1、30.1 二次函数,第三十章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）,雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？,导入新课,情境引入,1.什么叫函数?,一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.,3.一元二次方程的一般形式是什么？,一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次
2、函数y=kx就叫做正比例函数.,2.什么是一次函数？正比例函数？,ax2+bx+c=0 (a0),问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.,(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？,讲授新课,探究归纳,(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？,(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树？,(4)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y
3、与x之间的关系式.,果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子,y=(100+x)(600-5x)=-5x+100x+60000.,(100+x)(600-5x)=60320 解得，,问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 .,y=6x2,此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.,问题3 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？,设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的
4、另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有,此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.,函数有什么共同点?,函数都是用 自变量的二次整式表示的,y=6x2,y=-5x+100x+60000.,二次函数的定义：,一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的形式，则称y是x的二次函数.,温馨提示：,（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.,归纳总结,例1
5、下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量） y=ax2+bx+c s=3-2t y=x2 y=x+x+25 y=(x+3)-x,不一定是，缺少a0的条件.,不是，右边是分式.,不是，x的最高次数是3.,y=6x+9,典例精析,判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.,方法归纳,想一想:二次函数的一般式y=axbxc（a0）与一元二次方程axbxc0（a0）有什么联系和区别？,联系：(1)等式一边都是ax2bxc且a 0； (2)方程ax
6、2bxc=0可以看成是函数y= ax2bxc中y=0时得到的.,区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.,例2 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？,解：,（1）由题可知,解得,（2）由题可知,解得,m=3.,第（2）问易忽略二次项系数a0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.,1.已知: ，m取什么值时，y是x的二次函数？,解：当 =2且k+20，即k=-2时, y是x的二次函数.,变式训练,m3,【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.,例3 一个二次函数
7、 .,（1）求k的值. （2）当x=0.5时，y的值是多少？,解得,此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.,归纳总结,例4：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件 (1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1x10)，求出y关于x的函数关系式；,解：第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，
8、 第x档次，提高了(x1)档，利润增加了2(x1)元 y62(x1)955(x1)， 即y10x2180x400(其中x是正整数，且1x10)；,(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次,解：由题意可得 10x2180x4001120，整理得 x218x720，解得 x16，x212(舍去)所以，该产品的质量档次为第6档,【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型,思考： 1.已知二次函数y10x2180x400 ,自变量x的取值范围是什么？,2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y10x2180x400，其自变量x的取值范围与1中相同吗
9、？,【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.,当堂练习,2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n是常数,且m0 B . m,n是常数,且n0 C. m,n是常数,且mn D . m,n为任何实数,C,1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_,一次项 系数为_，常数项为 .,3下列函数是二次函数的是 ( ) Ay2x1 B Cy3x21 D,C,-3x2,-16,12,4. 已知函数 y=3x2m-15 当m=时，y是关于x的一次函数； 当m=时，y是关于x的反比例函数； 当m=
10、时，y是关于x的二次函数 .,1,0,5.（1） n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？,（2）假设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是10（万元）,那么请你写出两年后的本息和y(万元)的表达式(不考虑利息税).,y=10(x+1)=10x+20x+10.,6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求 （1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积.,解：(1)y(8x)xx28x (0x8)；,(2)当x3时，y328315 cm2 .,课堂小结,二次函数,定 义,y=ax2+bx+c(a 0，a,b,c是常数）,一般形式,右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a 0.,特殊形式,y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a 0，a,b,c是常数）.,