1、第十八章 章末测试卷(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(每小题 3 分,共 24 分)1.(2018 滨州)下列命题,其中是真命题的为( D )(A)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形(B)对角线互相垂直的四边形是菱形(C)对角线相等的四边形是矩形(D)一组邻边相等的矩形是正方形解析:一组对边平行,另一组对边相等的四边形也可能是梯形,故 A 是假命题;对角线互相垂直的四边形未必一定是菱形,故 B 是假命题;对角线相等的四边形也可能是等腰梯形,故 C 是假命题;一组邻边相等的矩形是正方形是正确的,故 D 是真命题.故选 D.2.(2018 宜宾)在ABCD 中,若BA
2、D 与CDA 的角平分线交于点 E,则AED 的形状是( B )(A)锐角三角形 (B)直角三角形(C)钝角三角形 (D)不能确定解析:如图,因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 ABCD,所以BAD+ADC=180,因为EAD= BAD,ADE= ADC,所以EAD+ADE= (BAD+ADC)=90,所以E=90,所以ADE 是直角三角形,故选 B.3.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于 O 点,E,F 分别是 AB,BC 边的中点,连接 EF.若 EF= ,BD=4,则菱形 ABCD 的周长为( C )(A)4 (B)4 (C)4 (D)28解析:因为 E,F 分别是
3、 AB,BC 边的中点,EF= ,所以 AC=2EF=2 ,因为四边形 ABCD 是菱形,所以 ACBD,OA= AC= ,OB= BD=2,所以 AB= = ,所以菱形 ABCD 的周长为 4 .故选 C.4.如图,在ABCD 中,连接 AC,ABC=CAD=30,AB=2,则 BC 的长是( C )(A) (B)2(C)2 (D)4解析:因为ABCD,所以 ADBC,所以DAC=ACB=30=ABC,所以 AB=AC,作 AEBC 于 E,则 AE= AB= 2=1,BC=2BE=2 =2 =2 .故选 C.5.(2018 宜昌)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 E,F 分别是对角
4、线AC 上的两点,EGAB.EIAD,FHAB,FJAD,垂足分别为 G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于( B )(A)1 (B) (C) (D)解析:因为四边形 ABCD 是正方形,所以直线 AC 是正方形 ABCD 的对称轴,因为 EGAB,EIAD,FHAB,FJAD,垂足分别为 G,I,H,J.所以根据对称性可知四边形 EFHG 的面积与四边形 EFJI 的面积相等,所以 S 阴 = S 正方形 ABCD= ,故选 B.6.如图,在菱形 ABCD 中,AC=16,BD=12,则ABC 的周长为( C )(A)28 (B)32(C)36 (D)40解析:在菱形 ABCD 中,AOO
5、B,AO= AC=8,BO= BD=6,根据勾股定理可得 AB=10,BC=10,所以ABC 的周长为 10+10+16=36.故选 C.7.(2018 沂水县二模)如图所示,两个含有 30角的完全相同的三角板 ABC 和 DEF 沿直线 l 滑动,下列说法错误的是( B )(A)四边形 ACDF 是平行四边形(B)当点 E 为 BC 中点时,四边形 ACDF 是矩形(C)当点 B 与点 E 重合时,四边形 ACDF 是菱形(D)四边形 ACDF 不可能是正方形解析:A.正确.因为ACB=EFD=30,所以 ACDF,因为 AC=DF,所以四边形 ACDF 是平行四边形.故正确.B.错误.当
6、E 是 BC 中点时,无法证明ACD=90,故错误.C.正确.B,E 重合时,易证 FA=FD,因为四边形 ACDF 是平行四边形,所以四边形 ACDF 是菱形,D.正确.当四边相等时,AFD=60,FAC=120,所以四边形 ACDF 不可能是正方形.故选 B.8.如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=6,将ABC 沿 AC 折叠,使点 B 落在点 E 处,CE 交 AD 于点 F,则 DF 的长等于( B )(A) (B) (C) (D)解析:由折叠知,AE=AB,EC=BC=6,E=B=90,由矩形 ABCD 知,AB=CD=4,D=90,所以 CD=AE,E=D,因为AFE=C
