1、课时训练(二十三)第 23 课时 直角三角形与勾股定理夯实基础1.2017贵港 下列命题中,假命题是 ( )A.正六边形的外角和等于 360B.位似图形必定相似C.样本方差越大,数据波动越小D.方程 x2+x+1=0 无实数根2.下列说法中,正确的是 ( )A.已知 a,b,c 是三角形的三边,则 a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的 平方等于第三边的平方C.在 RtABC 中,C= 90,所以 BC2+AC2=AB2D.在 RtABC 中,B=90,所以 BC2+AC2=AB23.2018黄冈 如图 K23-1,在 RtABC 中,ACB= 90,CD 为 AB 边上的高,CE 为 A
2、B 边上的中线,AD=2,CE= 5,则 CD=( )图 K23-1A.2 B.3 C.4 D.2 34.2016达州 如图 K23-2,在 55 的正方形网格中,从格点上的点 A,B,C,D 中任取三点,所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 ( )图 K23-2A. B. C. D.13 12 23 345.2017常德 命题:“如果 m 是整数,那么它是有理数”,则它的逆命题为 . 6.2016大庆 如图 K23-3,一艘轮船在小岛 A 的北偏东 60方向距小岛 80 海里的 B 处,沿正西方向航行 3 小时后到达小岛的北偏西 45方向的 C 处,则该船行驶的速度为 海里/时. 图 K2
3、3-37.2018重庆 A 卷 如 图 K23-4,把三角形纸片折叠,使点 B,点 C 都与点 A 重合,折痕分别为 DE,FG,得到AGE=30,若AE=EG=2 厘米,则ABC 的边 BC 的长为 厘米. 3图 K23-48.2017庆阳 如图 K23-5,一张三角形纸片 ABC,C=90,AC=8 cm,BC=6 cm.现将纸片折叠,使点 A 与点 B 重合,那么折痕长等于 cm. 图 K23-59.2017徐州 如图 K23-6,已知 ACBC,垂足为 C,AC=4,BC=3 ,将线段 AC 绕点 A 按逆时针方向旋转 60,得到线段3AD,连接 DC,DB.图 K23-6(1)线段
4、DC= ; (2)求线段 DB 的长度 .能力提升10.2016哈尔滨 如图 K23-7,一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向,与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 30方向上的 B 处,则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为 ( )图 K23-7A.60 海里 B.45 海里C.20 海里 D.30 海里3 311.在ABC 中,若 AC=15,BC=13,AB 边上的高 CD=12,则ABC 的周长为 ( )A.32B.42C.32 或 42 D.以上都不对12.2018襄阳 已知 CD 是 ABC 的边 AB
5、 上的高,若 CD= ,AD=1,AB=2AC,则 BC 的长为 . 313.2018玉林 如图 K23-8,在四边形 A BCD 中,B=D=90,A=60,AB=4,则 AD 的取值范围是 . 图 K23-814.2018柳州 如图 K23-9,在 RtABC 中,BCA= 90,DCA= 30,AC= ,AD= ,则 BC 的长为 . 373图 K23-915.2017河南 如图 K23-10,在 RtABC 中,A=90,AB=AC,BC= +1,点 M,N 分别是边 BC,AB 上的动点,沿 MN 所在2的直线折叠B,使点 B 的对应点 B始终落在边 AC 上.若MBC 为直角三角形
6、,则 BM 的长为 . 图 K23-1016.如图 K23-11,在 RtABC 中,AB=AC,BAC= 90,O 为 BC 的中点.图 K23-11(1)写出点 O 到 ABC 的三个顶点 A,B,C 的距离的关系(不要求证明);(2)如果点 M,N 分别在线段 AB,AC 上移动,在移动过程中保持 AN=BM,请判断OMN 的形状,并证明你的结论.参考答案1.C2.C3.C 解析 在 RtABC 中, 因为 CE 为 AB 边上的中线,所以 CE= AB=AE,因为 CE=5,AD=2,所以 DE=3,因为 CD 为 AB12边上的高,所以在 RtCDE 中 ,CD= =4,故选 C.2
7、-24.D 解析 从点 A,B,C,D 中任取三点能组成三角形一共有 4 种可能,其中ABD,ADC,ABC 是直角三角形,所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 .34故选 D.5.如果 m 是有理数,那么它是整数6. 解析 如图所示,AQBC 于点 Q.40+4033设该船行驶的速度为 x 海里/ 时.3 小时后到达小岛的北偏西 45方向的 C 处,由题意,得 AB=80 海里,BC=3x 海里.在 Rt ABQ 中,BAQ=60,B=90- 60=30.AQ= AB=40 海里,BQ= AQ=40 海里,12 3 3在 Rt AQC 中 ,CAQ=45,CQ=AQ=40 海里.BC= 4
