1、2017-2018 学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）1（4 分）相似三角形的面积之比为 2：1，则它们的相似比为（ ）A4：1 B3：1 C2：1 D ：12（4 分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）A在标准大气压下，气温 2C 时，冰融化为水B任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为 1C在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球D在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似3（4 分）如图所示，ABC 中，BAC 30，将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 50，对应得到ABC，则B AC
2、 的度数为（ ）A30 B50 C20 D404（4 分）已知一条圆弧的度数为 60，半径为 6cm，则此圆弧长为（ ）Acm B2cm C4cm D6cm5（4 分）如图，在 84 的正方形网格中，若ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tanACB 的值为（ ）A B C D6（4 分）如图，点 P 为直径 BA 延长线上一点，PC 切O 于 C，若 的度数等于 120，则ACP 的度数为（ ）A40 B35 C30 D457（4 分）把抛物线 y（x+1） 2+3 的图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得的图象解析式
3、是（ ）Ay（x2） 2+1 By（x+2） 2+1 Cy（x+4） 2+1 Dy （x+4） 2+58（4 分）如图，四边形 ABCD 内接于O ，DAB140 ，连接 OC，点 P 是半径 OC上一点，则BPD 不可能为（ ）A40 B60 C80 D909（4 分）如图，把矩形 ABCD 折叠，点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处，折痕为 AF，则sinEAD 等于（ ）A B C D10（4 分）如图，四边形 ABCD 内接于直径为 1 厘米的O，若BAD 90，BC a 厘米，CDb 厘米，则下列结论正确的有（ ）sinBACa，
4、cosBAC b，tan BAC A0 个 B1 个 C2 个 D3 个11（4 分）如图，O 与 的两边相切，若 60，则图中阴影部分的面积 S 关于O 的半径 r 的函数图象大致是（ ）A BC D12（4 分）定义符号 mina，b 的含义：当 ab 时，min a，bb；当 ab 时，mina，ba，如 min1， 44，min6，2 6，则 minx 2+2，2x的最大值为（ ）A2 2 B +1 C1 D2 +2二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13（4 分）箱子里有 7 个白球、3 个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率
5、是 14（4 分）若线段 c 是线段 a、b 的比例中项，且 a4 厘米，b25 厘米，则 c 厘米15（4 分）已知ABC 中，CRt，AC3，BC4，以点 C 为圆心，r 为半径画圆，使得点 A 在C 内，点 B 在C 外，则半径 r 的取值范围是 16（4 分）一直角三角形的两条直角边长分别为 6 和 8，则它的内切圆半径为 17（4 分）如图，A 的圆心 A 在O 上，O 的弦 PQ 与A 相切于点 B，若O 的直径AC10，AB 2，则 APAQ 的值为 &n
6、bsp; 18（4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD6，E 为射线 BC 上一动点（不与 C 重合），CDE 的外接圆交 AE 于 P，若 CPCD，则 AP 的值为 三、解答题（第 19 题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，第 22、23、24 题每题 10 分，第 25题 12 分第 26 题 14 分，共 78 分）19（6 分）（1） tan60cos45；（2）若 ，求 的值20（8 分）如图电路图上有四个开关 A、B、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关 D 或同时闭合开关 A，B，C 都可使小灯泡发光（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发
7、光的概率等于 ；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率21（8 分）如图，为一圆洞门工匠在建造过程中需要一根横梁 AB 和两根对称的立柱CE、DF 来支撑，点 A、B、C 、D 在 O 上，CE AB 于 E，DF AB 于 F，且 AB2，EF ， 120（1）求出圆洞门O 的半径；（2）求立柱 CE 的长度22（10 分）如图，一艘潜水器在海面 DF 下 600 米 A 点处测得俯角为 30正前方的海底C 点处有黑匣子（即EAC30），继续在同一深度直线航行 1400 米到 B 点处测得正前方 C 点处的俯角为 45（即EBC4
