1、上海市各区 2018 届中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题宝山区、嘉定区24 （本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分）已知平面直角坐标系 xOy（如图 7） ，直线 mxy的经过点 )0,(A和点 )3,(nB.（1）求 m、 n的值；（2）如果抛物线 cb2经过点 A、 B，该抛物线的顶点为点 P，求ABPsi的值；（3）设点 Q在直线 xy上，且在第一象限内，直线 mxy与 y轴的交点为点 D，如果 DO，求点 的坐标.24.解：（1） 直线 mxy的经过点 )0,4(A 041 分 1 分直线 xy的经过点 )3,(nB 3n1 分 1
2、1 分（2）由可知点 B的坐标为 ),1(抛物线 cbxy2经过点 A、 B 31046c b， 8抛物线 cbxy2的表达式为 862xy1 分抛物线 6的顶点坐标为 )1,3(P1 分 3AB, P, 5B 22 901 分图 7O xy PBAsin 10 1 分（3）过点 Q作 xH轴，垂足为点 H，则 Q y轴 DOA, BO B 1 分直线 4xy与 y轴的交点为点 D点 的坐标为 ),0(, 4又 1OB， 2 5Q， 1 分 3A 8, 4D H y轴 284Q 1 分即点 的纵坐标是又点 在直线 4xy上点 的坐标为 )8,(1 分长宁区24 （本题满分 12 分，第（1）小
3、题 4 分，第（2）小题 3 分，第（3）小题 5 分）如图在直角坐标平面内，抛物线 bxay与 y 轴交于点 A，与 x 轴分别交于点B（-1，0） 、点 C（3，0） ，点 D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；（2）联结 AD、 DC，求 A的面积；（3）点 P 在直线 DC 上，联结 OP，若以 O、 P、 C 为顶点的三角形与 ABC 相似，求点 P的坐标24.（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 3 分，第（3）小题 5 分）解：（1） 点 B（-1，0） 、 C（3，0）在抛物线 2bxay上 39ba，解得 2ba （ 2 分）抛物线
4、的表达式为 3xy，顶点 D 的坐标是（1，-4） （ 2 分）（2） A（0，-3） ， C（3，0） ， D（1，-4） 3AC， 5， 2AD 2D 90 （ 2 分） .21SAC （1 分）（3） OB， AO， CAD AOB， AD OA=OC， 90 45C C，即 BD （ 1 分）若以 O、 P、 C 为顶点的三角形与 ABC 相似 ，且 ABC 为锐角三角形 则 也为锐角三角形，点 P 在第四象限由点 C（3，0） ， D（1，-4）得直线 CD 的表达式是 62xy，设)62,(t（ 3t）过 P 作 PH OC， 垂足为点 H，则 tO， t当 ABO时,由 ABCP
5、anta得 OHP，备用图第 24 题图 326t，解得 56t， )518,(P （2 分）当 ACBPO时,由 145tantatanACBO得 OHP， 1t，解得 2t， ),( （ 2 分）综上得 )58,6(或 ,崇明区24 （本题满分 12 分，第(1)、(2)、(3)小题满分各 4 分）已知抛物线经过点 (0,3)A、 (4,1)B、 (3,0)C（1）求抛物线的解析式；（2）联结 AC、 BC、 AB，求 的正切值；（3）点 P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点 P 作 GA交 y轴于点 G，当点G在点 A的上方，且 APG 与 B 相似时，求点 P 的坐标24 （本题
6、满分 12 分，每小题 4 分）解：（1）设所求二次函数的解析式为 2(0)yaxbc，1 分将 A（ 0,3） 、 B（ 4， ） 、 C（ 3,0）代入，得 1641,93.c解得1253abc2 分（第 24 题图）yxABCO所以，这个二次函数的解析式为 2153yx 1 分（2） A（ 0,3） 、 B（ 4， ） 、 C（ ,0） 2C， ， A 2 90AB 2 分 132tanC 2 分（3）过点 P 作 Hy 轴 ，垂足为 H设 215(,3)x，则 215(0,3)x A（ 0, ） 215Hx， Px 90CBG 当APG 与ABC 相似时，存在以下两种可能：1 PA 则
