1、课时训练(十七)第 17 课时 二次函数的综合问题夯实基础1.2018遂宁 如图 K17-1,已知抛物线 y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数 y= 的图象相交于点 B,且 B 点的横坐标为 3,抛物9线与 y 轴交于点 C(0,6),A 是抛物线 y=ax2-4x+c 的顶点,P 点是 x 轴上一动点,当 PA+PB 最小时,P 点的坐标为 . 图 K17-12.2018新疆维吾尔生产建设兵团 如图 K17-2,已知抛物线 y1=-x2+4x 和直线 y2=2x.我们规定:当 x 取任意一个值时,x 对应的函数值分别为 y1 和 y2.若 y1y2,取 y1 和 y2 中较小值为 M;若
2、 y1=y2,记 M=y1=y2. 当 x2 时,M=y 2; 当 x0 时,M 随 x的增大而增大; 使得 M 大于 4 的 x 的值不存在; 若 M=2,则 x=1.上述结论正确的是 (填写所有正确的结论序号). 图 K17-23.2018遵义 如图 K17-3,抛物线 y=x2+2x-3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 P 是抛物线对称轴上任意一点,若点 D,E,F 分别是 BC,BP,PC 的中点,连接 DE,DF,则 DE+DF 的最小值为 . 图 K17-34.2018泰安 如图 K17-4,在ABC 中,AC= 6,BC=10,tanC= ,点 D 是 A
3、C 边上的动点(不与点 C 重合),过 D 作 DEBC,垂34足为 E,点 F 是 BD 的中点,连接 EF,设 CD=x,DEF 的面积为 S,则 S 与 x 之间的函数关系式为 . 图 K17-45.2018桂林 如图 K17-5,已知抛物线 y=ax2+bx+6(a0)与 x 轴交于点 A(-3 ,0)和点 B(1,0),与 y 轴交于点 C.图 K17-5(1)求抛物线的函数表达式及点 C 的坐标.(2)点 M 为坐标平面内一点 ,若 MA=MB=MC,求点 M 的坐标.(3)在抛物线上是否存在点 E,使 4tanABE =11tanACB?若存在,求出满足条件的所有点 E 的坐标;
4、若不存在,请说明理由.6.2018南宁 如图 K17-6,抛物线 y=ax2-5ax+c 与坐标轴分别交于 A,C,E 三点,其中 A(-3,0),C(0,4),点 B 在 x 轴上,AC=BC,过点 B 作 BD x 轴交抛物线于点 D,点 M,N 分别是线段 CO,BC 上的动点,且 CM=BN,连接 MN,AM,AN.图 K17-6(1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标;(2)当CMN 是直角三角形时,求点 M 的坐标;(3)试求出 AM+AN 的最小值.7.2018梧州 如图 K17-7,抛物线 y=ax2+bx- 与 x 轴交于 A(1,0),B(6,0)两点,D 是 y 轴上一点,
5、连接 DA,延长 DA 交抛物线92于点 E.图 K17-7(1)求此抛物线的解析式.(2)若 E 点在第一象限,过点 E 作 EFx 轴于点 F,ADO 与AEF 的面积比为 = ,求出点 E 的坐标. 19(3)若 D 是 y 轴上的动点,过 D 点作与 x 轴平行的直线交抛物线于 M,N 两点,是否存在点 D,使 DA2=DMDN?若存在 ,请求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1. ,01252.3.3224.S=- x2+ x(0x6)325325.解:(1)将点 A(-3,0)和点 B(1,0)分别代入 y=ax2 +bx+6,得 解得 抛物线的函数表达0=(-3)2
6、+(-3)+6,0=12+1+6, =-2,=-4,式为 y=-2x2-4x+6,当 x=0 时,y=6,点 C 的坐标为(0,6).(2)如图 ,分别作线段 AB,AC 的垂直平分线,相交于点 M,则点 M 可使 MA=MB=MC,抛物线的解析式为 y=-2x2-4x+6=-2(x+1)2+8,顶点的坐标为(-1,8),对称轴为直线 x=-1,点 M 的横坐标为-1,设线段 AC 的中点为 D,点 A(-3,0),C(0,6),点 D 的坐标为 ,设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,将点 A(-3,0),C(0,6)代入 y=kx+b得: 解得: (-32,3) =6,0=-3+, =2