8、5）求海底 C 点处距离海面 DF 的深度（结果保留根号）23（10 分）如图，ABC 内接于O，AC 是O 直径，D 是 的中点，过点 D 作 CB的垂线，分别交 CB、CA 延长线于点 F、E（1）判断直线 EF 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 sinE ，求 AB：EF 的值24（10 分）我们定义：三边之比为 1： ： 的三角形叫神奇三角形（1）如图一，ABC 是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为 1，请证明ABC 是神奇三角形，并直接写出 ABC 的度数；（2）请你在下列 25 的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中ABC 不全等的大小各不同的格点神奇三
9、角形25（12 分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40 只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空已知做 x 只蛋糕的成本为 R 元，售价为每只 P 元，且 R、P 与 x 的关系式为 R500+30 x，P 1702x ，设她家每日获得的利润为 y 元（1）销售 x 只蛋糕的总售价为 元（用含 x 的代数式表示），并求 y 与 x 的函数关系式；（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为 1500 元？（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？26（14 分）如图，抛物线 y（x+1）（x 3）与 x 轴
10、分别交于点 A、B（点 A 在 B 的右侧），与 y 轴交于点 C， P 是ABC 的外接圆（1）直接写出点 A、B、C 的坐标及抛物线的对称轴；（2）求P 的半径；（3）点 D 在抛物线的对称轴上，且 BDC90，求点 D 纵坐标的取值范围；（4）E 是线段 CO 上的一个动点，将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 45得线段 AF，求线段OF 的最小值2017-2018 学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）1（4 分）相似三角形的面积之比为 2：1，则它们的相似比为（ ）A4：1 B3：1 C2：1 D ：1【
11、分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答【解答】解：若两个相似三角形的面积比为 2：1，则它们的相似比为 ：1故选：D【点评】此题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比2（4 分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）A在标准大气压下，气温 2C 时，冰融化为水B任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为 1C在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球D在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似【分析】直接利用必然事件以及随机事件的定义分别
12、分析得出答案【解答】解：A、在标准大气压下，气温 2C 时，冰融化为水，是必然事件，故此选项正确；B、任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为 1，是随机事件，故此选项错误；C、在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是随机事件，故此选项错误；D、在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似，是随机事件，故此选项错误；故选：A【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键3（4 分）如图所示，ABC 中，BAC 30，将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 50，对应得到ABC，则BAC 的度数为（ ）A30 B50 C20 D40【分析】根据旋转
13、的性质可得BAB'CAC'50，即可求 B AC 的度数【解答】解：旋转BAB '50 ，且BAC 30B'AC20故选：C【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键4（4 分）已知一条圆弧的度数为 60，半径为 6cm，则此圆弧长为（ ）Acm B2cm C4cm D6cm【分析】根据弧长公式 l 进行解答【解答】解：此圆弧长为 l cm，故选：B【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键5（4 分）如图，在 84 的正方形网格中，若ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tanACB 的值为（
