1、第三单元 函数,课时 17 二次函数的综合问题,二次函数的综合问题,考点自查,1.与其他函数结合,(2)与反比例函数结合:主要涉及二次函数与反比例函数图象的交点问题.已知自变量的取值范围,结合函数图象及解析式,判断函数值的取值范围.,2.与几何图形结合二次函数常常与三角形、四边形、圆等几何图形综合,考查以下几类问题: (1)线段数量关系、最值问题; (2)面积数量关系、最值问题; (3)存在性问题:包含特殊三角形、特殊四边形、直线与圆相切等.,对点自评,1.已知点A(0,y),B(0,1),画平面直角坐标系,求线段长度. (1)若点A在点B上方,则线段AB= .(用含y的代数式表示) (2)若
2、点A在点B下方,则线段AB= .(用含y的代数式表示),2.点P是抛物线y=x2+1上一点,过点P作PA垂直于x轴于A,交直线y=x-1于点B,若设点P的横坐标为p,请用含p的代数式表示点P,点B的坐标.,y-1,1-y,解:点B的坐标是(p,p-1),点P的坐标是(p,p2+1).,3.点P是抛物线y=x2+1上一点,过点P作PA垂直于x轴于A,交直线y=x-1于点B,试求线段PB的最小值.,4.2017福建改编 已知直线y=2x-2与抛物线y=ax2+ax-2a,其中a为常数,且a0.求证:不论a为何值,直线与抛物线一定有公共点.,证明:把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+
3、(a-2)x-2a+2=0,所以=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4=(3a-2)2,因为无论a为何值,(3a-2)20,即0,所以直线与抛物线一定有公共点.,例1 2018玉林 如图17-1,一段抛物线y=-x2+4(-2x2)为C1,与x轴交于A0,A1两点,顶点为D1,将C1绕点A1旋转180得到C2,顶点为D2,C1与C2组成一个新的图象,垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1(x1,y1),P2(x2,y2),与线段D1D2交于点P3(x3,y3),设x1,x2,x3均为正数,t=x1+x2+x3,则t的取值范围是( ),图17-1,A.6t8 B.6t8 C.10t
4、12 D.10t12,答案 C,解析 当-2x2时,抛物线C1的表达式为y=-x2+4,其对称轴为直线x=0,所以若l与C1交于两点,此时x1+x2=0,但x1,x2中必有一个负数,因此这种情况不符合题意;由旋转的特点和方式可知,当2x6时,抛物线C2的表达式为y=(x-4)2-4,其对称轴为直线x=4,所以若l与C2交于两点,此时x1+x2=8,又可求得D1(0,4),A1(2,0),D2(4,-4),所以当2x6时,2x34.当直线l为x轴时,与C1,C2有3个公共点,与题意不符,故舍去.因此当2x6时,x1+x2=8,2x34,故100, 方程2x2+bx+c=0有两个不相等的实数根,抛
5、物线与x轴有两个不同的交点.,图17-2,图17-2,图17-2,解：(3)如图,过点H作HG对称轴于点G,过点P作PF对称轴于点F. 由抛物线的表达式知对称轴为直线x=-1, 由直线y=x+3,知EAO=EHG=AEM=FPD=PDF=45. 当x=-1时,y=-1+3=2,即E(-1,2).,拓展3 2016柳州 如图17-3,抛物线y=ax2+b的顶点坐标为(0,-1),且经过点A(-2,0).,图17-3,拓展3 2016柳州 如图17-3,抛物线y=ax2+b的顶点坐标为(0,-1),且经过点A(-2,0). (1)求抛物线的解析式;,图17-3,拓展3 2016柳州 如图17-3,
6、抛物线y=ax2+b的顶点坐标为(0,-1),且经过点A(-2,0).,图17-3,拓展3 2016柳州 如图17-3,抛物线y=ax2+b的顶点坐标为(0,-1),且经过点A(-2,0).,图17-3,图17-4,图17-4,图17-4,(1)用配方法将抛物线的解析式化为顶点式:y=a(x-h)2+k(a0)的形式,并指出顶点M的坐标; (2)在抛物线的对称轴上找一点R,使得CR+AR的值最小,并求出其最小值和点R的坐标; (3)以AB为直径作N,交抛物线于点P(点P在对称轴的左侧),求证:直线MP是N的切线.,图17-5,(2)在抛物线的对称轴上找一点R,使得CR+AR的值最小,并求出其最小值和点R的坐标;,图17-5,(3)以AB为直径作N,交抛物线于点P(点P在对称轴的左侧),求证:直线MP是N的切线.,图17-5,