1、第 1 页，共 16 页四川省高中 2019 届毕业班第二次诊断性考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 2， ， ，则 =1, 3=|320 =( )A. B. C. D. 2，1 1,2 1,3 1, 3【答案】C【解析】解： 2， ， 或 ，=1, 3=|320=|3 0,0)线的右焦点为 F，满足 ，且 ，则双曲线的离心率 e 的值是 =0 =6 ( )A. B. C. 2 D. 1+32 1+3 232【答案】B【解析】解： ，可得 ，=0 在 中， ，|=，|=2在直角三角形 ABF 中， ，=6可得 ， ，|=26= |=2
2、6=3取左焦点 ，连接 ， ，可得四边形 为矩形，= 231=3+1故选：B运用锐角三角函数的定义可得 ， ，取左焦点 ，|=26= |=26=3连接 ， ，可得四边形 为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式，即可得到所求值3=2本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题9. 节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化 为此某国企进行节能降耗技.术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号 1 2 3 4 5年生产利润 0.
3、7 0.8 1 1.1 1.4第 5 页，共 16 页单位：千(万元 )预测第 8 年该国企的生产利润约为 千万元( )参考公式及数据： ； ，(=1()()=1()2 =1=122 =，5=1()()=1.75=122=10A. B. C. D. 1.88 2.21 1.85 2.34【答案】C【解析】解：由表格数据可得， ， =1+2+3+4+55 =3 =0.7+0.8+1+1.1+1.45 =1又 ， ，5=1()2=105=1()()=1.7， ，=5=1()()5=1()2 =1.710=0.17=10.173=0.49国企的生产利润 y 与年份 x 得回归方程为 ，=0.17+0
4、.49取 ，可得 =8=0.178+0.49=1.85故选：C由已知数据求得 与 的值，可得线性回归方程，取 即可求得答案 =8本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题10. 已知一个几何体的正视图，侧视图和俯视图均是直径为 10 的圆 如图 ，这个几何体内接一个圆锥，圆锥的体积为 ，则( ) 27该圆锥的侧面积为 ( )A. 910B. 1211C. 1017D. 4033【答案】A【解析】解：如图是几何体的轴截面图形，设圆锥的底面半径为r，由题意可得： ，132(252+5)=27解得 ，=3第 6 页，共 16 页所以该圆锥的侧面积： 12632+92=910故选：A利用球的内
5、接圆锥的体积，求出圆锥的底面半径与高，然后求解该圆锥的侧面积本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体圆锥的侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力11. 已知 ，若点 P 是抛物线 上任意一点，点 Q 是圆 上任(3,0) 2=8 (2)2+2=1意一点，则 的最小值为 |2| ( )A. 3 B. C. D. 4434 22【答案】B【解析】解：抛物线 的准线方程为 l： ，焦2=8 =2点 ，(2,0)过 P 作 ，垂足为 B，由抛物线的定义可得 ，|=|圆 的圆心为 ，半径 ，(2)2+2=1 (2,0) =1可得 的最大值为 ，| |+=|+1由 ，|2|2|+1可令 ， ，可得|+
6、1= (1)，|=1=|=+2即 ， ，=3 2=8(3)可得 ，|2|+1=(33)2+8(3) =+1242124=434当且仅当 时，上式取得等号，=23可得 的最小值为 ，|2| 434故选：B求得抛物线的焦点和准线方程，过 P 作 ，垂足为 B，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点雨圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值本题考查抛物线的方程和性质，以及定义法的运用，考查圆的性质，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题12. 设函数 满足 ，且在 上单调递增，则 的范围是() (0,+) (1)为自然对数的底数 ( )( )A. B. C.
