1、课时训练(二十二)第 22 课时 等腰三角形夯实基础1.2018福建 A 卷 如图 K22-1,等边三角形 ABC 中,AD BC,垂足为 D,点 E 在线段 AD 上,EBC=45,则ACE 等于 ( )图 K22-1A.15 B.30 C.45 D.602.2018湖州 如图 K22-2,AD,CE 分 别是ABC 的中线和角平分线,若 AB=AC,CAD= 20,则ACE 的度数是 ( )图 K22-2A.20 B.35 C.40 D.703.2016湘西 一个等腰三角形的一边长为 4 cm,另一边长为 5 cm,那么这个等 腰三角形的周长是 ( )A.13 cm B.14 cmC.13
2、 cm 或 14 cm D.以上都不对4.2017南充 如图 K22-3,等边三角形 OAB 的边长为 2,则点 B 的坐标为 ( )A.(1,1) B.( ,1)3C.( , ) D.(1, )3 3 3图 K22-35.2017荆州 如图 K22-4,在ABC 中,AB=AC,A=30,AB 的垂直平分线交 AC 于点 D,则CBD 的度数为 ( )图 K22-4A.30 B.45 C.50 D.756.边长为 6 的等边三角形的面积为 ( )A.18 B.183C.6 D.93 37.2016滨州 如图 K22-5,在ABC 中,D 为 AB 上一点,E 为 BC 上一点,且 AC=CD
3、=BD=BE,A=50,则CDE 的度数为( )图 K22-5A.50 B.51 C.51.5 D.52.58.2017扬州 如图 K22-6,把等边三角形 ABC 沿着 DE 折叠,使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处,且 DPBC.若 BP=4 cm,则EC= cm. 图 K22-69.2016烟台 如图 K22-7,O 为数轴原点,A,B 两点分别对应 -3,3,作腰长为 4 的等腰三角形 ABC,连接 OC,以 O 为圆心,CO长为半径画弧,交数轴于点 M,则点 M 对应的实数为 . 图 K22-710.2018娄底 如图 K22-8,ABC 中,AB=AC,ADBC 于 D 点
4、,DE AB 于点 E,BFAC 于点 F,DE=3 cm,则 BF= cm. 图 K22-811.2017连云港 如图 K22-9,已知等腰三角形 ABC 中,AB=AC,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,且 AD=AE,连接 BE,CD,交于点 F.图 K22-9(1)判断ABE 与ACD 的数量关系 ,并说明理由;(2)求证:过点 A,F 的直线垂直平分线段 BC.能力提升12.2017台州 如图 K22-10,已知等腰三角形 ABC 中,AB=AC,若以点 B 为圆心,BC 长为半径画弧,交腰 AC 于点 E,则下列结论一定正确的是 ( )图 K22-10A.AE=EC B.AE=
5、BEC.EBC=BAC D.EBC=ABE13.2017天津 如图 K22-11,在ABC 中,AB=AC,AD,CE 是ABC 的两条中线,P 是 AD 上的一个动点,则下列线段的长等于 BP+EP 最小值的是 ( )图 K22-11A.BC B.CE C.AD D.AC14.已知等边三角形的边长为 3,点 P 为等边三角形内任意一点,则点 P 到三边的距离之和为 ( )A. B.32 332C. D.不能确定3215.如图 K22-12,坐标平面内一点 A(2,-1),O 为原点,P 是 x 轴上的一个动点.如果以点 P,O,A 为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点 P 的个数为
6、 ( )图 K22-12A.2 B.3 C.4 D.516.2017河池 已知等边三角形 ABC 的边长为 12,D 是 AB 上的动点,过 D 作 DEAC 于点 E,过 E 作 EFBC 于点 F,过 F 作 FGAB 于点 G.当 G 与 D 重合时,AD 的长 是 ( )A.3 B.4 C.8 D.917.2018玉林 如图 K22-13,AOB=60, OA=OB,动点 C 从点 O 出发,沿射线 OB 方向移动,以 AC 为边在右侧作等边三角形 ACD,连接 BD,则 BD 所在直线与 OA 所在直线的 位置关系是 ( )图 K22-13A.平行 B.相交C.垂直 D.平行,相交或
7、垂直18.如图 K22-14,在等边三角形 ABC 中,AB= 10,BD=4,BE=2,点 P 从点 E 出发沿 EA 方向运动,连接 PD,以 PD 为边,在 PD右侧按如图所示方式作等边三角形 DPF,当点 P 从点 E 运动到点 A 时,点 F 运动的路径长是 ( )图 K22-14A.8 B.10 C.3 D.519.2017宁夏 如图 K22-15,在边长为 2 的等边三角形 ABC 中,P 是 BC 边上任意一点,过点 P 分别作PMAB,PNAC ,M,N 分别为垂足 .图 K22-15(1)求证:不论点 P 在 BC 边的何处时,都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC
8、一边上的高;(2)当 BP 的长为何值时,四边形 AMPN 的面积最大,并求出最大值.20.如图 K22-16,ABC 是等腰三角形 ,A 为顶角,D ,E 分别是腰 AB 及 AC 延长线上的一点,且 BD=CE,连接 DE,交底边BC 于点 G.图 K22-16求证:GD=GE.参考答案1.A 解析 ABC 是等边三角形 ,ABC=ACB=60,ADBC,BD=CD,AD 是 BC 的垂直平分线,BE=CE,EBC=ECB=45,ECA=60-45= 15.2.B3.C 解析 当 4 cm 为等腰三角形的腰时,三角形的三边长分别是 4 cm,4 cm,5 cm,符合三角形的三边关系,周长为
9、13 cm;当 5 cm 为等腰三角形的腰时,三边长分别是 5 cm,5 cm,4 cm,符合三角形的三边关系,周长为 14 cm.故选 C.4.D 解析 过点 B 作 BC OA 于点 C,则 OC=1,BC= = = .2-2 22-12 3点 B 的坐标为(1, ).故选 D.35.B 解析 AB=AC,A= 30,ABC= ACB= 75. AB 的垂直平分线交 AC 于 D,AD=BD.A=ABD=30.CBD=75-30 =45.6.D7.D8.2+2 解析 根据“30 角所对的直角边等于斜边的一半”可求得 BD=8,再由勾股定理求得 DP=4 .根据折叠的性质3 3可以得到DPE
10、= A=60,DP=DA=4 ,易得EPC=30,PEC=90.所以 EC= PC= (8+4 -4)=2+2 .312 12 3 39. 710.6 解析 由题意可知:S ABC=2SABD =2 ABDE=ABDE=3AB,则 ACBF=3AB,12 12又AC=AB, BF=3,解得:BF=6.1211.解:(1)ABE=ACD.理由如下:因为 AB=AC,BAE=CAD,AE=AD,所以ABE ACD.所以ABE=ACD.(2)证明:因为 AB=AC,所以ABC=ACB.由(1)可知ABE=ACD,所以FBC=FCB.所以 FB=FC.又因为 AB=AC,所以点 A,F 均在线段 BC
11、 的垂直平分线上,即过点 A,F 的直线垂直平分线段 BC.12.C 解析 ABC 是等腰三角形,AB=AC,ABC= ACB.又BC=BE ,ACB= BEC.BAC=EBC.故选 C.13.B 解析 由 AB=AC,可得ABC 是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一”可知,点 B 与点 C 关于直线 AD 对称,连接 CP,则 BP=CP.因此,BP+EP 的最小值为 CE.故选 B.14.B 解析 如图,ABC 是等边三角形 ,AB=3,点 P 是三角形内任意一点,过点 P 分别向三边 AB,BC,CA 作垂线,垂足依次为 D,E,F,过点 A 作 AHBC 于 H,则BH= ,AH=
12、 = .32 2-2332连接 PA,PB,PC,则 SPAB +SPBC +SPCA =SABC . ABPD+ BCPE+ CAPF= BCAH.12 12 12 12PD+PE+PF=AH= .332故选 B.15.C 解析 如图, OA 为等腰三角形底边,符合条件的动点 P 有一个; OA 为等腰三角形一条腰,符合条件的动点 P 有三个.综上所述,符合条件的点 P 共有 4 个.故选 C.16.C 解析 由题易知,DEF 为等边三角形,x+2x=12,解得 x=4.AD=2x=8.17.A18.A 解析 如图,考虑两个特殊位置,点 P 与点 E 重合及点 P 与点 A 重合,设点 P
13、与点 A 重合时点 F 运动到点 F,可以证得DFFDEA ,由题易知点 F 运动的路径长是 FF的长度 ,即 AE 的长度,AE=AB-BE=8.故选 A.19.解:(1)证明:连接 AP.ABC 是等边三角形,故不妨设 AB=BC=AC=a,其中 BC 边上的高记作 h.PMAB,PNAC,S ABC =SABP +SACP = ABMP+ ACPN= a(PM+PN).12 12 12又S ABC = BCh= ah,12 12PM+PN=h,即不论点 P 在 BC 边的何处时,都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC 一边上的高.(2)设 BP=x .在 Rt BMP 中 ,BMP
14、=90,B=60,BP=x,BM=BPcos60= x,MP=BPsin 60= x.12 32S BMP = BMMP= x x= x2.12 1212 32 38PC= 2-x,同理可得 SPNC = (2-x)2.38又S ABC = 22= ,34 3S 四边形 AMPN=SABC -SBMP -SPNC = - x2- (2-x)2=- (x-1)2+ .338 38 34 334当 BP=1 时, 四边形 AMPN 的面积最大,是 .33420.解析 过点 E 作 EFAB, 交 BC 的延长线于点 F,根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出 F= FCE,从而可得到 BD=CE=EF,再根据 AAS 判定DGBEGF,根据全等三角形的性质即可证得结论.证明:过 E 点作 EFAB,交 BC 的延长线于点 F.AB=AC,B=ACB.EFAB,F=B.又ACB=FCE,F=FCE,CE=EF.BD=CE,BD=EF.在DBG 与 EFG 中, =,=,=, DBG EFG(AAS).GD=GE.