1、第四单元 三角形,课时 22 等腰三角形,等腰三角形的性质及判定 等边三角形的性质及判定 线段的垂直平分线,考点自查,定理:等腰三角形的两个底角相等,简称: . 推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边,即等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.简称 . 推论2:等边三角形的各个内角都相等,并且每个角都等于 .,等边对等角,三线合一,60,考点自查,定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.,考点自查,推论1:三个角都相等的三角形是 . 推论2:有一个角是60的 三角形是等边三角形.,于
2、一条线段并且 这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段 的距离 . 逆定理:到一条线段两个端点的 的点,在这条线段的垂直平分线上.,等边三角形,等腰,垂直,平分,两个端点,相等,距离相等,1.如图22-1,在ABC中,AB=AC,D是BC的中点.下列结论不正确的是 ( )A.B=C B.ADBC C.AD平分BAC D.AB=2BD,对点自评,图22-1,D,2.如图22-2,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,则C的度数为 ( )A.35 B.40 C.45 D.50,图22-2,答案 A,3.2018北京房山区一模 如图22-3,
3、直线mn,点A在直线m上,点B,C在直线n上,AB=CB,1=70,则BAC等于 ( )A.40 B.55 C.70 D.110,图22-3,C,4.下列三角形: 有两个角等于60; 有一个角等于60的等腰三角形; 三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形; 一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形. 其中是等边三角形的有 ( ) A. B. C. D.,答案 D,解析 根据等边三角形的判定判断. 两个角为60,则第三个角也是60,其是等边三角形,故正确; 这是等边三角形的判定推论,故正确; 三个外角相等,则三个内角相等,其是等边三角形,故正确; 根据等腰三角形三线合一的性质,可得腰长
4、等于底边长,则三边相等,故正确.,5.如图22-4所示,ABC是等边三角形,且BD=CE,1=15,则2的度数为 ( ),图22-4,A.15 B.30 C.45 D.60,D,6.等腰三角形ABC的底角为72,腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E,垂足为D,连接BE,则EBC的度数为 .,答案 36,解析 如图,等腰三角形ABC的底角为72, A=180-722=36. AB的垂直平分线DE交AC于点E, AE=BE. ABE=A=36. EBC=ABC-ABE=36. 故答案为36.,对点自评,【失分点】 当腰与底、顶角与底角不确定时,忽视分类讨论;分类讨论时忘记三角形三边关系;不能正确添
5、加辅助线,7.若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.2 cm或6 cm,答案 A,解析 (1)若底边长为2 cm,则腰长为(10-2)2=4 cm,4+24,符合三角形的三边关系定理,所以该等腰三角形的底边长为2 cm;(2)若腰长为2 cm,则底边长为10-22=6 cm,2+26,不符合三角形的三边关系定理,所以该等腰三角形的底边长为6 cm舍去.,9.如图22-5,D为ABC内一点,CD平分ACB,BDCD,A=ABD,若AC=5,BC=3,则CD的长为 .,8.若等腰三角形的一个角为50,则
6、这个等腰三角形的顶角可能为 ( ) A.50 B.65 C.80 D.50或80,图22-5,答案 D,解析 当50角为等腰三角形的顶角时,此时等腰三角形的顶角为50; 当50角为等腰三角形的底角时,此时等腰三角形的顶角为180-502=80. 综上,等腰三角形的顶角为50或80.,例1 如图22-6,AD平分BAC,ADBD,垂足为点D,DEAC.求证:BDE是等腰三角形.,图22-6,证明:DEAC,1=3. AD平分BAC,1=2. 2=3. ADBD,2+B=90,3+BDE=90. B=BDE. BDE是等腰三角形.,拓展1 2018桂林 如图22-7,在ABC中,A=36,AB=A
7、C,BD平分ABC,则图中等腰三角形的个数是 .,3,图22-7,答案 6,拓展3 2016柳州 求证:等腰三角形的两个底角相等.(请根据图22-8,用符号表示已知和求证,并写出证明过程) 已知: 求证: 证明:,图22-8,解:已知:如图,在ABC中,AB=AC. 求证:B=C.,拓展4 如图22-9,在ABC中,AB=AC,过点C作CNAB且CN=AC,连接AN交BC于点M.求证:BM=CM.,图22-9,证明:CN=AC, N=CAN. ABCN,BAM=N, BAM=CAM,AM为BAC的平分线, 又AB=AC, AM为ABC底边BC上的中线, BM=CM.,例2 如图22-10,在等
8、边三角形ABC中,将ABC沿直线BC向右平移,使点B和点C重合,得到DCE,连接AE,交CD于点F. 猜想CD与AE的关系,并证明你的结论.,图22-10,【方法模型】 理解平移后的图形和原图形全等是解答此类题的关键.,拓展1 2016贺州 如图22-11,在ABC中,分别以AC,BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,BD交于点O,则AOB的度数为 .,图22-11,120,拓展2 如图22-12所示,已知等边三角形ABC的两个顶点坐标为A(-4,0),B(2,0),CHAB,试求点C的坐标和ABC的面积.,图22-12,例3 2016荆州 如图22-13,在RtABC中,C
9、=90,CAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E.若BC=3,则DE的长为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4,图22-13,答案 A,拓展 如图22-14,在ABC中,AB=AC,BAC=50,BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则CFE为 度.,图22-14,答案 65,【方法点析】 (1)利用三角形的内角和定理求角的度数是一种常用方法; (2)遇到等腰三角形的问题时,注意边有腰和底之分,角有底角和顶角之分; (3)遇到三角形的高线问题,要考虑高在三角形的内部还是外部两种情况.,教材母题人教版八上P77练习T3 如图22-15,在ABC中,AB=AD=DC,BAD=26.求B和C的度数.,图22-15,拓展 如图22-16,在ABC中,A=60,点D是BC边的中点,DEBC,ABC的平分线BF交DE于ABC内一点P,连接PC.若ACP=24,求ABP的度数.,图22-16,解:点D是BC边的中点,DEBC, PB=PC.PBC=PCB. BP平分ABC, PBC=ABP. PBC=PCB=ABP. A=60,ACP=24, PBC+PCB+ABP=120-24=96, 3ABP=96, ABP=32.,