7、 13tanPAGtCB 即 13H 2153x 解得 x 1 分点 P的坐标为 (,6) 1 分2 AGBC 则 3tanPAGtBC 即 3H 2315x 解得 17x 1 分点 P的坐标为 74(,)39 1 分奉贤区24 （本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）已知平面直角坐标系 xOy（如图 8） ，抛物线 )0(322mxy与 x轴交于点 A、 B（点 A 在点 B 左侧） ，与 轴交于点 C，顶点为 D，对称轴为直线，过点 C 作直线的垂线，垂足为点 E，联结 DC、 BC （1）当点 C（0，3）时， 求这条抛物线的表达式和顶点坐标； 求证： DCE= BCE； （2）当
8、CB 平分 DCO 时，求 m的值图 8x yo11黄浦区24 （本题满分 12 分）已知抛物线 2yxbc经过点 A（1,0）和 B（0,3） ，其顶点为 D.（1）求此抛物线的表达式；（2）求 ABD 的面积；（3）设 P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作 PH对称轴，垂足为 H，若 DPH 与 AOB 相似，求点 P 的坐标.24. 解：（1）由题意得： 013bc，（2分）解得： 43bc， （1 分）所以抛物线的表达式为 243yx. （1 分）（2）由（1）得 D（2，1） ，（1 分）作 DT y 轴于点 T,则 ABD 的面积= 114321.（3 分）（3）令 P
9、2,pp.（1分）由 DPH 与 AOB 相似，易知 AOB= PHD=90，所以2431p或2431p，（2分）解得： 5p或 73，所以点 P 的坐标为（5,8） ， 8,9.（1 分）金山区24 （本题满分 12 分，每小题 4 分）平面直角坐标系 xOy 中（如图 8） ，已知抛物线 2yxbc经过点 A（1,0）和B（3,0） ，与 y 轴相交于点 C，顶点为 P （1）求这条抛物线的表达式和顶点 P 的坐标； （2）点 E 在抛物线的对称轴上，且 EA=EC，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线 MN，点 Q 在直线 MN 右侧的抛物线上， MEQ= N
10、EB，求点 Q 的坐标24解：（1）二次函数 2yxbc的图像经过点 A（1，0）和 B（3，0） ，图 8 1093bc，解得： 4b， 3c （2 分）这条抛物线的表达式是 2yx（1 分）顶点 P 的坐标是（2，-1） （1 分）（2）抛物线 43yx的对称轴是直线 ，设点 E 的坐标是（2， m） （1 分）根据题意得： 2222(1)(0)()(3)m，解得： m=2，（2分）点 E 的坐标为（2，2） （1 分）（3）解法一：设点 Q 的坐标为 2(,43)tt，记 MN 与 x 轴相交于点 F作 QD MN，垂足为 D， 则 2t， 221tt（1 分） QDE= BFE=90，
11、 QED= BEF， QDE BFE，（1 分） QEBF，241tt，解得 1t（不合题意，舍去） ， 25t（1 分） 5，点 E 的坐标为（5，8） （1 分）解法二：记 MN 与 x 轴相交于点 F联结 AE，延长 AE 交抛物线于点 Q， AE=BE， EF AB， AEF=NEB ，又 AEF=MEQ ， QEM=NEB ，（1 分）点 Q 是所求的点，设点 Q 的坐标为 2(,43)tt，作 QH x 轴，垂足为 H，则 QH= ， OH=t， AH=t-1， EF x 轴， EF QH， EFA， 2143tt，（1 分）解得 1t（不合题意，舍去） ， 25t（1 分） 5，
12、点 E 的坐标为（5，8） （1 分）静安区24 （本题满分 12 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 4 分，第（3）小题满分 4分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B（8,0）和点 C（9， ） 抛物线xBC第 24 题图Oycaxy82（ a， c 是常数， a0）经过点 B、 C，且与 x 轴的另一交点为 A对称轴上有一点 M ，满足 MA=MC（1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形 ABCM 的面积； （3） 如果坐标系内有一点 D，满足四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AD/BC，求点 D 的坐标 24 （本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2
