1、专题训练(四) 与圆有关的计算和证明1.2017庆阳 如图 ZT4-1,AN 是M 的直径,NBx 轴,AB 交M 于点 C.点 A(0,6),N(0,2),ABN= 30.图 ZT4-1(1)求点 B 的坐标;(2)若 D 为线段 NB 的中点,求证:直线 CD 是M 的切线.2.2017巴中 如图 ZT4-2,AH 是O 的直径,AE 平分FAH,交O 于点 E,过点 E 的直线 FGAF,垂足为 F,B 为半径OH 上一点,点 E,F 分别在矩形 ABCD 的边 BC 和 CD 上.图 ZT4-2(1)求证:直线 FG 是O 的切线 .(2)若 AF=12,BE=6,求 的值.3.201
2、8贵港 如图 ZT4-3,已知O 是ABC 的外接圆,且 AB=BC=CD,ABCD,连接 BD.图 ZT4-3(1)求证:BD 是O 的切线;(2)若 AB=10,cosBAC= ,求 BD 的长及O 的半径.354.2018曲靖 如图 ZT4-4,AB 为O 的直径,点 C 为 O 上一点,将 沿直线 BC 翻折,使 的中点 D 恰好与圆心 O 重合,连 接 OC,CD,BD,过点 C 的切线与线段 BA 的延长线交于点 P,连接 AD,在 PB 的另一侧作MPB= ADC.图 ZT4-4(1)判断 PM 与O 的位置关系,并说明理由;(2)若 PC= ,求四边形 OCDB 的面积.35.
3、2017内江 如图 ZT4-5,在O 中,直径 CD 垂直于不过圆心 O 的弦 AB,垂足为点 N,连接 AC,点 E 在 AB 上,且 AE=CE.(1)求证:AC 2=AEAB;(2)过点 B 作O 的切线交 EC 的延长线于点 P,试判断 PB 与 PE 是否相等,并说明理由;(3)设O 的半径为 4,点 N 为 OC 中点,点 Q 在O 上,求线段 PQ 的最小值.图 ZT4-56.2018广东 如图 ZT4-6,四边形 ABCD 中,AB=AD=CD,以 AB 为直径的O 经过点 C,连接 AC,OD 交于点 E.图 ZT4-6(1)证明:OD BC;(2)若 tanABC=2,证明
4、:DA 与 O 相切;(3)在(2)的条件下,连接 BD 交O 于点 F,连接 EF,若 BC=1,求 EF 的长.参考答案1.解:(1)A 的坐标为 (0,6),N(0,2),AN=4.ABN=30,ANB=90,AB=2 AN=8,由勾股定理可知 NB=4 ,3B(4 ,2).3(2)证明:连接 MC,NC.AN 是M 的直径,ACN=90,NCB=90.在 Rt NCB 中 ,D 为 NB 的中点 ,CD= NB=ND,CND=NCD,12MC=MN,MCN= MNC.MNC+CND=90,MCN+NCD=90,即 MCCD.直线 CD 是M 的切线.2.解:(1)证明:连接 OE.OA
5、=OE, OAE=OEA.AE 平分FAH,HAE=EAF ,FAE=OEA,OEAF,OEG=AFG.又AFFG ,AFG=90,OEG=AFG=90,OEFG ,直线 FG 是O 的切线.(2)四边形 ABCD 为矩形,BEAB.EFAF,又AE 平分FAB,EF=BE=6.又四边形 ABCD 为矩形,D=C=90.D=90, DAF+AFD=90.又AFFG ,AFG= 90,AFD+ CFE= 90,DAF= CFE.又D=C ,ADF FCE ,FC AD=EF AF.FC AD=6 12=1 2.3.解:(1)连接 BO 并延长交 AC 于 H,由于O 是ABC 的外接圆,AB=B
6、C,则 BHAC 且 AH=CH,又AB=CD,ABCD,四边形 ABDC 是平行四边形,ACBD ,BHBD ,即 OBBD,BD 是O 的切线.(2)由(1)知,BD=AC,而 AC=2AH=2ABcosBAC=210 =12.35BD=12.设圆的半径为 r,OH=x,则有 r+x=BH,连接 AO,在 RtOAH 中,AH 2+x2=r2,又 BH= = =8,2-2 102-62r+x=8 .又由 AH2+x2=r2 得,(r+x)(r-x )=AH2=36,r-x= .92 , 联立,解得 r= ,254O 的半径为 .2544.解:(1)过点 O 作 OHPM,连接 OD 交 B