7、FD,所以AEFCDF,所以 EF=FD.设 DF=x,则 CF=AF=6-x,在 RtCDF 中,x 2+42=(6-x)2,解得 x= .二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)9.(2018 株洲)如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点O,AC=10,P,Q 分别为 AO,AD 的中点,则 PQ 的长度为 . 解析:因为四边形 ABCD 是矩形,所以 BD=AC=10,OD= BD,所以 OD=5,因为 P,Q 分别为 AO,AD 的中点,所以 PQ= OD= .10.如图,在ABCD 中,按以下步骤作图:以 A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 AB,AD 于点 M
8、,N;分别以点 M,N 为圆心,以大于 MN 的长为半径作弧,两弧相交于点 P;作射线 AP,交边 CD 于点 Q.若DQ=2QC,BC=3,则ABCD 的周长为 15 . 解析:由题意知,AQ 是BAD 的平分线,所以DAQ=BAQ,又因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 DCAB,AD=BC=3,所以BAQ=DQA,所以DAQ=DQA,所以 DQ=AD=3,又因为 DQ=2QC,所以 QC=1.5,所以 DC=4.5,所以ABCD 的周长为 2(BC+CD)=2(3+4.5)=27.5=15.11.(2018 咸宁)如图,将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点 E
9、 的坐标为(2,3),则点 F 的坐标为 (-1,5) . 解析:如图,过点 E 作 x 轴的垂线 EH,垂足为 H.过点 G 作 x 轴的垂线 GM,垂足为 M,连接 GE,FO 交于点 O.因为四边形 OEFG 是正方形,所以 OG=EO,GOM=OEH,OGM=EOH,在OGM 与EOH 中,所以OGMEOH(ASA),所以 GM=OH=2,OM=EH=3,所以 G(-3,2).所以 O(- , ).因为点 F 与点 O 关于点 O对称,所以点 F 的坐标为(-1,5).12.如图,菱形 ABCD 的面积为 120 cm2,正方形 AECF 的面积为 50 cm2,则菱形的边长为 13
10、cm. 解析:因为正方形 AECF 的面积为 50 cm2,所以 AC= =10(cm),因为菱形 ABCD 的面积为 120 cm2,所以 BD= =24(cm),所以菱形的边长为 =13(cm).13.(2018 临沂)如图,在ABCD 中,AB=10,AD=6,ACBC.则 BD=4 . 解析:因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 BC=AD=6,OB=OD,OA=OC,因为 ACBC,所以 AC= =8,所以 OC=4,所以 OB= =2 ,所以 BD=2OB=4 .14.如图,正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1,点 F,G 分别在边 BC,CD 上,P
11、 为 AE 的中点,连接 PG,则 PG 的长为 . 解析:如图,延长 GE 交 AB 于点 N,过点 P 作 PMGN 于点 M.由正方形的性质可知AN=AB-BN=AB-EF=2,NE=GN-GE=BC-FC=2.根据点 P 是 AE 的中点及 PMAN,可得 PM 为ANE 的中位线,所以 ME= NE=1,PM= AN=1,因此 MG=2.根据勾股定理可得 PG= = .三、解答题(共 52 分)15.(6 分)(2018 宿迁)如图,在ABCD 中,点 E,F 分别在边 CB,AD 的延长线上,且 BE=DF,EF 分别与 AB,CD 交于点 G,H.求证:AG=CH.证明:因为四边
12、形 ABCD 是平行四边形,所以 AD=BC,A=C,ADBC,所以E=F.因为 BE=DF,所以 AF=EC.在AGF 和CHE 中所以AGFCHE(ASA),所以 AG=CH.16.(8 分)(2018 盐城)在正方形 ABCD 中,对角线 BD 所在的直线上有两点 E,F 满足 BE=DF,连接 AE,AF,CE,CF,如图所示.(1)求证:ABEADF;(2)试判断四边形 AECF 的形状,并说明理由.(1)证明:因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AB=BC=CD=AD,ABD=ADB=CBD=CDB=45.所以ABE=ADF=CBE=CDF.在ABE 和ADF 中,所以ABEAD