13、）小题 4 分，第（3）小题 4 分）解：（1）由题意得：抛物线对称轴 ax8，即 x （1 分）点 B（8,0）关于对称轴的对称点为点 A（0,0） 0c， （1 分）将 C（9，-3）代入 ay2，得 31（1 分）抛物线的表达式： x8312（1 分）（2）点 M 在对称轴上，可设 M（4，y）又 MA=MC，即 22CA 2)3(54y, 解得 y=-3, M（4，-3） （2 分） MC/AB 且 MC AB, 四边形 ABCM 为梯形，, AB=8,MC=5,AB 边上的高 h = yM = 3 29)58(21)(21HCABS（2 分）(3) 将点 B（8,0）和点 C（9，3
14、）代入 bkxyBC 可得3908bk，解得 243bk由题意得， AD/BC,BC 3ADk， xyAD（1 分）又 AD 过（0,0） ， DC=AB=8，设 D(x,-3x) 228)3()9(x, （1 分）O BCyAMx解得 1x(不合题意，舍去)，5132x（1 分） 539y点 D 的坐标 )9,(（1 分）闵行区24 （本题满分 12 分，其中每小题各 4 分）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2yaxc与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0） ，与 y 轴相交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标；（2）求证： DAB= ACB；（3）点
15、 Q 在抛物线上，且 ADQ 是以 AD 为底的等腰三角形，求 Q 点的坐标24解：（1）把 B（1，0）和 C（0，3）代入 2yaxc中，得 963ac，解得 1c（2 分）抛物线的解析式是： 23yx（1 分）顶点坐标 D（1，4） （1 分）（2）令 0y，则 230x， 1， 21x， A（3，0） OAC， CAO= OCA（1 分）在 RtB中， tanOBC（1 分） 32， D， 25A， 0， 2； AC， 是直角三角形且 90ACD， 1tan3，又 DAC 和 OCB 都是锐角， DAC= OCB（1 分） DOBC，即 A（1 分）（3）令 (Qx， )y且满足 23
16、x， (A,0)， (D，4）A BOCxy（第 24 题图）D ADQ是以 AD 为底的等腰三角形， 2，即 222(3)(1)(4)xyxy， 化简得： 0（1 分）由 2xy，（1 分）解得1348y，23418xy点 Q 的坐标是 341,， 341,8（2 分）普陀区24 （本题满分 12 分）如图 10，在平面直角坐标系 xOy中，直线 3ykx与 轴、 y轴分别相交于点 A、B，并与抛物线 2174yb的对称轴交于点 2,C，抛物线的顶点是点 D（1）求 k和 b的值；（2）点 G是 轴上一点，且以点 B、 、 G为顶点的三角形与 BC相似，求点 G的坐标；（3）在抛物线上是否存
17、在点 E：它关于直线 A的对称点 F恰好在 y轴上如果存在，直接写出点 E的坐标，如果不存在，试说明理由24解：（1） 由直线 3ykx经过点 2,C，可得 12k. （1 分）由抛物线 2174b的对称轴是直线 x，可得 1b. （1 分）（2） 直线 3yx与 轴、 y轴分别相交于点 A、 B，图 10xy11O点 A的坐标是 6,0，点 B的坐标是 0,3. （2 分）抛物线的顶点是点 D，点 的坐标是 92,. （1 分）点 G是 y轴上一点，设点 G的坐标是 0,m. BCG 与 BCD 相似，又由题意知， BCD， BCG 与 BCD相似有两种可能情况： （1 分）如果 ，那么 3
18、52 ，解得 1 ，点 G的坐标是 0,. （1 分）如果 GCB ，那么 5m ，解得 2 ，点 的坐标是 ,2.（1 分）综上所述，符合要求的点 有两个，其坐标分别是 0,1和 , （3）点 E的坐标是 91,4或 2,. （2 分+2 分）青浦区24.（本题满分 12 分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题 4 分）已知：如图 8，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 23yaxb的图像与 x 轴交于点A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，顶点 C 在直线 2x上，将抛物线沿射线 AC 的方向平移，当顶点 C 恰好落在 y 轴上的点 D 处时，点 B 落在点 E 处（1）求这个抛物线的