14、;）A B C D【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解【解答】解：由图形知：tanACB ，故选：B【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义6（4 分）如图，点 P 为直径 BA 延长线上一点，PC 切O 于 C，若 的度数等于 120，则ACP 的度数为（ ）A40 B35 C30 D45【分析】连接 OC，由 的度数等于 120知AOC60，根据 OCOA 可得AOC 是等边三角形，从而知ACO60，再根据 PC 切 O 于 C 知PCO90，据此可得答案【解答】解：如图，连接 OC， 的度数等于 120，BOC120，AOC6
15、0，OAOC，AOC 是等边三角形，ACO60，PC 切O 于 C，PCO90，ACP30，故选：C【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质7（4 分）把抛物线 y（x+1） 2+3 的图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得的图象解析式是（ ）Ay（x2） 2+1 By（x+2） 2+1 Cy（x+4） 2+1 Dy （x+4） 2+5【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案【解答】解：把抛物线 y（x+1） 2+3 的图象先向右平移 3 个单位，得到：y（x2）2+
16、3 再向下平移 2 个单位，所得的图象解析式是：y（x2） 2+1故选：A【点评】此题主要考查了二次函数的几何变换，正确掌握平移规律是解题关键8（4 分）如图，四边形 ABCD 内接于O ，DAB140 ，连接 OC，点 P 是半径 OC上一点，则BPD 不可能为（ ）A40 B60 C80 D90【分析】连接 OD、OB，根据圆内接四边形的性质求出DCB，根据圆周角定理求出BOD ，求出 BPD 的范围，即可解答【解答】解：连接 OD、OB，四边形 ABCD 内接于O，DCB180DAB40，由圆周角定理得，BOD2 DCB80，40BPD80，BPD 不可能为 90，故选：D【
17、点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键9（4 分）如图，把矩形 ABCD 折叠，点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处，折痕为 AF，则sinEAD 等于（ ）A B C D【分析】根据折叠的性质得到 AEAB，EAFFAB，在 RtADE 中，AE2DE，根据含 30的直角三角形三边的关系得到DAE30，进而解答即可【解答】解：纸片 ABCD 为矩形，ABCD，矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处，折痕为 AF，AEAB，EAF FAB，而 E 为 DC 的中点，AE2DE ，在 Rt ADE
18、中，AE 2DE，EAD30，sinEAD ，故选：B【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等10（4 分）如图，四边形 ABCD 内接于直径为 1 厘米的O，若BAD 90，BC a 厘米，CDb 厘米，则下列结论正确的有（ ）sinBACa，cosBAC b，tan BAC A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】根据题意和图形可以得到BDC 的三角函数值，然后根据圆周角相等，即可得到BAC 的三角函数值，即可解答本题【解答】解：连接 BD，BAD90，BD 是 O 的直径，BCD90，BDCBAC，BCa 厘米，CDb 厘米，O 的直
19、径为 1 厘米，sinBDCa，cosBDCb，tanBDC ，sinBACa，故正确，cosBACb，故 正确，tanBAC ，故错误，故选：C【点评】本题考查圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答11（4 分）如图，O 与 的两边相切，若 60，则图中阴影部分的面积 S 关于O 的半径 r 的函数图象大致是（ ）A BC D【分析】过 O 点作两切线的垂线，垂足分别为 A、B，连接 OP，如图，利用切线的性质得OAOBr ，根据切线长定理得到 APOBPO 30，则 AP OA r，再利用四边形内角和计算出AOB120，接着利用扇形面积公式
20、得到 S（ ）r2（r0），然后根据解析式对各选项进行判断【解答】解：过 O 点作两切线的垂线，垂足分别为 A、B ，连接 OP，如图，则 OAOB r，APO BPO30，AP OA r，OAPOBP90，AOB18018060120，SS 四边形 AOBPS 扇形 AOB2 r r（ ）r 2（r0），故选：C【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了二次函数的图象12（4 分）定义符号 mina，b 的含义：当 ab 时，min a，bb；当 ab 时，mina，ba，如 min1， 44，min6，2 6，则 minx 2+2，2x的最大值为（ ）A
21、2 2 B +1 C1 D2 +2【分析】根据题意和题目中的新定义，利用分类讨论的方法，可以求得 minx 2+2，2x的最大值，本题得以解决【解答】解：当x 2+22x 时，解得，1 x1+ ，当 1 x1+ 时，min x 2+2，2x2x，此时，当 x1 时，2x 取得最大值2+2 ；当x 2+22x 时，解得，x1 或 x1+ ，当 x1 或 x1+ 时，min x 2+2，2x x 2+2，此时，当 x1 时，x 2+2 取得最大值2+2 ；由上可得，minx 2+2，2 x的最大值为 2 2，故选：A【点评】本题考查二次函数的性质、新定义、实数大小比较，解答本题的关键是