7、C 于点 E,由于点 D 为 中点,且沿 BC 折叠与 O 重合,所以 OD 垂直平分BC,OE= OD= OB,12 12所以OBC=30 ,所以ADC= MPB=30,则POH=60,又因为POC=2OBC=60,所以POH=POC,又因为PHO=PCO,PO=PO,所以PHOPCO,所以 OH=OC,直线 PM 到圆心的距离等于 半径,且 OHPM,因此 PM 是O 的切线.(2)由于 D 是 中点,且沿 BC 折叠与点 O 重合,所以 OB=DB,OC=CD,又因为 OC=OB,所以 OC=CD=DB=BO,所以COD 是等边三角形,四边形 OCDB 是菱形,由(1)得出CPO=HPO
8、=30,所以 OC=PCtan30= =1,333则四边形 OCDB 的面积为 2 1 1 = ,12 32 32因此四边形 OCDB 的面积为 .325.解:(1)证明:如图 ,连接 BC,CDAB, = ,CAB=CBA.又AE=CE,CAE=ACE.ACE=ABC.CAE=BAC,CAE BAC. = ,即 AC2=AEAB.(2)PB=PE.理由如下:如图,连接 BD,OB.CD 是直径,CBD=90 .BP 是O 的切线 ,OBP= 90.BCD+D=PBC+OBC=90 .OB=OC,OBC=OCB.PBC=D.A=D,PBC=A.ACE=ABC,PEB=A+ ACE,PBN= P
9、BC+ ABC,PEB=PBN.PE=PB.(3)如图,连接 PO 交O 于点 Q,则此时线段 PQ 有最小值.N 是 OC 的中点 ,ON=2.OB=4,OBN=30,PBE=60.PE=PB,PEB 是等边三角形.PEB=60,PB=BE.在 Rt BON 中 ,BN= = =2 .2-2 42-22 3在 Rt CEN 中 ,EN= = = .60 23233BE=BN+ EN= .833PB=BE= .833PQ=PO-OQ= -OQ= -4= -4.2+2 42+(83 3) 2 43216.解析 (1)连接 OC,由 SSS 可证得OADOCD,得 ADO=CDO,由 AD=CD
10、可证 DEAC,再由 AB 为直径证得BCAC,从而得 ODBC;(2)根据 tanABC= 2,可设 BC=a,则 AC=2a,AD=AB= = a,由 OE 为中位线知 OE=2+2 5a,AE=CE= AC=a,进一步求得 DE= =2a,在AOD 中利用勾股定理的逆定理证OAD= 90即可;(3)先证 12 12 2-2AFDBAD,得 DFBD=AD2,再证AED OAD ,得 ODDE=AD2,从而可得 DFBD=ODDE,即 = ,结合EDF= BDO 知EDFBDO,据此可得 = ,结合(2)所得相关线段的长,代入计算可得.解:(1)证明:连接 OC,在OAD 和 OCD 中,
11、 =,=,=,OAD OCD(SSS),ADO=CDO.AD=CD,DEAC,AEO= 90.AB 为O 的直径 ,ACB=90,AEO= ACB ,ODBC.(2)证明:tanABC= =2,设 BC=a,则 AC=2a,AD=AB= = a.2+2 5OEBC,且 AO=BO,OE= BC= a,AE=CE= AC=a.12 12 12在AED 中,DE= =2a.2-2在AOD 中,AO 2+AD2= a 2+( a)2= a2,OD2=(OE+DE)2= a+2a 2= a2,52 5 254 12 254AO 2+AD2=OD2,OAD=90,则 DA 与O 相切.(3)连接 AF,AB 是O 的直径 ,AFD= BAD=90,又ADF= BDA ,AFDBAD, = ,即 DFBD=AD2. AED= OAD= 90, ADE=ODA,AEDOAD, = ,即 ODDE=AD2. 由 可得 DFBD=ODDE,即 = ,又EDF= BDO ,EDFBDO,BC=1,AB=AD= ,OD= ,ED=2,BD= ,OB= ,552 10 52 = ,即 = ,52 210解得 EF= .22