13、F.(2)解:四边形 AECF 为菱形,理由如下:在ABE 和CBE 中,所以ABECBE.同理ADFCDF,所以ABEADFCBECDF,所以 AE=AF=CE=CF,所以四边形 AECF 为菱形.17.(8 分)(2018 凉州区)已知矩形 ABCD 中,E 是 AD 边上的一个动点,点 F,G,H 分别是 BC,BE,CE 的中点.(1)求证:BGFFHC;(2)设 AD=a,当四边形 EGFH 是正方形时,求矩形 ABCD 的面积.(1)证明:因为点 F,G,H 分别是 BC,BE,CE 的中点,所以 FHBE,FH= BE,FH=BG,BF=FC,所以CFH=FBG,在BGF 和FH
14、C 中,所以BGFFHC.(2)解:连接 GH,EF.当四边形 EGFH 是正方形时,可得 EFGH 且 EF=GH,因为在BEC 中,点 G,H 分别是 BE,CE 的中点,所以 GH= BC= AD= a,且 GHBC,所以 EFBC,因为 ADBC,ABBC,所以 AB=EF=GH= a,所以矩形 ABCD 的面积为ABAD= aa= a2.18.(10 分)已知:如图,在菱形 ABCD 中,点 E,O,F 分别为 AB,AC,AD 的中点,连接 CE,CF,OE,OF.(1)求证:BCEDCF;(2)当 AB 与 BC 满足什么关系时,四边形 AEOF 是正方形?请说明理由.(1)证明
15、:因为四边形 ABCD 是菱形,所以B=D,AB=BC=DC=AD,因为点 E,F 分别为 AB,AD 的中点,所以 BE= AB,DF= AD,所以 BE=DF,在BCE 和DCF 中,所以BCEDCF(SAS).(2)解:当 ABBC 时,四边形 AEOF 是正方形,理由如下:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AB=BC=CD=AD,又因为 E,O,F 分别为 AB,AC,AD 的中点,所以 OE= BC,OF= CD,AE= AB,AF= AD,所以 AE=OE=OF=AF,所以四边形 AEOF 是菱形,因为 ABBC,所以 OEAB,所以AEO=90,所以四边形 AEOF 是正方形.
16、19.(10 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=6,BC=4,过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB,CD 边于点 E,F.(1)求证:四边形 BEDF 是平行四边形;(2)当四边形 BEDF 是菱形时,求 EF 的长.(1)证明:因为四边形 ABCD 是矩形,所以 ABCD,所以OBE=ODF,又因为 O 是 BD 的中点,所以 OB=OD,在BOE 和DOF 中,所以BOEDOF(ASA),所以 EO=FO,所以四边形 BEDF 是平行四边形.(2)解:当四边形 BEDF 是菱形时,BDEF,DE=BE,设 BE=x,则 DE=x,AE=6-x,在 RtADE 中,DE 2=AD2
17、+AE2,所以 x2=42+(6-x)2,解得 x= ,所以 BE= ,因为 BD= =2 ,所以 OB= BD= ,因为 BDEF,所以 EO= = ,所以 EF=2EO= .20.(10 分)在 RtABC 中,BAC=90,D 是 BC 的中点,E 是 AD 的中点,过点 A 作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F.连接 CF.(1)求证:AFEDBE;(2)证明四边形 ADCF 是菱形;(3)若 AC=4,AB=5,求菱形 ADCF 的面积.(1)证明:因为 AFBC,所以AFE=DBE,因为 E 是 AD 的中点,所以 AE=DE,在AFE 和DBE 中,所以AFEDBE(AAS).(2)证明:由(1)知,AFEDBE,则 AF=DB.由 D 是 BC 的中点知 DB=DC,所以 AF=CD.因为 AFBC,所以四边形 ADCF 是平行四边形,因为BAC=90,D 是 BC 的中点,所以 AD= BC=DC,所以四边形 ADCF 是菱形.(3)解:设菱形 DC 边上的高为 h,所以 RtABC 斜边 BC 边上的高也为 h,因为 BC= = ,所以 DC= BC= ,所以 h= = ,菱形 ADCF 的面积为 DCh= =10.