22、明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13（4 分）箱子里有 7 个白球、3 个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是 【分析】用白球的个数除以球的总个数即可【解答】解：箱子里有 7 个白球、3 个红球，从中随机摸出一球是白球的概率是 故答案为 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比14（4 分）若线段 c 是线段 a、b 的比例中项，且 a4 厘米，b25 厘米，则 c 10 厘米【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负【解答】解：根据比例中项的概
23、念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积所以 c2425，解得 c10（线段是正数，负值舍去），c10cm，故答案为：10【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型15（4 分）已知ABC 中，CRt，AC3，BC4，以点 C 为圆心，r 为半径画圆，使得点 A 在C 内，点 B 在C 外，则半径 r 的取值范围是 3r4 【分析】根据勾股定理得到 AC 5，点 A 在C 外，点 B 在C 内，则 r 的取值范围是 3r4【解答】解：ABC 中，C90，AC3，BC4，AC5，r 的取值范围是 3r4故答案为：3r4【点评】本题考
24、查了对点与圆的位置关系的判断设点到圆心的距离为 d，则当 dR 时，点在圆上；当 dR 时，点在圆外；当 dR 时，点在圆内判断这三点与圆的位置关系是解决本题的关键16（4 分）一直角三角形的两条直角边长分别为 6 和 8，则它的内切圆半径为 2 【分析】如图，作辅助线，首先证明四边形 ODCF 为正方形；求出 AB 的长度；证明AF AE，BDBE 问题即可解决【解答】解：如图，O 内切于直角ABC 中，切点分别为 D、E 、F；其中 AC8，BC6；连接 OD、OF；则 ODBC，OFAC；ODOF ；C90，四边形 ODCF 为正方形，CDCFR（R 为O 的半径）；由勾股定理得：AB2
25、AC 2+BC236+64100，AB10；由切线的性质定理的：AFAE，BDBE；CD+CFAC +BCAB6+8104，R2，它的内切圆半径为 2【点评】该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答17（4 分）如图，A 的圆心 A 在O 上，O 的弦 PQ 与A 相切于点 B，若O 的直径AC10，AB 2，则 APAQ 的值为 20 【分析】连接 QC，根据圆周角定理、切线的性质定理得到ABPAQC，证明ABPAQC，根据相似三角形的性质定理计算即可【解答】解：连接 QC，PQ 与 A 相切于点 B，ABP 90，A
26、C 为O 的直径，AQC90，ABP AQC，又APBACQ，ABP AQC， ，APAQ ABAC20，故答案为：20【点评】本题考查的是圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键18（4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD6，E 为射线 BC 上一动点（不与 C 重合），CDE 的外接圆交 AE 于 P，若 CPCD，则 AP 的值为 【分析】连接 PD，如图，利用圆周角定理证明 EPD 90，CDPCED，再证明AEBCED，则可判断ABEDCE，所以 BECE BC3，再利用勾股定理计算出 AE，然后证明 R
27、tADP RtEAB，从而利用相似比可计算出 AP 的长【解答】解：连接 PD，如图，ECD90，DE 为直径EPD90，CPCD，CDPCED，AEB CDP，AEB CED，ABCD，BECD，ABE DCE，BECE BC3，在 Rt ABE 中，AE 5，ADBC，BEA DAE，RtADPRtEAB， ，即 ，AP 故答案为 【点评】本题考查了三角形外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了矩形的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质三、解答题（第 19 题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，第 22、23、24 题每题 10 分
28、，第 25题 12 分第 26 题 14 分，共 78 分）19（6 分）（1） tan60 cos45；（2）若 ，求 的值【分析】（1）将三角函数值代入计算可得；（2）由 知 y3x，代入计算可得【解答】解：（1）原式 312；（2） ，y3x，则原式 【点评】本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握实数的运算与比例的基本性质20（8 分）如图电路图上有四个开关 A、B、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关 D 或同时闭合开关 A，B，C 都可使小灯泡发光（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 ；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率
