1、30.4 二次函数的应用,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 抛物线形问题,第三十章 二次函数,1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题(重点) 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题(重、难点),导入新课,问题引入,如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化你能想出办法来吗？,讲授新课,这是什么样的函数呢？,你能想出办法来吗？,合作探究,怎样建立直角坐标系比较简单呢？,以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图,从图看出，什么形式的二次函数，
2、它的图象是这条抛物线呢？,由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为,如何确定a是多少？,已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出,因此， ，其中 x是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化,解得,由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：,水面宽3m时 从而 因此拱顶离水面高1.125m,现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？,知识要点,建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？,实际问题,建立二次函数模型,利用二次函数的图象和性质求解,实际问题的解,例1 某
3、公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？,典例精析,解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25)., C, D,根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.,当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点
4、D的坐标为(-2.5,0) .,设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y= (x-1)2+2.25.,例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？,解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处.,解得,设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k
5、， 即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有,所以该抛物线的表达式为y=0.2x2+3.5. 当 x=2.5时，y=2.25 . 故该运动员出手时的高度为2.25m.,问题1 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m时，水面宽 4m . 水面下降 1m，水面宽度增加多少？,互动探究,（1）求宽度增加多少需要什么数据？,（2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？,（3）如何求这组数据？需要先求什么？,（4）图中还知道什么？,（5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？,想一想,问题2 如何建立直角坐标系？,l,问题3 解决本题的关键是什么？,y,x,o,解：如图建立直角坐标系.,解：建立合适的
6、直角坐标系.,l,y,x,o,解：如图建立直角坐标系.根据题意可设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2+2. 该抛物线过(2,0), 0=4a+2，a=,水面下降1m，即当y=-1时， 水面宽度增加了 米.,有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；,解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2. 该抛物线过(10,-4), -4=100a，a=-0.04 y=-0.04x2.,练一练,例3 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利
7、通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?,-3,(-2,-2) , (2,-2),4米,当 时， 所以，水面下降1m，水面的宽度为 m.,所以水面的宽度增加了 m.,解：建立如图所示坐标系,由抛物线经过点（2，-2），可得,所以，这条抛物线的解析式为,当水面下降1m时，水面的纵坐标为, (2,-2),设二次函数解析式为,如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?,4 m,4 m,请同学们分别求出对应的函数解析式.,O,O,解：设y=-ax2+2将（-2,0）代
8、入得a= y= +2；,设y=-a（x-2）2+2将（0,0）代入得a= y= +2；,当堂练习,1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h= -4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.,4,2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.,2,3.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计
9、成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？,O,A,1.25米,O,A,解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交于C点.由题意可知A（ 0，1.25）、B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.,x,y,设抛物线为y=a(x1)2+2.25 (a0),点A坐标代入，得a= 1；,当y= 0时， x= 0.5（舍去）， x=2.5,水池的半径至少要2.5米.,抛物线为y=-(x-1)2+2.25.,1.25,课堂小结,实际问题,数学模型,（二次函数的图像和性质）,拱桥问题,运动中的抛物线问题,（实物中的抛物线形问题）,转化的关键,建立恰当的直角坐标系,能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法.,