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辽宁省大连市2019年3月高三下学期第一次双基测试数学理科试题(含答案)

1、大连市 2019 届高三双基测试卷数学(理科) 2019、3第 I 卷(选择题共 60 分)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分、 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求、1、已知集合 Ax0x 2 ,Bx一 1x1 ,则 AB( )(A) x一 1x2 (B) x0x1(C) x0x2 (D ) x一 1x12、 ( )i(A)i ( B)i (C) 2i (D )2i3、已知直线 l 和平面 、 ,且 l ,则“l”是“”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4、函数 ytan( )的最小正周期为( )1

2、23x(A) (B) (C) (D) 25、已知某高中的一次测验中,甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示,下列判断错误的是( )(A)乙班的理科综合成绩强于甲班 (B)甲班的文科综合成绩强于乙班(C)两班的英语平均分分差最大 (D)两班的语文平均分分差最小6、已知向量 (1,2), (3,1) ,则 ( )BACAC(A) 6 (B)一 6 (C)一 1 (D) 17、函数 的值域为2()1xyR(A)(0,) (B)(0,1) (C ) (1,+) (D ) (0, )128、已知ABC 的内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c,且满足 atanAbcosC+ccosB,则3A(

3、)(A) (B) (C) (D) 656329、已知正实数 a,b 满足 ab ,则 ab 的最小值为, ( )12()(A) 1 (B) (C) 2 (D)410、我国古代数学名著九章算术中有如下问题:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺。问积几何” ,羡除是一个五面体,其中三个面是梯形,另两个面是三角形,已知一个羡除的三视图如图粗线所示,其中小正方形网格的边长为 1,则该羡除的表面中,三个梯形的面积之和为( )(A)40 (B)43 (C) 46 (D )4711、已知抛物线 y22x 的焦点为 F,点 P 在抛物线上,以 PF 为边作一个等边三角形 PFQ,若点

4、 Q在抛物线的准线上,则PF( )(A) 1 (B) 2 (C)2 (D) 2 312、若 x0 是函数 f (x) ln(x+ ) 的极大值点,则实数 a 的取值集合为( )11xa(A) (B) 一 62(C) ,) (D) (一, 12第 II 卷(非选择题共 90 分) , 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题一第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22 题一第 23 题为选考题,考生根据要求作答、二填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分、13、 展开式中的常数项为 42x14、若 x,y 满足约束条件 ,则 z2x+y 的最大值为 3012xy15、已知定义在 R

5、 上的函数 f(x),若函数 f (x1)为偶函数,函数 f (x+2)为奇函数,则 2019()if16、已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F 2,C 上存在一点 P21(0,)xyab满足F 1PF2 ,且 P 到坐标原点的距离等于双曲线 C 的虚轴长,则双曲线 C 的渐3近线方程为 三解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17 (本小题满分 12 分)已知数列 的前 n 项和 Snn 25n (n N +) na(I)求数列 的通项公式;(II)求数列 的前

6、 n 项和 Tn .12n18、 (本小题满分 12 分)随着电子阅读的普及,传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击某杂志社近 9 年来的纸质广告收入如下表所示:根据这 9 年的数据,对 t 和 y 作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为 0.243;根据后 5 年的数据,对 t 和 y 作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为 0.984。(I)如果要用线性回归方程预测该杂志社 2019 年的纸质广告收入,现在有两个方案,方案一:选取这 9 年数据进行预测,方案二:选取后 5 年数据进行预测从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析,你觉得哪个方案更合适?附:相关性检验的临界值表:(B)某

7、购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书,据统计,在该网站购买该书籍的大量读者中,只购买电子书的读者比例为 50,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为 10,现用此统计结果作为概率,若从上述读者中随机调查了 3 位,求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率19 (本小题满分 12 分)已知圆 O 经过椭圆 C: 的两个焦点以及两个顶点,且点 在21(0)xyab1(,)ba椭圆 C 上(I)求椭圆 C 的方程,(II)若直线 l 与圆 O 相切,与椭圆 C 交于 M,N 两点,且 MN ,求直线 l 的倾斜角4320、 (本小超满分 12 分)如图,三棱柱 ABC 一 A1 B1 C