29、【分析】（1）根据概率公式直接填即可；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率【解答】解：（1）有 4 个开关，只有 D 开关一个闭合小灯发亮，所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是 ；（2）画树状图如右图：结果任意闭合其中两个开关的情况共有 12 种，其中能使小灯泡发光的情况有 6 种，小灯泡发光的概率是 【点评】本题是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，主要考查概率的求法用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比21（8 分）如图，为一圆洞门工匠在建造过程中需要一根横梁 AB 和两根对称的
30、立柱CE、DF 来支撑，点 A、B、C 、D 在 O 上，CE AB 于 E，DF AB 于 F，且 AB2，EF ， 120（1）求出圆洞门O 的半径；（2）求立柱 CE 的长度【分析】（1）作 OHAB 于 H，连接 OB、OA在 RtBOH 中，解直角三角形即可解决问题；（2）作 OM EC 于 M，连接 OC在 RtOMC 中，解直角三角形即可；【解答】解：（1）作 OHAB 于 H，连接 OB、OA 的度数为 120，AO BO，BOH 12060 ，AHBH ，在 Rt BOH 中，sinBOH ，OB2，即圆洞门O 的半径为 2；（2）作 OM EC 于 M，连接 OCRtBOH
31、 中，OH1，EH ，易证四边形 OMEH 是矩形，OM EH ，ME OH 1，在 Rt OMC 中，CM ，CEME+CM1+ ，立柱 CE 的长度为 【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型22（10 分）如图，一艘潜水器在海面 DF 下 600 米 A 点处测得俯角为 30正前方的海底C 点处有黑匣子（即EAC30），继续在同一深度直线航行 1400 米到 B 点处测得正前方 C 点处的俯角为 45（即EBC45）求海底 C 点处距离海面 DF 的深度（结果保留根号）【分析】作 CMDF
32、于 M，交 AB 于 N 点，如图，设 CNx，在 RtBCE 中利用正切定义得到 BNCNx ，在 RtACN 中，利用A 的正切得到 tan30 ，解得 x700 +700，然后计算 CN+MN 即可【解答】解：作 CMDF 于 M，交 AB 于 N 点，如图，则 MN600，AB1400，NAC 30，NBC45，设 CNx，在 Rt BCE 中，tanNBCtan45 ，BNCNx，在 Rt ACN 中， tanNAC ， tan30 ，解得 x700 +700，CMCN+MN700 +700+600700 +1300答：海底 C 点处距离海面 DF 的深度为（700 +1300）m
33、【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决23（10 分）如图，ABC 内接于O，AC 是O 直径，D 是 的中点，过点 D 作 CB的垂线，分别交 CB、CA 延长线于点 F、E（1）判断直线 EF 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 sinE ，求 AB：EF 的值【分析】（1）先判断出CBA 为直角，再判断出F 为直角，进而得出 AB 与 EF 平行，再
34、由 D 为 的中点，利用垂径定理的逆定理得到 OD 垂直于 AB，即可得出结论；（2）根据角 E 的正弦值，设出 ODOCOBOA 5x，则得出 CA10x，CE13x，进而得出 CE18x，最后判断出 ABC ECF 即可得出结论【解答】解：（1）直线 EF 与圆 O 相切，理由为：连接 OD，如图所示：AC 为圆 O 的直径，CBA90，又F90，CBAF90，ABEF，AMOEDO，又D 为 的中点， ，ODAB，AMO90，EDO 90 ，EF 过半径 OD 的外端，则 EF 为圆 O 的切线，（2）在 RtODE 中，sinE ，设 ODOCOA5x，CA10x，OE13x ，CE1
35、8x，EFAB，ABCECF， 【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握性质与定理是解本题的关键24（10 分）我们定义：三边之比为 1： ： 的三角形叫神奇三角形（1）如图一，ABC 是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为 1，请证明ABC 是神奇三角形，并直接写出 ABC 的度数；（2）请你在下列 25 的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中ABC 不全等的大小各不同的格点神奇三角形【分析】（1）利用勾股定理分别计算出 BC、AB 、AC 的长度，计算出三边的比例可得答案；（2）根据相似三角形作图
