1、第十七章 勾股定理一、选择题 1.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，这里的水深为( )A 1.5米B 2米C 2.5米D 1米2.如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 S1、 S2、 S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为 S4、 S5、 S6.其中S116， S245 ， S511， S614，则 S3 S4等于( )A 86B 64C 54D 483.如图表示的是一个十字路口， O是两条公路的交点，点 A、 B、 C、 D表示的是公路上
2、的四辆车，若 OC 8 cm， AC17 cm ， AB5 cm， BD10 m，则 C， D两辆车之间的距离为( )A 5 mB 4 mC 3 mD 2 m4.如图是由三个棱长均为1的正方体箱子堆积而成的几何体，在底端的顶点 A处有一只蚂蚁，它想吃到顶端的顶点 B处的食物，则它沿该几何体表面爬行的最短路程等于( )AB 2 1CD 55.如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长 AD80 cm，高 AB60 cm，水深为 AE40 cm，在水面上紧贴内壁 G处有一鱼饵， G在水面线 EF上，且 EG60 cm；一小虫想从鱼缸外的 A点沿壁爬进鱼缸内 G处吃鱼饵，则小动物爬行的最短路线长为( )A
3、 40 cmB 60 cmC 80 cmD 100 cm6.三角形三边长为6、8、10，那么最长边上的高为( )A 6B 4.5C 4.8D 87.如图，梯子 AB靠在墙上，梯子的底端 A到墙根 O的距离为 2 m，梯子的顶端 B到地面的距离为7 m，现将梯子的底端 A向外移动到 A，使梯子的底端 A到墙根 O的距离等于3 m，同时梯子的顶端 B下降至 B，那么 BB( )A 小于1 mB 大于1 mC 等于1 mD 小于或等于1 m8.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是 ( )A 5 mB 12 mC 13 mD 18
4、m二、填空题 9.直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为_10.一个三角形的三边长之比为512 13，它的周长为120，则它的面积是_11.如图，分别以 ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4、5、9，则 ABC_直角三角形(填“是”或“ 不是 ”)12.如图， AD8， CD6， ADC90， AB26， BC24 ，该图形的面积等于_13.中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法在图1中，小正方形 ABC
5、D的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形 A1B1C1D1，则正方形 A1B1C1D1的面积为_；再把正方形 A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形 A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形 AnBnCnDn的面积为_( 用含 n的式子表示， n为正整数)14.如图，四边形 ABCD中， ABAD于 A， AB8 ， AD 8 ， BC7， CD25，则四边形 ABCD的面积为_15.如图，以直角 ABC的三边向外作正方形，其面积分别为 S1， S2， S3且 S14， S28，则 S3_.16.在 ABC中，已知 AB BC CA4 cm，点 P、 Q分别从 B
6、、 C两点同时出发，其中点 P沿 BC向终点 C运动，速度为1 cm/s；点 Q沿 CA、 AB向终点 B运动，速度为2 cm/s，设它们运动的时间为 x(s)，当 x_， BPQ是直角三角形三、解答题 17.如图所示的一块地， AD9 m， CD12 m， ADC90， AB39 m， BC36 m，求这块地的面积18.如图，在 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60 方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到 M岛，乙船到 P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？19.在 ABC中， AB15， BC14， AC13，求 ABC
7、的面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程20.为了弘扬“社会主义核心价值观”，乐至县政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端 D距广告牌立柱距离 CD为3米，从 D点测得广告牌顶端 A点和底端 B点的距离分别是5米和3 米(1)求公益广告牌的高度 AB；(2)求 BDC的度数21.阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才
8、能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形矩 得到的一条直角边 勾等于3，另一条直角边 股等于4的时候，那么它的斜边弦 就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵 ”任务：(1)上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做_定理；(2)请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点 A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B处，求问题中葛藤的