19、解析式；（2）求平移过程中线段 BC 所扫过的面积； （3）已知点 F 在 x 轴上，点 G 在坐标平面内，且以点 C、 E、 F、 G 为顶点的四边形是矩形，求点 F 的坐标 ABO xy备用图ABO xy图 824解：（1）顶点 C 在直线 2x上， 2bxa， 4a （1 分）将 A（3，0）代入 3ya，得 93=0， （1 分）解得 1a， 4b （1 分）抛物线的解析式为 2x （1 分）（2）过点 C 作 CM x 轴， CN y 轴，垂足分别为 M、 N 243y= 21， C（2， 1） （1 分） 1MA， MAC=45， ODA=45， OD （1 分）抛物线 2yx与
20、y 轴交于点 B， B（0， 3） ， 6B （1 分）抛物线在平移的过程中，线段 BC 所扫过的面积为平行四边形 BCDE 的面积， 12621AABCDEBSDCN （1 分）（3）联结 CE.四边形 是平行四边形，点 O是对角线 E与 BD的交点，即 5O.（i）当 CE 为矩形的一边时，过点 C 作 1F，交 x轴于点 1F，设点 1Fa（ ,0） ，在 1RtA中， 22=，即 22()5，解得 5a，点 1（ ,0） （1 分）同理，得点 2（ -,） （1 分）（ii）当 CE 为矩形的对角线时，以点 O为圆心， C长为半径画弧分别交 x轴于点 3F、 4，可得 34=5F，得点
21、 3F（ ,0） 、 45（ -,0） （2 分）综上所述：满足条件的点有 152（ ,0） ， 2（ -,） ， （ ） ） ， （ ） 松江区24 （本题满分 12 分，每小题各 4 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C（1， ） ， P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线 OP 交该抛物线对称轴于点 B，直线 CP 交 x 轴于点 A（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点 P 的横坐标为 m，试用 m 的代数式表示线段 BC 的长；（3）如果 ABP 的面积等于 ABC 的面积，求点 P 坐标24 （本题满分 12 分，每小题各 4 分）解：（1）抛物线 y=ax2+b
22、x 的顶点为 C（1， ） 12ab2 分解得： b 1 分抛物线的表达式为： y=x2-2x；1 分（2）点 P 的横坐标为 m， P 的纵坐标为： m2-2m1 分令 BC 与 x 轴交点为 M，过点 P 作 PN x 轴，垂足为点 N P 是抛物线上位于第一象限内的一点， PN= m2-2m， ON=m， O M=1由 NB得21B1 分 BM=m-21 分 点 C 的坐标为（1， ） ， BC= m-2+1=m-11 分（3）令 P(t， t2-2t) 1 分 ABP 的面积等于 ABC 的面积 AC=AP过点 P 作 PQ BC 交 BC 于点 Q CM=MQ=1 t2-2t=1 1
23、 分(第 24 题图 )yPO xCBA(第 24 题图 )yPO xCBA 12t（ t舍去）1 分 P 的坐标为（ ,1）1 分徐汇区24. 如图，已知直线 2yx与 轴、 y轴分别交于点 B、 C，抛物线21yxbc过点 B、 C，且与 轴交于另一个点 A.（1）求该抛物线的表达式；（2）点 M是线段 上一点，过点 M作直线 l y轴交该抛物线于点 N，当四边形 ONC是平行四边形时，求它的面积；（3）联结 AC，设点 D是该抛物线上的一点，且满足DB，求点 的坐标.杨浦区24、 （本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分）如图 8，在平面直角坐标系中，抛物线 于 X 轴交于点 A、B，于 y 轴交=122+于点 C，直线 经过点 A、C，点 P 为抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点。=+4（1） 求抛物线的表达式（2） 如图（1） ，当 CP/AO 时，求PAC 的正切值。（3） 当以 AP、AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点 P的坐标。