1、大连市 2019 届高三双基测试卷数学（理科） 2019、3第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分、 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求、1、已知集合 Ax0x 2 ，Bx一 1x1 ，则 AB（ ）（A） x一 1x2 （B） x0x1(C） x0x2 （D ） x一 1x12、 （ ）i(A）i （ B）i （C） 2i （D ）2i3、已知直线 l 和平面 、 ，且 l ，则“l”是“”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D)既不充分也不必要条件4、函数 ytan( ）的最小正周期为（ ）1
2、23x（A） （B） （C） （D) 25、已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是（ ）（A）乙班的理科综合成绩强于甲班 （B）甲班的文科综合成绩强于乙班（C）两班的英语平均分分差最大 （D）两班的语文平均分分差最小6、已知向量 (1，2)， (3，1) ，则 （ ）BACAC（A） 6 （B）一 6 （C）一 1 （D） 17、函数 的值域为2()1xyR（A）(0，) （B）(0，1) （C ） (1，+) （D ） (0， )128、已知ABC 的内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，且满足 atanAbcosC+ccosB，则3A（
3、）（A） （B） （C） （D) 656329、已知正实数 a，b 满足 ab ，则 ab 的最小值为， （ ）12()（A） 1 （B） （C） 2 （D）410、我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。问积几何” ，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为 1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ）（A）40 （B)43 （C) 46 （D ）4711、已知抛物线 y22x 的焦点为 F，点 P 在抛物线上，以 PF 为边作一个等边三角形 PFQ，若点
4、 Q在抛物线的准线上，则PF（ ）（A） 1 （B） 2 （C）2 （D） 2 312、若 x0 是函数 f (x) ln(x+ ） 的极大值点，则实数 a 的取值集合为（ ）11xa(A） （B） 一 62（C） ，） （D） （一， 12第 II 卷（非选择题共 90 分） ， 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题一第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题一第 23 题为选考题，考生根据要求作答、二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分、13、 展开式中的常数项为 42x14、若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最大值为 3012xy15、已知定义在 R
5、 上的函数 f(x)，若函数 f (x1)为偶函数，函数 f (x+2)为奇函数，则 2019()if16、已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F 2，C 上存在一点 P21(0,)xyab满足F 1PF2 ，且 P 到坐标原点的距离等于双曲线 C 的虚轴长，则双曲线 C 的渐3近线方程为 三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17 （本小题满分 12 分）已知数列 的前 n 项和 Snn 25n (n N +） na（I）求数列 的通项公式；（II）求数列 的前
6、 n 项和 Tn .12n18、 （本小题满分 12 分）随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击某杂志社近 9 年来的纸质广告收入如下表所示：根据这 9 年的数据，对 t 和 y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为 0.243；根据后 5 年的数据，对 t 和 y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为 0.984。（I）如果要用线性回归方程预测该杂志社 2019 年的纸质广告收入，现在有两个方案，方案一：选取这 9 年数据进行预测，方案二：选取后 5 年数据进行预测从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？附：相关性检验的临界值表：（B）某
7、购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为 50，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为 10，现用此统计结果作为概率，若从上述读者中随机调查了 3 位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率19 （本小题满分 12 分）已知圆 O 经过椭圆 C： 的两个焦点以及两个顶点，且点 在21(0)xyab1(,)ba椭圆 C 上（I）求椭圆 C 的方程，（II）若直线 l 与圆 O 相切，与椭圆 C 交于 M，N 两点，且 MN ，求直线 l 的倾斜角4320、 （本小超满分 12 分）如图，三棱柱 ABC 一 A1 B1 C