7、,=6,直线 AC 的解析式为:y=2x+ 6,则可设线段 AC 的垂直平分线 DE 的关系式为 y=- x+b1,将点 D 的坐标 代入得,3=-12 (-32,3) +b1,解得 b1= ,直线 DE 的关系式为 y=- x+ ,当 x=-1 时,y=- (-1)+ = ,点 M 的坐标为 .32(-12) 94 12 94 12 94114 (-1,114)(3)如图 ,过点 B 作 BGAC 于点 G,过点 E 作 EFx 轴于点 F,直线 AC 的解析式为:y=2x+6,可设直线 BG 的关系式为 y=- x+b2,将点 B 的坐标(1,0)代入得,0=1 +b2,解得 b2= ,直
8、线 BG 的关系式为 y=- x+ ,联立 得12 (-12) 12 12 12 =2+6,=-12+12,点 G 的坐标为 ,=-115,=85, (-115,85)BG= = = ,CG= = = ,1-(-115)2+(0-85)2 25625+6425855 0-(-115)2+(6-85)2 12125+484251155在 RtBCG 中, tanACB= = = ,8551155 811又4tanABE=11tanACB,4tanABE=8,即 4 =8,解得 =2,EF=2BF,设点 E 的坐标为(e ,-2e2-4e+6),则点 F 的 坐标为(e,0),EF=- 2e2-4
9、e+6,BF= ,又EF= 2BF, 即-2e 2-4e+6=2 ,|1-| |1-|-2e 2-4e+6=2(1-e)或-2e 2-4e+6=2(e-1),即 e2+e-2=0 或 e2+3e-4=0,由 e2+e-2=0 解得 e=-2 或 e=1(与点 B 重合,舍去), 由e2+3e-4=0 解得 e=-4 或 e=1(与点 B 重合,舍去),当 x=-4 时,y=-2x 2-4x+6=-10,当 x=-2 时,y=-2x 2-4x+6 =6,点 E 的坐标为(-4,-10)或(- 2,6).6.解:(1)把 A(-3,0),C(0,4)代入 y=ax2-5ax +c 得 解得9+15
10、+=0,=4, =-16,=4,抛物线解析式为 y=- x2+ x+4;16 56AC=BC,CO AB,OB=OA=3,B(3,0),BDx 轴交抛物线于点 D,D 点的横坐标为 3,当 x=3 时,y=- 9+ 3+4=5,16 56D 点坐标为(3,5) .(2)在 RtOBC 中,BC= = =5,2+2 32+42设 M(0,m),则 BN=4-m,CN=5-(4-m)=m+1,MCN=OCB ,当 = 时, CMNCOB,则CMN=COB=90,即 = ,解得 m= ,此时 M 点坐标为 ; 4-4 +15 169 (0,169)当 = 时,CMNCBO,则CNM=COB=90,即
11、 = ,解得 m= ,此时 M 点坐标为 . 4-5 +14 119 (0,119)综上所述,M 点的坐标为 或 .(0,169) (0,119)(3)连接 DN,AD,如图,AC=BC,CO AB,CO 平分ACB,ACO=BCO,BDOC,BCO=D BC,DB=BC=AC= 5,CM=BN,ACMDBN,AM=DN,AM+ AN=DN+AN,而 DN+ANAD(当且仅当点 A,N,D 共线时取等号),DN+AN 的最小值 = = ,62+52 61AM+AN 的最小值为 .617.解:(1)将 A(1,0),B(6,0)代入函数解析式,得 +-92=0,36+6-92=0,解得 =-34
12、,=214,抛物线的解析式为 y=- x2+ x- .34 214 92(2)EFx 轴于点 F,AFE=90.AOD=AFE= 90,OAD=FAE,AOD AFE, = = . ()219AO=1,AF=3, OF=3+1=4,当 x=4 时,y=- 42+ 4- = ,34 214 9292E 点坐标是 4, .92(3)存在点 D,使 DA2=DMDN,理由如下:设 D 点坐标为(0,n),则 AD2=1+n2,当 y=n 时,- x2+ x- =n,34 214 92化简,得-3x 2+21x-18-4n=0,设方程的两根为 x1,x2(x1x2),则 x1x2= ,18+43DM=x1,DN=x2,D A2=DMDN,即 1+n2= ,18+43化简,得3n2-4n-15=0,解得 n1=- ,n2=3,D 点坐标为 0,- 或(0,3).53 53