8、0+40 =3x.3解得 x= .40+40337.(4 +6) 解析 如图,过点 E 作 EMAG 于点 M,则由 AE=EG,得 AG=2MG.3AGE= 30,EG=2 厘米,3EM= EG= (厘米).12 3在 Rt EMG 中,由勾股定理,得 MG= =3(厘米),从而 AG=6 厘米.(23)2-( 3)2由折叠可知,BE=AE= 2 厘米,GC=AG=6 厘米.3BC=BE+EG+GC=2 +2 +6=4 +6(厘米).3 3 38. 解析 如图,在 RtABC 中,因为 AC=8 cm,BC=6 cm,根据勾股定理,得 AB=10 cm.设 CE=x cm,由折叠的性质,得1
9、54BD=AD=5 cm,BE=AE=(8-x)cm.在 RtBCE 中,根据勾股定理,得 BC2+CE2=BE2,即 62+x2=(8-x)2.解得 x= .8-x= .DE=74 254= .(254) 2-521549.解:(1)4(2)AC=AD, CAD=60,CAD 是等边三角形,CD=AC=4, ACD=60.过点 D 作 DEBC 于 E.ACBC,ACD=60,BCD=30 .在 Rt CDE 中 ,CD=4,BCD= 30,DE= CD=2,CE=2 .BE= .12 3 3在 Rt DEB 中,由勾股定理,得 DB= .710.D11.C 解析 作出图形,利用勾股定理列式
10、求出 AD,BD,再分 CD 在ABC 内部和外部两种情况求出 AB,然后根据三角形周长的定义解答即可.AC=15,BC=13,AB 边上的高 CD=12,AD= = =9,2-2 152-122BD= = =5.2-2 132-122如图 ,CD 在ABC 内部时, AB=AD+BD=9+5=14,此时,ABC 的周长=14+13+15=42;如图 ,CD 在ABC 外部时, AB=AD-BD=9-5=4,此时,ABC 的周长=4+13+15=32.综上所述,ABC 的周长为 32 或 42.12.2 或 2 解析 分两种情况讨论:3 7 当 CD 在ABC 内部时,如图 :在 Rt ACD
11、 中 ,由勾股定理得 AC= =2.2+2AB=2 AC=4,BD=AB-AD= 3.在 Rt BCD 中 ,由勾股定理得 ,BC= =2 .2+2 3 当 CD 在ABC 外部时,如图 :此时 AB=4,BD=BA+AD=5,在 Rt BCD 中 ,由勾股定理得 ,BC= =2 .2+2 7综上所述,BC 的长为 2 或 2 .3 7故答案为 2 或 2 .3 713.2AD8 解析 由题知,A= 60 ,AB=4,已确定,AD 的长度可以变化,如图 是 AD 最短的临界值,此时AD=ABcos60=2;如图 是 AD 最长的临界值,此时 AD= =8,而这两种情况四边形 ABCD 就变成了
12、三角形,故都不能60达到,故 AD 的取值范围是 2AD8.14.2 或 5 解析 过点 A 作 AEBC ,AE 与 CD 的延长线交于点 E,则CAE=90.ECA=30,AC= ,AE= 1.设3BC=a,由 AEB C 可知BCDAED, = ,即 = ,173BD= a.在 RtABC 中,由勾股定理得: AB2=BC2+AC 2,73即 a+ 2=a2+( )2,解得:a= 2 或 a=5.故 BC 的长为 2 或 5.73 73 315.1 或 解析 A=90,AB=AC,BC= +1,AB= +1. 当MBC=90时,B=45,MBN=45.2+12 2 22MBA=90,AB
13、N=45.A= 90,BNA=45 .AN=AB. 设 BN=x,则 NB=x,AN= +1-x.在 RtANB中, +1-22 22x= x, x=1.CB= +1- =1.CM= = .BM= +1- =1. 当BMC= 90时,则BMB= 90.22 22 22 12+12 2 2 2BMN=BMN=45.B= 45,MNAB. 点 B与点 A 重合.又AB=AC,BM=CM.BC= +1.BM= .综22+12上,BM= 1 或 BM= .2+1216.解:(1)点 O 到ABC 的三个顶点 A,B,C 的距离的关系是 OA=OB=OC.(2)OMN 的形状是等腰直角三角形.证明:在ABC 中,AB=AC,BAC=90,O 为 BC 的中点,B=C= 45,OA=OB=OC,AO 平分BAC,AOBC.AOB= 90,BAO=CAO=45,CAO=B.在BOM 和AON 中, =,=,=, BOMAON(SAS),OM=ON,AON=BOM.AOB= BOM+AOM= 90,AON+AOM=90,即MON=90 .OMN 是等腰直角三角形 .