36、可得【解答】解：（1）由勾股定理得 BC 、 AB2、AC ，BC：AB：AC ：2： 1： ： ，ABC 是神奇三角形，ABC135；（2）如图所示：【点评】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理与相似三角形的定义25（12 分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40 只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空已知做 x 只蛋糕的成本为 R 元，售价为每只 P 元，且 R、P 与 x 的关系式为 R500+30 x，P 1702x ，设她家每日获得的利润为 y 元（1）销售 x 只蛋糕的总售价为 （2x 2+170x） 元（用含 x 的代数式表示）
37、，并求 y 与x 的函数关系式；（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为 1500 元？（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？【分析】（1）利用总售价销售单价销售数量可得，再根据每日利润总售价做 x 只蛋糕的成本可得 y 关于 x 的解析式；（2）求出 y1500 时 x 的值即可得；（3）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得【解答】解：（1）销售 x 只蛋糕的总售价为（1702x）x2x 2+170x（元），根据题意，得：y（2x 2+170x）（500+30 x）2x 2+140x500，故答案为：（2x 2+170x）；（2）当
38、y1500 时，得：2x 2+140x5001500，解得：x 120、x 250，x40，x20，即当每日做 20 只蛋糕时，每日获得的利润为 1500 元；（3）y2x 2+140x500 2（x35） 2+1950，a20，当 x35 时，y 取得最大值，最大值为 1950，答：当每日做 35 只蛋糕时，每日所获得的利润最大，最大日利润是 1950 元【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握销售问题的数量关系销售收入售价数量的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键26（14 分）如图，抛物线 y（x+1）（x 3）与 x 轴分别交于点 A、B（点 A 在 B
39、的右侧），与 y 轴交于点 C， P 是ABC 的外接圆（1）直接写出点 A、B、C 的坐标及抛物线的对称轴；（2）求P 的半径；（3）点 D 在抛物线的对称轴上，且 BDC90，求点 D 纵坐标的取值范围；（4）E 是线段 CO 上的一个动点，将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 45得线段 AF，求线段OF 的最小值【分析】（1）分别代入 y0、x0 求出与之对应的 x、 y 的值，进而可得出点 A、B、C的坐标，再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴；（2）连接 CP、BP，在 RtBOC 中利用勾股定理可求出 BC 的长，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理可得出BPC90，再利用等腰直
40、角三角形的性质可求出 BP 的值，此题得解；（3）设点 D 的坐标为（1， y），当BDC90时，利用勾股定理可求出 y 值，进而可得出：当 1y 2 时，BDC90；（4）将ACO 绕点 A 逆时针方向旋转 45，点 C 落在点 C处，点 O 落在点 O处，根据旋转的性质可找出点 C的坐标及AC O 45，进而可找出线段 CO 所在直线的解析式，由点 E 在 CO 上可得出点 F 在 CO上，过点 O 作 OFC O 于点F，则 OCF 为等腰直角三角形，此时线段 OF 取最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求出此时 OF 的长，此题得解【解答】解：（1）当 y0 时，（x+1）（x 3）0
41、，解得：x 11，x 23，点 B 的坐标为（1，0），点 A 的坐标为（3，0）；当 x0 时，y（0+1 ）（03）3，点 C 的坐标为（0，3）；抛物线与 x 轴交于点（1，0）、（3，0），抛物线的对称轴为直线 x1（2）连接 CP、BP，如图 1 所示在 Rt BOC 中， BC AOC90，OAOC 3，OACOCA45，BPC2OAC90，CPBP BC ， P 的半径为 （3）设点 D 的坐标为（1， y），当BDC90时，BD 2+CD2BC 2，（11） 2+（0y ） 2+（01） 2+（3y） 210，整理，得：y 23y +20，解得：y 11，y 22，当 1y2
42、时，BDC90（4）将ACO 绕点 A 逆时针方向旋转 45，点 C 落在点 C处，点 O 落在点 O处，如图 2 所示AC 3 ，ACO45，点 C的坐标为（33 ，0），ACO45，线段 CO所在直线的解析式为 yx+33 点 E 在线段 CO 上，点 F 在线段 CO上过点 O 作 OFCO于点 F，则OCF 为等腰直角三角形，此时线段 OF 取最小值OCF 为等腰直角三角形，OF OC （3 3）3 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定理、旋转以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点 A、B、C 的坐标；（ 2）利用圆周角定理找出BPC90；（3）利用极限值法求出点 D 纵坐标；（ 4）利用点到直线之间垂直线段最短确定点 F 的位置