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沪科版八年级数学下册《18.2(第1课时)勾股定理的逆定理》课件

1、18.2 勾股定理的逆定理,第18章 勾股定理,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 勾股定理的逆定理,1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.(重点) 2.能证明勾股定理的逆定理,能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.(难点),导入新课,问题1 勾股定理的内容是什么?,如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.,b,c,a,问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长:, a3,b4; a2.5,b6; a4,b7.5.,c=5,c=6.5,c=8.5,复习引入,思考 以前我们已经学过了通过角的关

2、系来确定直角三角形,可不可以通过边来确定直角三角形呢?,同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?,打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段,4段,5段的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.,情景引入,思考:从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?,大禹治水,相传,我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.,讲授新课,下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17. 问题 分别以每组数为三边长作出三角形,用量

3、角器量一量,它们都是直角三角形吗?,是,下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点?, 5,12,13满足52+122=132, 7,24,25满足72+242=252, 8,15,17满足82+152=172.,问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗?,32+42=52,满足.,a2+b2=c2,我觉得这个猜想不准确,因为测量结果可能有误差.,我也觉得猜想不严谨,前面我们只取了几组数据,不能由部分代表整体.,问题3 据此你有什么猜想呢?,由上面几个例子,我们猜想: 命题2 如果三

4、角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.,?,已知:如图,ABC的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2 求证:ABC是直角三角形,构造两直角边分别为a,b的RtABC,证一证:,证明:作RtABC,使C=90,AC=b,BC=a,,ABC ABC(SSS),,C= C=90 , 即ABC是直角三角形.,则,勾股定理的逆定理:,如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形.,勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,即已知三角形的三边长,且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方,即可判断此三角形为直角三角形 ,最长边所对的角为直

5、角.,特别说明:,归纳总结,例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是,那么哪一个角是直角?,(1) a=15 , b=8 ,c=17;,解:(1)152+82=289,172=289,152+82=172, 根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形, 且C是直角.,(2) a=13 ,b=14 ,c=15.,(2)132+142=365,152=225, 132+142152,不符合勾股定理的逆定理, 这个三角形不是直角三角形.,根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.,【变式题1】若ABC的三边a,b,c

6、满足 a:b: c=3:4:5,是判断ABC的形状.,解:设a=3k,b=4k,c=5k(k0), (3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, (3k)2+(4k)2=(5k)2, ABC是直角三角形,且C是直角.,已知三角形三边的比例关系判断三角形形状:先设出参数,表示出三条边的长,再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角.如果三角形的三边比中有两个相同的数,那么该三角形还是等腰三角形.,【变式题2】(1)若ABC的三边a,b,c,且a+b=4,ab=1, c= ,试说明ABC是直角三角形.,解:因为a+b=4,ab=1, 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.

7、 又因为c2=14, 所以a2+b2=c2, 所以ABC是直角三角形.,(2) 若ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断ABC的形状.,解: a2+b2+c2+50=6a+8b+10c, a26a+9+b28b+16+c210c+25=0.即 (a3)+ (b4)+ (c5)=0. a=3, b=4, c=5,即 a2+b2=c2.ABC是直角三角形.,例2 如图,在正方形ABCD中,F是CD的中点,E为BC上一点,且CE CB,试判断AF与EF的位置关系,并说明理由,解:AFEF.理由如下: 设正方形的边长为4a, 则ECa,BE3a,CFDF2a

8、. 在RtABE中,得AE2AB2BE216a29a225a2. 在RtCEF中,得EF2CE2CF2a24a25a2. 在RtADF中,得AF2AD2DF216a24a220a2. 在AEF中,AE2EF2AF2, AEF为直角三角形,且AE为斜边 AFE90,即AFEF.,练一练,1.下列各组线段中,能构成直角三角形的是( ) A2,3,4 B3,4,6 C5,12,13 D4,6,7,C,2.一个三角形的三边的长分别是3,4,5,则这个三角形最长边上的高是 ( ) A4 B3 C2.5 D2.4,D,3.若ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则ABC是_.,等腰

9、三角形或直角三角形,如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.,概念学习,常见勾股数:,3,4,5;5,12,13;6,8,10;7,24,25;8,15,17;9,40,41;10,24,26等等.,勾股数拓展性质:,一组勾股数,都扩大相同倍数k(k为正整数),得到一组新数,这组数同样是勾股数.,下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6,8,10 B.7,8,9C.0.3,0.4,0.5 D.52,122,132,A,方法点拨:根据勾股数的定义,勾股数必须为正整数,先排除小数,再计算最长边的平方是否等于其他两边的

10、平方和即可.,练一练,当堂练习,1.下列各组数是勾股数的是 ( )A.3,4,7 B.5,12,13 C.1.5,2,2.5 D.1,3,5,将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到 的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形,B,A,3.已知a、b、c是ABC三边的长,且满足关系式,则ABC的形状是 _,等腰直角三角形,4.一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm,则这个三角形最长边上的高是_cm;,12,5.已知ABC,AB=n-1,BC=2n,AC=n+1(n为大 于1的正整数).试问ABC是直角三角形吗?若是,

11、哪一条边所对的角是直角?请说明理由.,解:AB+BC=(n-1)+(2n)=n4 -2n+1+4n=n4 +2n+1=(n+1)=AC, ABC直角三角形,边AC所对的角是直角.,6.如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=6,AC=10, AD=CD= ,求四边形ABCD 的面积., ABC是直角三角形且B是直角., ADC是直角三角形且 D是直角,,S 四边形 ABCD=,课堂小结,勾股定理 的逆定理,内容,作用,从三边数量关系判定一个三角形是 否是直角形三角形.,如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.,注意,最长边不一定是c, C也不一定是直角.,勾股数一定是正整数,