角形纸片拼成如图的形状,图中的两个小正方形的面积 S2、 S3与图中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到 a、 b、 c 之间有什么关系?26观察下表 列 举 猜 想3、4、5 324+55、12、13 5212+137、24、25 7224+25 13

7、、 b、 c 132 b+c请你结合该表格及相关知识,求出 b, c 的值,并验证 13, b, c 是否是勾股数?27如图(1) ,是两个全等的直角三角形(直角边分别为 a, b,斜边为 c) (1)用这样的两个三角形构造成如图(2)的图形,利用这个图形,证明: a2+b2 c2;(2)用这样的两个三角形可以拼出多种四边形,画出周长最大的四边形;当 a2, b4 时,求这个四边形的周长参考答案一选择题1解: A、等腰三角形底角相等,若底角为 60,则顶 角为 180606060,若顶角为 60,则底角为 60,所以有一个角为 60的等腰三角形即为等边三角形,故 A 选项正确;B、直角三角形中

8、斜边的中线等于斜边的一半,只有在等腰直角三角形中斜边的高与斜边的中线才会重合,故 B 选项错误;C、在直角三角形中,最大的边为斜边,根据勾股定理可知斜边长的平方的等于两直角边长平方的和,故C 选项正确;D、过三角形角平分线的交点作各边的垂线,则三角形分成 3 对小三角形,其中各顶点所在的两个直角三角形全等,即过角平分线作的高线相等,故 D 选项正确;即 B 选项中命题为假命题,故选: B2解: A、4 2+526 2,不能构成直角三角形,故 A 错误;B、1 2+12 ,能构成直角三角形,故 B 正确;C、6 2+8211 2,不能构成直角三角形,故 C 错误;D、5 2+12223 2,不能

9、构成直角三角形,故 D 错误故选: B3解: ACB90, AC8, AB10, BC 6, ABC 的面积 ABCD ACBC,即 10CD 86,解得, CD ,故选: C4解:当长为 4 和 5 的两边都是直角边时,斜边是: ;当长是 5 的边是斜边时,第三边是: 3第三边长是: 或 3故选: C5解: AE5, BE12,即 12 和 5 为两条直角边长时,小正方形的边长1257, EF ;故选: C6解: A、1 2+2253 2,不是勾股数,故本选项不符合题意B、2 2+32134 2,不是勾股数,故本选项不符合题意C、3 2+425 2,是勾股数,故本选 项符合题意D、4 2+5

10、2416 2,不是勾股数,故本选项不符合题意故选: C7解:如图所示,连接 CC,根据对称的性质可知 CC AB,且 CC2 CE, ACBC ABCE, CE , CC2 CE 故选: D8解:如图所示:S ABC BCAE BDAC, AE4, AC 5, BC4即 44 5BD,解得: BD 故选: C9解:由题意可知:中间小正方形的边长为: a b,每一 个直角三角形的面积为: ab 84,4 ab+( a b) 225,( a b) 225169, a b3,故选: D10解:由题意得,在 Rt ABC 中, AC8, AB10,所以 BC 6故选: C11解:由题意,可得这只烧杯的

11、直径是: 6( cm) 故选: D12解:( a b) 2+|a2+b2 c2| 0, a b0, a2+b2 c20,解得: a b, a2+b2 c2, ABC 的形状为等腰直角三角形;故选: C二填空题(共 10 小题)13解:当这个直角三角形的两直角边分别为 3cm,4 cm 时,则该三角形的斜边的长为: 5( cm) 当这个直角三角形的一条直角边为 3cm,斜边为 4cm 时,则该三角形的另一条直角边的长为: ( cm) 故答案为 :5 或 14解:( a b) ( a2+b2 c2)0, a b 或 a2+b2 c2当只有 a b 成立时,是等腰三角形当只有第二个条件成立时:是直角

12、三角形当两个条件都成立时:是等腰直角三角形15解:在直角三角形中, (1)若 a+4b 为斜边,则( a+4b) 2( a+b) 2+9a29 a26 ab15 b20, ( a+b) (3 a5 b)0 a+b0,且 a, b 互质, a5, b3三条边长分别为 8,15,17, a+b8(2)若 3a 为斜边,则 9a2( a+b) 2+( a+4b) 2,7 a210 ab17 b20,( a+b) (7 a17 b)0 a+b0,7 a17 b, a, b 互质, a17, b7三条边长分别为 24,45,51, a+b24综上得 a+b8或 a+b2416解:点 D 为 AC 的中点

13、故 AD DC AC2 ,S ABD S BDC S ABC12,由勾股定理得 BC 4 ,过 D 点作 DF 垂直于 BC 于 F 点,DF ,BD2 AD2+AB212+4860,BD2 ,由勾股定理得 BF 3 ,由射影定理得 BD2 BFBE, BE CE BC BE4 ,S CDE CEDF 2故答案为:217解:符合 a2+b2 c2即可,例如 5,12,13;8,15,17;9,40,41 (答案不唯一)18解: B30, ACB90, AB20 cm, AC10 cm AED ACB90, BC ED, AFC ADE45, AC CF10 cm故 S ACF 101050(

14、cm2) 故答案为 5019解:2 ab( a+b) 2 c2,2 ab a2+2ab+b2 c2, a2+b2 c2,三角形的三边长 a, b, c 满足 2ab( a+b) 2 c2,此三角形是直角三角形,故答案为:直角20解:3,4, a 和 5, b,13 是两组勾股数, a5, b12, a+b17,故答案为:1721解:过 B 作 BG AC,交 AC 于点 G,在 Rt ACF 中, AF2, CF1,根据勾股定理得: AC , S ABC S 正方形 AFED S BCE S ABD S ACF4 112 21 ,S ABC ACBG, BG ,则 BG 故答案为:22解:直角

15、三角形直角边的较短边为 3,正方形 EFGH 的面积55432425241故答案为:1三解答题(共 5 小题)23解:如图所示:设 AB x,则 BC x1,故在 Rt ACB 中,AB2 AC2+BC2,故 x25 2+( x1) 2,解得; x13,即 AB13 BC12, S ABC AC BC 5123024解:设 CD x,则 BD BC+CD9+ x在 ACD 中, D90, AD2 AC2 CD2,在 ABD 中, D90, AD2 AB2 BD2, AC2 CD2 AB2 BD2,即 102 x217 2(9+ x) 2,解得 x6, AD210 26 264, AD8故 AD 的长为 825解:分别用 4 张直角三角形纸片,拼成如图 2、图 3 的形状,观察图 2、图 3 可发现,图 2 中的两个小正方形的面积之和等于图 3 中的小正方形的面积,即 S2+S3 S1,这个结论用关系式可表示为 a2+b2 c226解:根据图表,由图可得规律: ,解得 所以 b84; c8513 2+8427225,85 27225,13,84,85 是勾股数27解(1)由图可得: ,整理得: ,整理得: a2+b2 c2;(2)当 a2, b4 时,根据勾股定理得: ;如图 1:则四边形的最大周长为 2b+2c