1、小结与复习,第二十二章 四边形,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,几 何 语 言,文字叙述,对边平行,对边相等,对角相等, AD=BC ，AB=DC., 四边形ABCD是平行四边形，, A=C， B=D., 四边形ABCD是平行四边形，,一、平行四边形的性质,对角线互 相平分, 四边形ABCD是平行四边形，, OA=OC，OB=OD., 四边形ABCD是平行四边形，, ADBC ，ABDC.,要点梳理,O,几 何 语 言,文字叙述,两组对边相等,一组对边平行且相等,四边形ABCD是平行四边形，, AD=BC ，AB=DC., 四边形ABCD是平行四边形，, AB=DC，ABDC.,二、平
2、行四边形的判定,对角线互相平分, 四边形ABCD是平行四边形，, OA=OC，OB=OD.,两组对边分别平行（定义）, 四边形ABCD是平行四边形，, ADBC ，ABDC.,O,1.三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.,2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.,三、三角形的中位线,用符号语言表示,DE是ABC的中位线,DEBC,平行且相等,平行 且四边相等,平行 且四边相等,四个角 都是直角,对角相等 邻角互补,四个角 都是直角,互相平分且相等,互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角,互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
3、,四、矩形、菱形、正方形的性质,定义：有一角是直角的平行四边形 三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形,定义：一组邻边相等的平行四边形 四条边都相等的四边形 对角线互相垂直的平行四边形,定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形,五、矩形、菱形、正方形的判定方法,六、多边形的内角和与外角和,多边形的内角和等于（n-2) 180 ,多边形的外角和等于 360 ,例1 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ） A1=2 BBAD=BCDCAB=CD DAC=BC,【解析】A.四边形ABCD是平行四边形， ABCD，1=2，故A正确
4、； B.四边形ABCD是平行四边形， BAD=BCD，故B正确； C.四边形ABCD是平行四边形， AB=CD，故C正确；,D,考点讲练,主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等且平行，对角相等.,1.如图，已知ABCD中，AE平分BAD，CF平分BCD，分别交BC、AD于E、F求证：AF=EC,证明：四边形ABCD是平行四边形， B=D，AD=BC，AB=CD，BAD=BCD， （平行四边形的对角相等，对边相等） AE平分BAD，CF平分BCD， EAB= BAD，FCD= BCD，EAB= FCD， 在ABE和CDF中BD ABCD EABFCD ABECDF，BE=DF
5、AD=BC AF=EC,例2 如图，在ABCD中，ODA=90，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（ ） A4cm B5cm C6cm D8cm,【解析】四边形ABCD是平行四边形， AC=10cm，BD=6cm OA=OC= AC=5cm，OB=OD= BD=3cm， ODA=90， AD= =4cm,A,主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.,【解析】在ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm， AO=CO=12cm，BO=19cm，AD=BC=28cm， BOC的周长是：BO+CO+BC=
6、12+19+28=59(cm),2.如图，在ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则BOC的周长是（ ） A45cm B59cm C62cm D90cm,B,例3 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ） AOA=OC，OB=OD BBAD=BCD，ABCD CADBC，AD=BC DAB=CD，AO=CO,D,平行四边形的判定方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对
7、边平行且相等的四边形是平行四边形.,3.如图，点D、C在BF上，ACDE，A=E，BD=CF， （1）求证：AB=EF,（1）证明：ACDE， ACD=EDF， BD=CF，BD+DC=CF+DC， 即BC=DF， 又A=E，ABCEFD（AAS）， AB=EF.,（2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由,（2）猜想：四边形ABEF为平行四边形， 理由如下：由（1）知ABCEFD， B=F，ABEF， 又AB=EF， 四边形ABEF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.,例4 已知：AD是ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点。求证： .