8、1,中,ABAA 1 ,AC2,BAC45 o,BAA 160 o,且平面 ACC1A1平面 ABC.(I)求三棱柱 ABCA 1B1C1 的体积,(II)点 E 在棱 BB1 上,且 A1 E 与平面 BCC1 B1 所成角的余弦值为 (BE EB1) ,求 BE7的长21 (本小题满分 12 分)已知函数 f (x)lnx+ 2(0,)axaR(I)讨论函数 f (x)的单调性;(II)若曲线 yf (x)上存在唯一的点 M,使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 M,求实数 a 的取值范围(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑

9、。22 (本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与今致方程在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数且 t0, ) ,cosinxty(,)2曲线 C2 的参数方程为 为参数,且 ) ,以 O 为极点,x 轴的正半轴cos(inxy(,)2为极轴建立极坐标系,曲线 C3 的极坐标方程为: ,曲线 C4 的极坐标方1cos0,程为 。cos1(I)求 C3 与 C4 的交点到极点的距离; (II )设 C1 与 C2 交于 P 点,C 1 与 C3 交于 Q 点,当 在(0, 上变化时,)2求OPOQ的最大值23、 (本小题满分 10 分)选修 4 一 5:不等式选讲

10、设函数 f(x)2x+a一x2(xR,aR)、(I)当 a一 1 时,求不等式 f (x)0 的解集,(B)若 f(x) 1 在 xR 上恒成立,求实数 a 的取值范围2019 年大连市高三双基测试数学(理科)参考答案与评分标准说明:一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这

11、一步应得的累加分数四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分一选择题1、B 2、A 3、A 4、D 5、D 6、B 7、B 8、A 9、C 10、C 11、B 12、A二填空题13、 14、 15、 16、2480yx三解答题17、 解:()因为 ,1,nnSa所以 4 分+224,14,126(N)5()5(),26nnn()因为 , 13n所以 21432nnnT3112两式作差得: 8 分12nn化简得 ,T所以 、12 分2nn18、()选取方案二更合适,理由如下:(1)题中介绍了,随着电子阅读的普及,传统纸媒受到了强烈的冲击,从表格中的数据中可以看出从2014 年开始,广告收入呈现逐

12、年下降的趋势,可以预见,2019 年的纸质广告收入会接着下跌,前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据、 (2) 相关系数 |r越接近 1,线性相关性越强,因为根据 9 年的数据得到的相关系数的绝对值0.243.6,我们没有理由认为 y与 t具有线性相关关系;而后 5 年的数据得到的相关系数的绝对值 ,所以有 9%的把握认为 与 t具有线性相关关系、 6980.5分(仅用(1)解释得 3 分,仅用(2)解释或者用(1) (2)解释得 6 分)()从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位,购买电子书的概率为 ,只购买纸质书的概率为35,8 分25购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况:

13、3 人购买电子书, 2 人购买电子书一人只购买纸质书、概率为: 、12 分32381()()55C19、解:()由题可知圆 只能经过椭圆的上下顶点,所以椭圆焦距等于短轴长,即 ,O 2ab2 分又点 在椭圆 上,所以 ,解得 ,1(,)baC21ba2,1ab即椭圆 的方程为 、4 分2xy()圆 的方程为 ,当直线 不存在斜率时,解得 ,不符合题意;O21l|2MN5 分当直线 存在斜率时,设其方程为 ,因为直线 与圆 相切,所以 ,即l ykxmlO2|1mk、6 分221mk将直线 与椭圆 的方程联立,得:lC,判别式 ,即 ,22()40x2281680kk7 分设 ,12(,)(,)