7、D. 1,+) 1,+) (,1 (,1【答案】B第 7 页，共 16 页【解析】解：令 ，()=()由 ，故 ，()=()+()1故 ，()=+1在 恒成立，()0 (1,+)在 递增，()=() (1,+)故 ，()=(1)在 递增，() (0,+)故 在 恒成立，()=()+0 (0,+)故在 ， ，(1)1+10 (1)1故选：B令 ，求出函数的导数，根据函数的单调性求出 ，得到()=() ()=(1)在 恒成立，求出 的范围即可()=()+0 (0,+) (1)本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
8、13. 若 ， ，则 的值为_=45 (2,) (+6)【答案】43310【解析】解： ， ，=45 (2,)，=35则 ，(+6)=6+6=45323512=43310故答案为：43310利用两角和差的正弦公式进行转化求解即可本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键第 8 页，共 16 页14. 若函数 的定义域和值域都是 ，则()=(0,1) 0,1_711+11411=【答案】 1【解析】解：因为 ，所以 是 上的递减函数，(1)=0 () 0,1所以 ，即 ，解得 ，(0)=1 1=1 =2所以原式 ，=2711+121411=2(7111114)=1故答案
9、为： 1因为 ，所以 是 上的递减函数，根据 解得 ，再代入原式可(1)=0 () 0,1 (0)=1 =2得本题考查了函数的值域，属中档题15. 若正实数 x，y 满足 ，则 的最小值为_+=14+1+1【答案】92【解析】解： ， ，0 0 +=1，+1+=2， 当接仅当 ，4+1+1=+1+2 ( 4+1+1)=12(1+4+4+1+1)12(5+24)=92 ( =13时取“ ”=23 = )故选：D将 变成 ，将原式+=1 +1+=2后，用基本不等式可得4+1+1=+1+2 ( 4+1+1)=12(1+4+4+1+1)本题考查了基本不等式及其应用，属基础题16. 在体积为 的四棱柱
10、中，底面 ABCD 为平行四边形，侧棱33 1111底面 ABCD，其中 ， ， ，则线段 BC 的长度为1 1=1 =2 =3_【答案】 或19 7【解析】解： 侧棱 底面 ABCD，其中 ，四棱柱 体积 1 1=1 1111为 ，33底面 ABCD 的面积为 平行四边形 ABCD 边 AB 上的高为 33.332设 ，=， =332 2=2+22()或 =33252=4=7 =17第 9 页，共 16 页故答案为： 或 19 7可得底面 ABCD 的面积为 平行四边形 ABCD 边 AB 上的高为 设 ，33.332. =，可得 ， 或= =332 2=2+22().=7=17本题考查了空
11、间几何体体积的计算，及解三角形的知识，属于中档题三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知等比数列 是递增数列，且 ， 1+5=172 24=4求数列 的通项公式(1) 若 ，求数列 的前 n 项和 (2)=() 【答案】解： 由 是递增等比数列， ，(1) 1+5=172 24=4=23=4， ；1+14=172 (12)2=4解得： ， ；1=12 =2数列 的通项公式： ； =22由 ，(2)=()；=22；1=12那么 ，=121+220+321+22 则 ，2=120+221+322+(1)22+21 将 得： ； =121222+21即： =(21+20+2+2
12、2+22)+21=1221+21【解析】 根据 是递增等比数列， ， 即可求解数列 的通(1) 1+5=172 24=4. 项公式由 ，可得数列 的通项公式，利用错位相减法即可求解前 n 项(2)=() 和 本题主要考查数列通项公式以及前 n 项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键18. 今年年初，习近平在 告台湾同胞书 发表 40 周年纪念会上的讲话中说道：“我 们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、第 10 页，共 16 页能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地
13、区通水、通电、通气、通桥 要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共.享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内 100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量 单位：吨(，以 ， ， ， ， ， ，) 160,180)180,200)200,220)220,240)240,260)260,280)分组的频率分布直方图如图280,300)求直方图中 x 的值和年平均销售量的众数和中位数；(1)在年平均销售量为 ， ， ， 的四组大型农(2) 220,240)240,2
14、60)260,280)280,300)贸市场中，用分层抽样的方法抽取 11 家大型农贸市场，求年平均销售量在， ， 的农贸市场中应各抽取多少家？240,260)260,280)280300)在 的条件下，再从 ， ， 这三组中抽取的农贸市(3)(2) 240,260)260,280)280,300)场中随机抽取 3 家参加国台办的宣传交流活动，记恰有 家在 组，求随 240,260)机变量 的分布列与期望和方差【答案】解： 由频率和为 1，列方程 (1) (0.002+0.0095+0.011+0.012，5+0.005+0.0025)20=1得 5， 直方图中 x 的值为 5；=0.007