9、最短长度是多少尺答案解析1.【答案】A【解析】设水深为 h米，则红莲的高( h1) 米，且水平距离为2米，则( h1) 22 2 h2，解得 h1.5.故选A.2.【答案】C【解析】如图1， S1 AC2， S2 AB2， S3 BC2，BC2 AB2 AC2，S2 S1 S3，如图2， S4 S5 S6，S3 S44516111454.故选C.3.【答案】D【解析】在Rt AOC中， OA2 OC2 AC2，OA 15(m) ，OB OA AB20 m，在Rt BOD中， BD2 OB2 OD2，OD 10(m) ，CD OD OC2 m，故选D.4.【答案】A【解析】如图所示，由图可知，
10、AB .故选A.5.【答案】D【解析】如图所示作点 A关于 BC的对称点 A，连接 AG交 BC与点 Q，小虫沿着 A Q G的路线爬行时路程最短在直角 AEG中， AE80 cm， EG60 cm，AQ QG AQ QG AG 100 cm.最短路线长为100 cm.故选D.6.【答案】C【解析】6 28 210 2，这个三角形是直角三角形，最长边上的高为6810 4.8.故选C.7.【答案】A【解析】在直角三角形 AOB中，因为 OA2， OB7，由勾股定理，得 AB ，由题意可知 AB AB ，又 OA3，根据勾股定理得 OB ，BB7 1.故选A.8.【答案】D【解析】旗杆折断后，落地
11、点与旗杆底部的距离为12 m，旗杆离地面5 m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形根据勾股定理，折断的旗杆为 13 m，所以旗杆折断之前高度为13 m 5 m 18 m.故选D.9.【答案】6【解析】直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，另一直角边长为 4.该直角三角形的面积 S 346.10.【答案 】480【解析】设三边的长是5 x,12x,13x，则5 x12 x13 x120，解得 x4，则三边长是20,48,52.20248 252 2，三角形是直角三角形，三角形的面积是 2048480.11.【答案 】是【解析】由分别以 ABC的三边为直径向外作3
12、个半圆，它们的面积分别为4、5、9，得BC2 AC2 AB2，则 ABC是直角三角形12.【答案 】96【解析】连接 AC，在Rt ACD中， AD8， CD6，AC 10，在 ABC中，AC2 BC210 224 226 2 AB2，ABC为直角三角形；图形面积为S ABC S ACD 1024 6896.13.【答案 】5 5 n【解析】已知小正方形 ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后， AA1B1的面积是1，新正方形 A1B1C1D1的面积是5 ，从而正方形 A2B2C2D2的面积为 55255 2，正方形 AnBnCnDn的面积为5 n.14.【答案 】8496【解析】连接 B
13、D，ABAD，A90 ，BD24，BC2 BD27 224 262525 2 CD2，CBD为直角三角形，S四边形 ABCD S ABD S BCD 8 8 24796 84.15.【答案 】12【解析】 ABC直角三角形，BC2 AC2 AB2，S1 BC2， S2 AC2， S3 AB2， S14， S28，S3 S1 S212.16.【答案 】2或【解析】根据题意，得 BP tcm， CQ2 tcm， BQ(8 2 t) cm，若 BPQ是直角三角形，则 BPQ90 或 BQP90，当 BPQ90时，Q在 A点， CQ CA4 cm ，422(s) ；当 BQP90时， B60，BPQ9
14、0 6030，BQ BP，即82 t t，解得 t ，故当 t 2或 秒时， BPQ是直角三角形17.【答案 】解 连接 AC，则在Rt ADC中，AC2 CD2 AD212 29 2225，AC15，在 ABC中， AB21521，AC2 BC215 236 21521，AB2 AC2 BC2，ACB90，S ABC S ACD ACBC ADCD 1536 12927054216.答：这块地的面积是216平方米【解析】连接 AC，运用勾股定理逆定理可证 ACD， ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差18.【答案 】解 BM82 16海里，BP1
15、5230海里，在 BMP中， BM2 BP22569001156， PM21156，BM2 BP2 PM2，MBP90，180906030，故乙船沿南偏东30方向航行【解析】先根据路程速度时间，求出 BM， BP的长，再根据勾股定理的逆定理得到 MBP90，进一步即可求解19.【答案 】解 如图，在 ABC中， AB15， BC14， AC13，设 BD x，则 CD14 x，由勾股定理，得 AD2 AB2 BD215 2 x2， AD2 AC2 CD213 2(14 x)2，故15 2 x213 2(14 x)2，解之得 x9.AD12.S ABC BCAD 141284.【解析】根据题意利
16、用勾股定理表示出 AD2的值，进而得出等式求出答案20.【答案 】解 (1) 在直角三角形 ADC中，AC 4(m)，在直角三角形 BDC中，BC 3(m)，故 AB AC BC1(米)，答：公益广告牌的高度 AB的长度为 1 m；(2)在直角三角形 BDC中， BC CD3 m，DBC是等腰直角三角形，BDC45.【解析】(1)直接利用勾股定理得出 AC的长，进而得出 BC的长即可得出 AB的长；(2)利用已知结合(1) 中所求得出 DBC是等腰直角三角形，进而得出答案21.【答案 】解 (1) 上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做勾股定理；故答案是勾股；(2)如图，一条直角边(即枯木的高 )长20尺，另一条直角边长5315(尺)，因此葛藤长为 25(尺)答：问题中葛藤的最短长度是25尺【解析】(1)根据勾股定理的概念填空；(2)这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出