8、,证明：过点D作DHBF,交AC于点H. AD是ABC的中线.D是BC的中点.CHHF CFE是AD的中点，EFDH.AFFH.AF FC,A,B,C,D,E,F,H,4.若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ,三角形的周长为 60 cm,那么该三角形中最长边的边长为;,解析:设三角形的三条中位线之长分别为6x,5x,4x， 则三角形的三条边长之长分别为12x,10x,8x， 依题意有 12x10x8x60，,解得 x2.,所以，最长边12x24（cm）.,24 cm,例5：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O, AOD=120,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.,解：四边形
9、ABCD是矩形.AC = BD(矩形的对角线相等).OA= OC= AC,OB = OD = BD ,(矩形对角线相互平分)OA = OD.,A,B,C,D,O,AOD=120, ODA=OAD= (180- 120)=30. 又DAB=90 , （矩形的四个角都是直角）BD = 2AB = 2 2.5 = 5.,5.如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , ABO是等边三角形, AB=4,求ABCD的面积. 解：四边形ABCD是平行四边形, OA= OC,OB = OD. 又ABO是等边三角形, OA= OB=AB= 4,BAC=60. AC= BD= 2OA = 24 = 8.,
10、ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. ABC=90（矩形的四个角都是直角） . 在RtABC中,由勾股定理,得 AB2 + BC2 =AC2 , BC= . SABCD=ABBC=4 =,6.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BEAC，CEBD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.,D,A,B,C,E,O,解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形.ACBD.BOC=90.DEAC,CEBD，四边形CEBO是平行四边形.四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.,例7：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O
11、，BAD=60，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 解：四边形ABCD是菱形，ACBD(菱形的对角线互相垂直)OB=OD= BD = 6=3(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形ABC中， BAD=60， ABD是等边三角形. AB = BD = 6. AO= AC=,证明：在AOB中.AB= , OA=2,OB=1.AB2=AO2+OB2. AOB是直角三角形, AOB是直角.ACBD. ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).,7. 已知：如右图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AB= ,OA=2,OB=1. 求证： ABCD是菱形.,8.如图，两张等宽的
12、纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由.,A,B,C,D,E,F,解：四边形ABCD是菱形. 过点C作AB边的垂线交点E,作AD边上的垂线交点F. S 四边形ABCD=AD CF =AB CE . 由题意可知 CE = CF 且 四边形ABCD是平行四边形. AD = AB . 四边形ABCD是菱形.,例8：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.,解：BE=DF,且BEDF.理由如下： （1）四边形ABCD是正方形. BC=DC,BCE =90 . （正方形的四条边都相等,四个角
13、都是直角） DCF=180-BCE=180-90=90.,A,B,D,C,F,E,BCE=DCF. 又CE=CF. BCEDCF. BE=DF. (2)延长BE交DE于点M, BCEDCF , CBE =CDF. DCF =90 , CDF +F =90.CBE+F=90 , BMF=90. BEDF.,A,B,D,F,E,C,M,9. 如图,在矩形ABCD中, BE平分ABC , CE平分DCB , BFCE , CFBE. 求证：四边形BECF是正方形.,F,A,B,E,C,D,解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形.,45
14、,45,F,A,B,E,C,D,证明: BFCE,CFBE，四边形BECF是平行四边形.四边形ABCD是矩形, ABC = 90, DCB = 90, BE平分ABC, CE平分 DCB,EBC = 45, ECB = 45, EBC = ECB . EB=EC, BECF是菱形 .在EBC中 EBC = 45,ECB = 45,BEC = 90,菱形BECF是正方形.（有一个角是直角的菱形是正方形）,例9:已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数.,解： 设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x, 则x+4x=180,解得 x=36. 边数n=36036=10
15、.,10.一个正多边形的每一个内角都等于120 ，则其边数是 .,6,【解析】 因为该多边形的每一个内角都等于120度，所以它的每一个外角都等于60 .所以边数是6.,在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.,平 行 四 边 形,性质,对边平行且相等,对角相等，邻角互补,对角线互相平分,判定,两组对边分别平行的,两组对边分别相等的,一组对边平行且相等的,对角线互相平分的,四 边 形,课堂小结,三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.,多边形的内角和与外角和,内角和计算公式,（n-2) 180 (n 3的整数）,外角和,多边形的外角和等于360 特别注意：与边数无关,有一个角是90 （或对角线相等）,有一对邻边相等 （或对角线互相垂直）,平行四边形,矩形,菱形,正方形,一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直且相等）,有一个角是90 （或对角线相等）,有一对邻边相等 （或对角线互相垂直）,课堂小结,