14、MyN所以 ,22221211284|()|13kxykx解得 ,11 分k所以直线 的倾斜角为 或 、12 分l4320、 解()法一:如图,在平面 1AC内过 1作 AOC与 交于点 ,O因为平面 1平面 B,且平面 1平面ABC, 平面 1,OBCA111E所以 平面 ABC,所以 为 1A与平面 BC所成角, 1 分1O1由公式 ,解得 ,3 分11coscscos 12cosA所以 , ,145in451又 的面积为 ,所以三棱柱 的体积为 、4 分ABC221BC1法二:如图,在平面 和平面 A内,分别过1 A作 的垂线,由面面垂直性质,可以以这两条垂线以及 C为坐标轴建立空间直角

15、坐标系,2 分则可得 , ,设 ,(0,)(,)AB(0,2)C1(0,)bc 则由 得1bc6 21()bc,又 ,解得 ,即三棱柱的高为 ,又2bc1 ABC的面积为 ,所以三棱柱 的体积为 、21ABC14 分()接()法一:由()得在 ABC中, O为 中点,连接 ,O由余弦定理得 22cos452ABC,解得 ,所以 , (或者利用余弦定理求 ),以 O为坐标原点,以 分别为 x轴, y轴, z轴,建立空间直角坐标系,1O, ,5 分则 ,1(0,1)(,0)(,)(0,)ABAC所以 =,设 1()E,设平面 1B的法向量为 (,)nxyz,则 0nBC,即 ,不妨令 x,则 ,1

16、yz,即 、0yzx ,1,7 分11(,)A又因为 与平面 所成角的余弦值为 ,1AE1BC7所以 ,122|4|cos,|3(1)n解得 3或 2,11 分又因为 ,所以 23BE、 12 分1BE21、 解:() ,设21()1(0)axfx2()1(0)gxax(1)当 时, 在 上大于零,在108a()g880,)(,)44a上小于零,所以 在 上单调递增,()4, ()fx1180,),(,)4a在 单调递减;1 分181()4a,(2) 当 时, (当且仅当 时 ),所以 在 上单调递增;0gx1,28ax(0g()fx0,)2 分(3) 当 时, 在 上大于零,在 上小于零,所

17、以 在 上单调递增,a(),(), ()f,1在 单调递减;3 分(1),(4)当 时, 在 上大于零,在 上小于零,所以 在0a()gx180,)4a18(,)4a()fx上单调递增,在 上单调递减、 4 分18(,)4(,)()曲线 在点 处的切线方程为 ,切线方(yfx,)tf 21(2)(lnyatxtat程和 联立可得: ,现讨论该方程根的个数:)21ln()ln0axtxt设 , 所以 、21(ln()l0hxatt()ht法一: ,1()21)()2(xtahxat(1) 当 时, 在 上大于零,在 上小于零,所以 在 上单调递增,0)0,(,t()hx0,t在 上单调递减、(,

18、)t又 ,所以 只有唯一的零点 ,由 的任意性,所以不符合题意;h()hxt6 分(2) 当 时,0a当 时,可得 ,所以 在 上单调递增,所以其只有唯一的零点 ;2t()0hx()hx0,)2a7 分当 时, 在 和 上大于零,在 上小于零,所以 在2at()hx0,t1(,)2at1(,)2ta()hx和 上单调递增,在 上单调递减,所以 在 上小于或等于零,且(0,)t1,t,thx(0,)t有唯一的零点 、函数 的两个零点为 和 ,所以 ,22()1yaxtxat1at1()ln()l0ttta所以函数 在区间 上存在零点,综上 的零点不唯一;)h,)t ()hx(或者这么说明:当 时

