1、限时训练(十九)圆（三）1.(10 分) 如图 A3-1,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于 H,过 CD 延长线上一点 E 作O 的切线 交 AB 的延长线于点 F,切点为 G,连接 AG 交 CD 于 K.图 A3-1(1)求证:KE=GE;(2)若 KG2=KDGE,试判断 AC 与 EF 的位置关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,若 sinE= ,AK=2 ,求 FG 的长.35 32.(10 分) 如图 A3-2,以 RtABC 的 AC 边为直径作O 交斜边 AB 于点 E,连接 EO 并延长,交 BC 的延长线于点 D,点 F为 BC 的中点,连接 EF.图 A3-2(1
2、)求证:EF 是O 的切线;(2)若O 的半径为 3,EAC=60,求 AD 的长.参考 答案1.解:(1)证明:如图 ,连接 OG.EG 为切线,KGE+OGA=90,CDAB ,AKH+OAG=90,又OA=OG,OGA =OAG ,KGE=AKH=G KE, KE=GE.(2)ACEF,理由为:连接 GD,如图 所示.KG 2=KDGE,即 = , = ,又KGE=GKE,GKDEGK,E=AGD,又C=AGD,E=C,AC EF.(3)连接 OG,OC,如图 所示,sinE=sin AC H= ,35设 AH=3t,则 AC=5t,CH=4t,KE=GE,ACEF,CK=AC=5t,H
3、K=CK-CH=t.在 Rt AHK 中 ,根据勾股定理得 AH2+HK2=AK2,即(3t) 2+t2=(2 )2,解得 t= .3305设O 的半径为 r,在 RtOCH 中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t ,由勾股定理得:OH 2+CH2=OC2,即(r-3t) 2+(4t)2=r2,解得 r= .5306EF 为切线,OGF 为直角三角形 ,在 Rt OGF 中,OG=r,tanOFG=tanCAH= = ,43FG= = = . 530643 53082.解:(1)如图,连接 FO,F 为 BC 的中点,AO=CO,O FAB.AC 是 O 的直径,CE AE.OFAB,OF CE,OF 所在直线垂直平分 CE,FC=FE,OE=OC,FEC=FCE,OEC= OCE.ACB=90,即OCE+FCE=90,OEC+FEC=90,即FEO= 90,FE 为O 的切线 .(2)O 的半径为 3, AO=CO=EO=3.EAC=60,OA=OE ,AEO 为等边三 角形.EOA= 60,COD= EOA=6 0.在 Rt OCD 中,COD= 60,OC=3,CD=3 .3在 Rt ACD 中 ,ACD=90,CD=3 ,AC=6,3AD=3 .7