15、0.007年平均销售量的众数是 ，220+2402 =230，(0.002+0.0095+0.011)20=0.45=|=93162727=514设二面角 的大小为 ，111 则 =12=31914二面角 的正弦值为 11131914【解析】 由三棱柱的结构特征可知 ，又 ，可得 ，在(1) /11 11 1111长方形 中，证明 平面 B.由四边形 与四边形 均是平11 11 11 11 11行四边形，可得 ，进一步得到 ，则 平面 ，证明/ /11 11是平面 与平面 所成二面角的平面角 由菱形的性质可得 ，1 1 11 . 11即 ，从而得到平面 平面 ；1=2 1 11由 及题设可知，
16、四边形 是菱形， ， ，求得(2)(1) 11 1=43 1=23以 E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 分别求出平面=1=1=4. .与平面 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角1 11第 13 页，共 16 页的正弦值111本题考查空间位置关系，二面角及其应用等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题20. 已知，椭圆 C 过点 ，两个焦点为 ， ，E，F 是椭圆 C 上的两个动(32,52) (0,2)(0,2)点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，直线 EF 的斜率为 ，直线 l1与椭圆 C 相切
17、于点 A，斜率为 2求椭圆 C 的方程；(1)求 的值(2)1+2【答案】解： 由题意可设椭圆 C 的方程为 ，(1)22+22=1(0)且 ， ，=2 2=(32)2+(52+2)2+(32)2+(522)2=3102+102=210即有 ， ，=10=22=6则椭圆的方程为 ；210+26=1设直线 AE： ，代入椭圆方程可得(2) =(32)+52，(5+32)2+3(53)+3(5232)230=0可得 ，即有 ， ，+32=3(35)5+32 =92301562+10 =(32)+52由直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，可将 k 换为 ，可得 ， ，=92+301562+
18、10 =(32)+52则直线 EF 的斜率为 ，1=(+)+3 =1设直线 l 的方程为 ，代入椭圆方程可得：=2(32)+52，(5+322)2+32(532)+3(52322)230=0由直线 l 与椭圆 C 相切，可得 ，=922(532)24(5+322)3(52322)230=0化简可得 ，解得 ，22+22+1=0 2=1则 1+2=0【解析】 可设椭圆 C 的方程为 ，由题意可得 ，由椭圆的(1)22+22=1(0) =2定义计算可得 a，进而得到 b，即可得到所求椭圆方程；设直线 AE： ，代入椭圆方程，运用韦达定理可得 E 的坐标，由题意(2) =(32)+52可将 k 换为
19、 ，可得 F 的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线 EF 的斜率，设出直线 l 的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的相切的条件：判别式为 0，可得直线 l 的斜率，进而得到所求斜率之和第 14 页，共 16 页本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线的斜率之和，注意联立直线方程和椭圆方程，运用判别式和韦达定理，考查化简整理的运算能力和推理能力，是一道综合题21. 已知 ()=求 的极值；(1)()若 有两个不同解，求实数 a 的取值范围(2)()=0【答案】解： 的定义域是 ，(1)() (0,+)，()=+1令 ，解得： ，()0 1令 ，解得： ，()0 01故 在 递
20、增，在 递减，() (0,1) (1,+)故 ，()=(1)=1由 ， ， 的图象和性质有：= 1 =()=， 和 有两个不同交点 ， ，且 ，00 0若函数 的图象关于直线 对称，且 ，求不等式(1) () =1 ()=()+|23|的解集()2第 16 页，共 16 页若函数 的最小值为 2，求 的最小值及其相应的 m 和 n(2) ()=()+()1+1的值【答案】解： 函数 的图象关于直线 对称， ，(1) () =1 =1，()=()+|23|=|1|+|23|当 时， ，解得 ，1 ()=32+1=432 2当 时， ，解得 ，32 ()=23+1=342 2综上所述不等式 的解集为 ()2 (,23)(2,+)，(2)()=()+()=|+|+|(+)|=|+|=+又 的最小值为 2，()=()+()，+=2，当且仅当 时1+1=12(1+1)(+)=12(2+)12(2+2)=2 =1取等号，故 的最小值为 2，其相应的 1+1 =1【解析】 先求出 ，再分类讨论，即可求出不等式的解集，(1) =1根据绝对值三角形不等式即可求出 ，再根据基本不等式即可求出(2) +=2本题考查了绝对值函数的对称轴，简单绝对值不等式的解法绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，考察了运算求解能力，推理论证能力，转化与化归思想