19、, 且 ,所以xlnx22l1tt,所以 在 上存在零点,酌情给分)()x()1,)2at9 分当 时, 在 和 上大于零,在 上小于零,所以 在2at()hx0,)t(,)1()2ta, ()hx和 上单调递增,在 上单调递减,所以 在 上大于或等于零,1(0,)t(,12ta, hx(,t且有唯一的零点 、t函数 在区间 上最大值为 ,当 时,22()1yaxtx0,t21at210atxe,所以在区间 上, 存在零点,综上 的零点不唯一、()0h0,at()hx()hx(或者这么说明:当 时, 且 ,xln222lnln1ttta是个常数,所以 ,所以 在 上存在零点,酌情给分)()hx

20、()hx10,)2at11 分综上,当 时,曲线 上存在唯一的点 ,使得曲线在该点处a(0,)()yf2(,)aMf的切线与曲线只有一个公共点 、12 分M法二: ,设 ,则 、1()2()hxat()hxp21()x(1)当 时, ,所以 在 上单调递减,0a)0p0,又 ,所以 在 上大于零,在 上小于零,所以 在 上单调递增,()ht(hx,)t()t ()hx0,t在 上单调递减,,又 ,所以 只有唯一的零点 ,由 的任意性,所以不符合题意;()0t()xt6 分(2) 当 时, 在 上小于零,在 上大于零,所以 在0a()px20,)a2(,)a()hx上单调递减,在 上单调递增,2

21、(0,)2(,)当 时, 在 上大于零,在 上小于零,所以 在 上单调递增,at()hx0,t2(,)at ()hx0,t在 上单调递减,所以 在 上小于或等于零,且有唯一的零点 、2(,)t (),) t函数 开口向上,若其判别式不大于零,则对任意 ,有221()ln1yaxtxta 01x;若其判别式大于零,设其右侧的零点为 ,则对任意的 ,有 ,0()hm0a,xm()h所以在区间 上,存在零点,综上 的零点不唯一;2(,)a()hx(或者这么说明:当 时, 且 ,所以xln221)ln1atxta,所以 在 上存在零点,酌情给分)()hx()h2,)a8 分当 时,可得 ,所以 在 上

22、单调递增,所以其只有唯一的零2at()0hxt()hx0,)点 ;9 分当 时, 在 上大于零,在 上小于零,所以 在 上单调递2at()hx,)t2(,)at()hx,)t增,在 上单调递减,所以 在 上大于或等于零,且有唯一的零点 、(,)t()hx,)t函数 在区间 上一定存在最大值,设为 ,若 ,则221ln1yaxtxta0,n0在 上小于零、若 ,当 时, ,所以在区间 上,()h0,00nxe0()hx02(,)ax存在零点,综上 的零点不唯一、x()hx(或者这么说明:当 时, 且 ,0ln2221()ln1ln1axtxtata是个常数,所以 ,所以 在 上存在零点,酌情给分

23、)()hx()h0,11 分综上,当 时,曲线 上存在唯一的点 ,使得曲线在该点处a(0,)()yfx2(,)aMf的切线与曲线只有一个公共点 、12 分M22、 解()联立曲线 的极坐标方程 得: ,解得34,C1cos,(0,)2 210,即交点到极点的距离为 、415252分()曲线 的极坐标方程为 ,1C,(0,)曲线 的极坐标方程为 联立得2C2sin,(0,)22sin,(0,)2即 |sin,(0,)OP曲线 与曲线 的极坐标方程联立得 ,13 1cos,(,)即 ,6 分|cos,(,)2Q所以 ,其中 的终边经过点 ,|incs5sin()OP(2,1)当 ,即 时, 取得最大值为 、,Z2k2ari|OPQ510 分23、解:() 时, 可得 ,即 ,1a()0fx|21|x22(1)()x化简得: ,所以不等式 的解集为 、(3)x()0f,3 分()(1)当 时, ,由函数单调性可得4a2,()3,2xafx,解得 ;5 分min()()21afxf64a(2)当 时, , ,所以 符合题意;7 分4a|fxmin()01fx4a(3) 当 时, ,由函数单调性可得,4a2,()3,afxx,解得 ;9 分min()()21afxf42a综上,实数 的取值范围为 、10 分6,