1、课时训练(十六)第 16 课时 二次函数的图像和性质夯实基础1.2016怀化 抛物线 y=x2+2x-3 的开口方向、顶点坐标分别是 ( )A.开口向上,顶点坐标为(-1,- 4)B.开口向下,顶点坐标为(1,4)C.开口向上,顶点坐标为(1,4)D.开口向下,顶点坐标为(-1,- 4)2.2017贵港 将如图 K16-1 所示的抛物线向右平移 1 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度后,得到的抛物线的解析式是 ( )图 K16-1A.y=(x-1)2 +1B.y=(x+1)2+1C.y=2(x-1)2+1D.y=2(x+1)2+13.2016永州 若抛物线 y=x2+2x+m-1 与 x
2、轴有两个不同的交点,则 m 的取值范围是 ( )A.m2C.00.解得 m0. 抛物线的对称轴是直线 x=-1, - =-1. b=2a. y=ax-4a,对于方程组 消去 y,可整理成:ax 2-4ax-c=0,=16a2+4ac. 抛物线过点(- 3,0),2 =-4,=, 9a-3b+c=0, c=-3a, 16a2+4ac=16a2-12a2=4a20. 直线与反比例函数图象有交点.故选 C.6.B7.B 解析 连接 PC,PO,PA.设点 P 的坐标为 m,- m2+ m+ .112 23 53令 x=0,得 y= .53 点 C 的坐标为 0, .53令 y=0,得- x2+ x+
3、 =0.11223 53解得 x=-2 或 x=10. 点 A 的坐标为(10,0),点 B 的坐标为(- 2,0). SPAC =SPCO +SPOA -SAOC = m+ 10 - m2+ m+ - 10=- (m-5)2+ .1253 12 112 23 53 1253 512 12512 m=5 时,PAC 的面积最大,为 ,12512此时点 P 的坐标为 5, .35128.A 解析 以点 B 为圆心,线段 AB 的长为半径作圆,交抛物线于点 C,M,N,连接 AC,BC,由直线 y=- x+3 可求出点 A,B3的坐标,结合抛物线的解析式可得出ABC 是等边三角形,再令抛物线的解析
4、式中 y=0,求出抛物线与 x 轴的两交点的坐标,发现这两点与 M,N 重合,结合图形分三种情况研究ABP,由此即可得出结 论.以点 B 为圆心,线段 AB 的长为半径作圆,交抛物线于点 C,M,N,连接 AC,BC,如图所示.令一次函数 y=- x+3 中 x=0,得 y=3.3 点 A 的坐标为(0,3).令一次函数 y=- x+3 中 y=0,得3- x+3=0.3解得 x= .3 点 B 的坐标为( ,0).3 AB =2 .3 y=- (x- )2+413 3=- x2+ x+3,13 233 A(0,3)在抛物线上. 抛物线的对称轴为直线 x= ,点 B( ,0),3 3 点 B
5、在对称轴上, 点 C 的坐标为(2 ,3).3 AC=2 =AB=BC.3 ABC 为等边三角形.令 y=- (x- )2+4 中 y=0,13 3得- (x- )2+4=0.13 3解得 x=- 或 x=3 .3 3 点 M 的坐标为(- ,0),点 N 的坐标为(3 ,0).3 3ABP 为等腰三角形分三种情况: 当 AB=BP 时,以点 B 为圆心,AB 的长为半径作圆,与抛物线交于 C,M,N 三点; 当 AB=AP 时,以点 A 为圆心,AB 的长为半径作 圆,与抛物线交于 C,M 两点; 当 AP=BP 时,作线段 AB 的垂直平分线,交抛物线于 C,M 两点. 能使ABP 为等腰
6、三角形的点 P 有 3 个.故选 A.9.y=- (x-4)(x+2) 解析 设抛物线的解析式为 y=a(x-4)(x+2).把 C(0,3)代入上式,得 3=a(0-4)(0+2).解得 a=- .故所求解38 38析式为 y=- (x-4)(x+2).3810.A 解析 设 ax2+bx+c=0(a0)的两根为 x1,x2,由二次函数的图象可知 x1+x20,a0.设方程 ax2+ b- x+c=0(a0)的23两根为 x3,x4.再根据根与系数的关系即可得出结论.设 ax2+bx+c=0(a0)的两根为 x1,x2.由二次函数的图象可知,x 1+x20,a0. - 0.设方程 ax2+
7、b- x+c=0(a0)的两根为 x3,x4,则 x3+x4=- =- + .23 -23 23 a0, 0. x3+x40.23故选 A.11.解:(1)以点 O 为原点,线段 OA 所在的直线为 x 轴,线段 OC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系,如图所示. 正方形 OABC 的边长为 4,对角线相交于点 P, 点 O 的坐标为(0,0), 点 A 的坐标为 ( 4,0),点 P 的坐标为(2,2). 设抛物线 L 的解析式为 y=ax2+bx+c. 抛物线 L 经过 O,P,A 三点, 解得0=,0=16+4+,2=4+2+. =-12,=2,=0. 抛物线 L 的解析式为 y=-
8、x2+2x.12(2) 点 E 是正方形内的抛物线上的动点, 设点 E 的坐标为 m,- m2+2m (0m4).12 SOAE +SOCE = OAyE+ OCxE12 12=-m2+4m+2m=-(m-3)2+9. 当 m=3 时,OAE 与OCE 的面积之和最大,为 9.12.解:(1) 抛物线的对称轴为直线 x=1,B(3,0), A(-1,0). 抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C (0,3), 当 x=0 时,c=3. 抛物线 y=ax2+bx+3 过点 A(-1,0),B(3,0), -+3=0,9+3+3=0. =-1,=2. 抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3.(2)
9、 C(0,3),B(3,0), 直线 BC 的解析式为 y=-x+3. y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 顶点的坐标为(1,4). 对于直线 BC:y=-x+3,当 x=1 时,y= 2;将抛物线 L 向下平移 h 个单位长度, 当 h=2 时,抛物 线的顶点落在 BC 上;当 h=4 时,抛物线的顶点落在 OB 上. 将抛物线 L 向下平移 h 个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在OBC 内(包括OBC 的边界),则 2h4.(3)设 P(m,-m2+2m+3),Q(-3,n). 当点 P 在 x 轴上方时 ,过点 P 作 PM直线 l,交直线 l 于点 M,过点 B 作 BN
10、MP,交 MP 的延长线于点 N,如图所示. B(3,0),PBQ 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形, BPQ= 90,BP=PQ. PMQ= BNP=90,MPQ=NBP.在PQM 和BPN 中, =,=,=, PQMBPN(AAS). PM=BN. PM=BN=-m2+2m+3.根据点 B 的坐标,可得 PN=3-m,且 PM+PN=6. -m2+2m+3+3-m=6,解得 m=1 或 m=0. P(1,4)或 P(0,3). 当点 P 在 x 轴下方时 ,过点 P 作 PMl 于点 M,过点 B 作 BNMP 的延长线于点 N.同理可得,PQMBPN, PM=BN. PM=6-(3-m)=3+m,BN=m2-2m-3. 3+m=m2-2m-3.解得 m= 或 m= .3+332 3- 332 P , 或 , .3+332 - 33-92 3- 332 33-92综上可得,符合条件的点 P 的坐标是(1,4),(0,3), , 和 , .3+332 - 33-92 3- 332 33-92