1、限时训练(二十)压轴题（一）1.(10 分) 如图 Y1-1,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=x+4 与坐标轴分别交于 A,B 两点,过 A,B 两点的抛物线为 y=-x2+bx+c.点 D 为线段 AB 上一动点,过点 D 作 CDx 轴于点 C,交抛物线于点 E.(1)求抛物线的解析式;(2)当 DE=4 时,求四边形 CAEB 的面积;(3)连接 BE,是否存在点 D,使得 DBE 和DAC 相似?若存在,直接写出点 D 坐标;若不存在,说明理由.图 Y1-12.(10 分) 如图 Y1-2,在平面直角坐标系 xOy 中,点 O 为坐标原点,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x
2、轴交于点 A - ,0 ,B(2,0),与 y12轴交于点 C,以 O 为圆心,半径为 1 的O 恰好经过点 C,与 x 轴的正半轴交于点 D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)抛物线的对称轴交 x 轴于点 E,连接 CE,并延长 CE 交O 于点 F,求 EF 的长;(3)设点 P(m,n)为O 上的任意一点,当 的值最大时,求此时直线 BP 的函数表达式.|2-|图 Y1-2参考答案1 .解:(1)在直线解析式 y=x+4 中,令 x=0,得 y=4;令 y=0,得 x=-4,A(- 4,0),B(0,4).点 A(-4,0),B(0,4)在抛物线 y=-x2+bx+c 上, 解得 抛物线
3、的解析式为 y=-x2-3x+4.-16-4+=0,=4, =-3,=4, (2)设点 C 的坐标为( m,0)(m0),则 OC=-m,AC=4+m.OA=OB=4,BAC=45,ACD 为等腰直角三角形,CD=AC=4+m,CE=CD+DE=4+ m+4=8+m,点 E 的坐标为(m ,8+m).点 E 在抛物线 y=-x2-3x+4 上,8+m=-m 2-3m+4,解得 m1=m2=-2.C(-2,0),AC=OC=2,CE=6,S 四边形 CAEB=SACE +S 梯形 OCEB-SBCO = 26+ (6+4)2- 24=12.12 12 12(3)设点 C 的坐标为( m,0)(m
4、0),则 OC=-m,CD=AC=4+m,BD= OC=- m,则 D(m,4+m).2 2ACD 为等腰直角三角形,DBE 和DAC 相似,DBE 必为等腰直角三角形.i)若BED=90,则 BE=DE,BE=O C=-m,DE=BE=-m,CE=4+m-m=4,E(m,4).点 E 在抛物线 y=-x2-3x+4 上,4=-m 2-3m+4,解得 m=0(不合题意,舍去) 或 m=-3,D(-3,1);ii)若 EBD=90,则 BE=BD=- m,2在等腰直角三角形 EBD 中,DE= BD=-2m,2CE=4+m-2m=4-m,E(m,4-m ).点 E 在抛物线 y=-x2-3x+4
5、 上,4-m=-m 2-3m+4,解得 m=0(不合题意,舍去)或 m=-2,D(-2,2) .综上所述,存在点 D,使得DBE 和DAC 相似,点 D 的坐标为(-3,1) 或(-2,2).2.解:(1)由题意知点 C(0,1),将 A - ,0 ,B(2,0),C(0,1)分别代入得12 0=14-12+,0=4+2+,1=, 解得 =-1,=32,=1, 抛物线的函数表达式为 y=-x2+ x+1.32(2)抛物线的对称轴为直线 x= ,34E 点 ,0 ,CE= = .34 2+254设O 与 y 轴的负半轴交于点 G,连接 FG,则C FG=90=CO E.又OCE 是公共角,CEO
6、 CGF, = ,CF= ,EF= - = . 85 8554 720(3)如图,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 H,则 BH=2-m,PH= .|在 Rt PHB 中,tan B= .|2-|因为 tanB 随 B 的增大而增大,所以当 的值最大时,|2-|B 的值最大,此时,直线与O 相切,切点为点 P,切线与 y 轴交于点 M,连接 OP,在 RtOPB 中,sinB= = ,12所以B=30 .在 Rt OMB 中,易得 OM= ,233M 0, .233用待定系数法求得直线 BP 的函数表达式 为 y=- x+ ;同理可求得当点 P 在 x 轴下方时直线 BP 的函数表达式为33 233y= x-33.23 3