8、1，中，ABAA 1 ，AC2，BAC45 o，BAA 160 o，且平面 ACC1A1平面 ABC.（I）求三棱柱 ABCA 1B1C1 的体积，（II）点 E 在棱 BB1 上，且 A1 E 与平面 BCC1 B1 所成角的余弦值为 （BE EB1） ，求 BE7的长21 （本小题满分 12 分）已知函数 f (x)lnx+ 2(0,)axaR（I）讨论函数 f (x)的单调性；（II）若曲线 yf (x)上存在唯一的点 M，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 M，求实数 a 的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑
9、。22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与今致方程在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数且 t0， ） ，cosinxty(,)2曲线 C2 的参数方程为 为参数，且 ） ，以 O 为极点，x 轴的正半轴cos(inxy(,)2为极轴建立极坐标系，曲线 C3 的极坐标方程为： ，曲线 C4 的极坐标方1cos0,程为 。cos1（I）求 C3 与 C4 的交点到极点的距离； （II ）设 C1 与 C2 交于 P 点，C 1 与 C3 交于 Q 点，当 在(0， 上变化时，)2求OPOQ的最大值23、 （本小题满分 10 分）选修 4 一 5：不等式选讲
10、设函数 f(x)2x+a一x2(xR，aR)、（I）当 a一 1 时，求不等式 f (x)0 的解集，（B）若 f(x) 1 在 xR 上恒成立，求实数 a 的取值范围2019 年大连市高三双基测试数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这
11、一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一选择题1、B 2、A 3、A 4、D 5、D 6、B 7、B 8、A 9、C 10、C 11、B 12、A二填空题13、 14、 15、 16、2480yx三解答题17、 解：（）因为 ，1,nnSa所以 4 分+224,14,126(N)5()5(),26nnn（）因为 ， 13n所以 21432nnnT3112两式作差得： 8 分12nn化简得 ，T所以 、12 分2nn18、（）选取方案二更合适，理由如下：(1)题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从2014 年开始，广告收入呈现逐
12、年下降的趋势，可以预见，2019 年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据、 (2) 相关系数 |r越接近 1，线性相关性越强，因为根据 9 年的数据得到的相关系数的绝对值0.243.6，我们没有理由认为 y与 t具有线性相关关系；而后 5 年的数据得到的相关系数的绝对值 ，所以有 9%的把握认为 与 t具有线性相关关系、 6980.5分（仅用（1）解释得 3 分，仅用（2）解释或者用（1） （2）解释得 6 分）()从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为 ，只购买纸质书的概率为35，8 分25购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：
13、3 人购买电子书， 2 人购买电子书一人只购买纸质书、概率为： 、12 分32381()()55C19、解：（）由题可知圆 只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，即 ，O 2ab2 分又点 在椭圆 上，所以 ，解得 ，1(,)baC21ba2,1ab即椭圆 的方程为 、4 分2xy（）圆 的方程为 ，当直线 不存在斜率时，解得 ，不符合题意；O21l|2MN5 分当直线 存在斜率时，设其方程为 ，因为直线 与圆 相切，所以 ，即l ykxmlO2|1mk、6 分221mk将直线 与椭圆 的方程联立，得：lC，判别式 ，即 ，22()40x2281680kk7 分设 ，12(,)(,)
14、MyN所以 ，22221211284|()|13kxykx解得 ，11 分k所以直线 的倾斜角为 或 、12 分l4320、 解（）法一：如图，在平面 1AC内过 1作 AOC与 交于点 ，O因为平面 1平面 B，且平面 1平面ABC， 平面 1，OBCA111E所以 平面 ABC，所以 为 1A与平面 BC所成角， 1 分1O1由公式 ，解得 ，3 分11coscscos 12cosA所以 ， ，145in451又 的面积为 ，所以三棱柱 的体积为 、4 分ABC221BC1法二：如图，在平面 和平面 A内，分别过1 A作 的垂线，由面面垂直性质，可以以这两条垂线以及 C为坐标轴建立空间直角
15、坐标系，2 分则可得 ， ，设 ，(0,)(,)AB(0,2)C1(0,)bc 则由 得1bc6 21()bc，又 ，解得 ，即三棱柱的高为 ，又2bc1 ABC的面积为 ，所以三棱柱 的体积为 、21ABC14 分（）接（）法一：由（）得在 ABC中， O为 中点，连接 ，O由余弦定理得 22cos452ABC，解得 ，所以 ， （或者利用余弦定理求 ），以 O为坐标原点，以 分别为 x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系，1O， ，5 分则 ，1(0,1)(,0)(,)(0,)ABAC所以 =,设 1()E，设平面 1B的法向量为 (,)nxyz，则 0nBC，即 ，不妨令 x，则 ,1
16、yz，即 、0yzx ,1，7 分11(,)A又因为 与平面 所成角的余弦值为 ，1AE1BC7所以 ，122|4|cos,|3(1)n解得 3或 2，11 分又因为 ，所以 23BE、 12 分1BE21、 解：（） ，设21()1(0)axfx2()1(0)gxax(1)当 时， 在 上大于零，在108a()g880,)(,)44a上小于零，所以 在 上单调递增，()4， ()fx1180,),(,)4a在 单调递减；1 分181()4a，(2) 当 时， (当且仅当 时 )，所以 在 上单调递增；0gx1,28ax(0g()fx0,)2 分(3) 当 时， 在 上大于零，在 上小于零，所
17、以 在 上单调递增，a(),()， ()f,1在 单调递减；3 分(1)，(4)当 时， 在 上大于零，在 上小于零，所以 在0a()gx180,)4a18(,)4a()fx上单调递增，在 上单调递减、 4 分18(,)4(,)（）曲线 在点 处的切线方程为 ，切线方(yfx,)tf 21(2)(lnyatxtat程和 联立可得： ，现讨论该方程根的个数：)21ln()ln0axtxt设 ， 所以 、21(ln()l0hxatt()ht法一： ，1()21)()2(xtahxat(1) 当 时， 在 上大于零，在 上小于零，所以 在 上单调递增，0)0,(,t()hx0,t在 上单调递减、(,
18、)t又 ，所以 只有唯一的零点 ，由 的任意性，所以不符合题意；h()hxt6 分(2) 当 时，0a当 时，可得 ，所以 在 上单调递增，所以其只有唯一的零点 ；2t()0hx()hx0,)2a7 分当 时， 在 和 上大于零，在 上小于零，所以 在2at()hx0,t1(,)2at1(,)2ta()hx和 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 上小于或等于零，且(0,)t1,t,thx(0,)t有唯一的零点 、函数 的两个零点为 和 ，所以 ，22()1yaxtxat1at1()ln()l0ttta所以函数 在区间 上存在零点，综上 的零点不唯一；)h,)t ()hx（或者这么说明：当 时
19、， 且 ，所以xlnx22l1tt，所以 在 上存在零点，酌情给分）()x()1,)2at9 分当 时， 在 和 上大于零，在 上小于零，所以 在2at()hx0,)t(,)1()2ta， ()hx和 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 上大于或等于零，1(0,)t(,12ta， hx(,t且有唯一的零点 、t函数 在区间 上最大值为 ，当 时，22()1yaxtx0,t21at210atxe，所以在区间 上， 存在零点，综上 的零点不唯一、()0h0,at()hx()hx（或者这么说明：当 时， 且 ，xln222lnln1ttta是个常数，所以 ，所以 在 上存在零点，酌情给分）()hx
20、()hx10,)2at11 分综上，当 时，曲线 上存在唯一的点 ，使得曲线在该点处a(0,)()yf2(,)aMf的切线与曲线只有一个公共点 、12 分M法二： ，设 ，则 、1()2()hxat()hxp21()x(1)当 时， ，所以 在 上单调递减，0a)0p0,又 ，所以 在 上大于零，在 上小于零，所以 在 上单调递增，()ht(hx,)t()t ()hx0,t在 上单调递减，,又 ，所以 只有唯一的零点 ，由 的任意性，所以不符合题意；()0t()xt6 分(2) 当 时， 在 上小于零，在 上大于零，所以 在0a()px20,)a2(,)a()hx上单调递减，在 上单调递增，2
21、(0,)2(,)当 时， 在 上大于零，在 上小于零，所以 在 上单调递增，at()hx0,t2(,)at ()hx0,t在 上单调递减，所以 在 上小于或等于零，且有唯一的零点 、2(,)t (),) t函数 开口向上，若其判别式不大于零，则对任意 ，有221()ln1yaxtxta 01x；若其判别式大于零，设其右侧的零点为 ，则对任意的 ，有 ，0()hm0a,xm()h所以在区间 上，存在零点，综上 的零点不唯一；2(,)a()hx（或者这么说明：当 时， 且 ，所以xln221)ln1atxta，所以 在 上存在零点，酌情给分）()hx()h2,)a8 分当 时，可得 ，所以 在 上
22、单调递增，所以其只有唯一的零2at()0hxt()hx0,)点 ；9 分当 时， 在 上大于零，在 上小于零，所以 在 上单调递2at()hx,)t2(,)at()hx,)t增，在 上单调递减，所以 在 上大于或等于零，且有唯一的零点 、(,)t()hx,)t函数 在区间 上一定存在最大值，设为 ，若 ，则221ln1yaxtxta0,n0在 上小于零、若 ，当 时， ，所以在区间 上，()h0,00nxe0()hx02(,)ax存在零点，综上 的零点不唯一、x()hx（或者这么说明：当 时， 且 ，0ln2221()ln1ln1axtxtata是个常数，所以 ，所以 在 上存在零点，酌情给分
23、）()hx()h0,11 分综上，当 时，曲线 上存在唯一的点 ，使得曲线在该点处a(0,)()yfx2(,)aMf的切线与曲线只有一个公共点 、12 分M22、 解()联立曲线 的极坐标方程 得: ，解得34,C1cos,(0,)2 210，即交点到极点的距离为 、415252分()曲线 的极坐标方程为 ，1C,(0,)曲线 的极坐标方程为 联立得2C2sin,(0,)22sin,(0,)2即 |sin,(0,)OP曲线 与曲线 的极坐标方程联立得 ，13 1cos,(,)即 ，6 分|cos,(,)2Q所以 ，其中 的终边经过点 ，|incs5sin()OP(2,1)当 ，即 时， 取得最大值为 、,Z2k2ari|OPQ510 分23、解：（） 时， 可得 ，即 ，1a()0fx|21|x22(1)()x化简得： ，所以不等式 的解集为 、(3)x()0f,3 分（）(1)当 时， ，由函数单调性可得4a2,()3,2xafx，解得 ；5 分min()()21afxf64a(2)当 时， ， ，所以 符合题意；7 分4a|fxmin()01fx4a(3) 当 时， ，由函数单调性可得，4a2,()3,afxx，解得 ；9 分min()()21afxf42a综上，实数 的取值范围为 、10 分6,