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2017-2018学年浙江省宁波市海曙区九年级上期末数学试卷(含答案解析)

1、2017-2018 学年浙江省宁波市海曙区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(每小题 4 分,共 48 分)1(4 分)相似三角形的面积之比为 2:1,则它们的相似比为(  )A4:1 B3:1 C2:1 D :12(4 分)下列事件中,属于必然事件的是(  )A在标准大气压下,气温 2C 时,冰融化为水B任意抛掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后,朝上的一面的点数为 1C在只装着白球和黑球的袋中摸球,摸出红球D在一张纸上随意画两个直角三角形,这两个直角三角形相似3(4 分)如图所示,ABC 中,BAC 30,将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 50,对应得到ABC,则B AC

2、 的度数为(  )A30 B50 C20 D404(4 分)已知一条圆弧的度数为 60,半径为 6cm,则此圆弧长为(   )Acm B2cm C4cm D6cm5(4 分)如图,在 84 的正方形网格中,若ABC 的三个顶点在图中相应的格点上,则 tanACB 的值为(  )A B C D6(4 分)如图,点 P 为直径 BA 延长线上一点,PC 切O 于 C,若 的度数等于 120,则ACP 的度数为(  )A40 B35 C30 D457(4 分)把抛物线 y(x+1) 2+3 的图象先向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,所得的图象解析式

3、是(  )Ay(x2) 2+1 By(x+2) 2+1 Cy(x+4) 2+1 Dy (x+4) 2+58(4 分)如图,四边形 ABCD 内接于O ,DAB140 ,连接 OC,点 P 是半径 OC上一点,则BPD 不可能为(  )A40 B60 C80 D909(4 分)如图,把矩形 ABCD 折叠,点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处,折痕为 AF,则sinEAD 等于(   )A B C D10(4 分)如图,四边形 ABCD 内接于直径为 1 厘米的O,若BAD 90,BC a 厘米,CDb 厘米,则下列结论正确的有(  )sinBACa,

4、cosBAC b,tan BAC A0 个 B1 个 C2 个 D3 个11(4 分)如图,O 与 的两边相切,若 60,则图中阴影部分的面积 S 关于O 的半径 r 的函数图象大致是(   )A BC D12(4 分)定义符号 mina,b 的含义:当 ab 时,min a,bb;当 ab 时,mina,ba,如 min1, 44,min6,2 6,则 minx 2+2,2x的最大值为(  )A2 2 B  +1 C1 D2 +2二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)13(4 分)箱子里有 7 个白球、3 个红球,它们仅颜色不同,从中随机摸出一球是白球的概率

5、是     14(4 分)若线段 c 是线段 a、b 的比例中项,且 a4 厘米,b25 厘米,则 c     厘米15(4 分)已知ABC 中,CRt,AC3,BC4,以点 C 为圆心,r 为半径画圆,使得点 A 在C 内,点 B 在C 外,则半径 r 的取值范围是     16(4 分)一直角三角形的两条直角边长分别为 6 和 8,则它的内切圆半径为     17(4 分)如图,A 的圆心 A 在O 上,O 的弦 PQ 与A 相切于点 B,若O 的直径AC10,AB 2,则 APAQ 的值为   &n

6、bsp; 18(4 分)如图,矩形 ABCD 中,AB4,AD6,E 为射线 BC 上一动点(不与 C 重合),CDE 的外接圆交 AE 于 P,若 CPCD,则 AP 的值为     三、解答题(第 19 题 6 分,第 20、21 题每题 8 分,第 22、23、24 题每题 10 分,第 25题 12 分第 26 题 14 分,共 78 分)19(6 分)(1) tan60cos45;(2)若 ,求 的值20(8 分)如图电路图上有四个开关 A、B、C 、D 和一个小灯泡,闭合开关 D 或同时闭合开关 A,B,C 都可使小灯泡发光(1)任意闭合其中一个开关,则小灯泡发

7、光的概率等于     ;(2)任意闭合其中两个开关,请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率21(8 分)如图,为一圆洞门工匠在建造过程中需要一根横梁 AB 和两根对称的立柱CE、DF 来支撑,点 A、B、C 、D 在 O 上,CE AB 于 E,DF AB 于 F,且 AB2,EF , 120(1)求出圆洞门O 的半径;(2)求立柱 CE 的长度22(10 分)如图,一艘潜水器在海面 DF 下 600 米 A 点处测得俯角为 30正前方的海底C 点处有黑匣子(即EAC30),继续在同一深度直线航行 1400 米到 B 点处测得正前方 C 点处的俯角为 45(即EBC4

8、5)求海底 C 点处距离海面 DF 的深度(结果保留根号)23(10 分)如图,ABC 内接于O,AC 是O 直径,D 是 的中点,过点 D 作 CB的垂线,分别交 CB、CA 延长线于点 F、E(1)判断直线 EF 与O 的位置关系,并说明理由;(2)若 sinE ,求 AB:EF 的值24(10 分)我们定义:三边之比为 1: : 的三角形叫神奇三角形(1)如图一,ABC 是正方形网格中的格点三角形,假设每个小正方形的边长为 1,请证明ABC 是神奇三角形,并直接写出 ABC 的度数;(2)请你在下列 25 的正方形网格中(图二)分别画出一个与(1)中ABC 不全等的大小各不同的格点神奇三

9、角形25(12 分)有一家网红私人定制蛋糕店,她家的蛋糕经常供不应求,但每日最多只能做40 只蛋糕,且每日做好的蛋糕全部订售一空已知做 x 只蛋糕的成本为 R 元,售价为每只 P 元,且 R、P 与 x 的关系式为 R500+30 x,P 1702x ,设她家每日获得的利润为 y 元(1)销售 x 只蛋糕的总售价为     元(用含 x 的代数式表示),并求 y 与 x 的函数关系式;(2)当每日做多少只蛋糕时,每日获得的利润为 1500 元?(3)当每日做多少只蛋糕时,每日所获得的利润最大?最大日利润是多少元?26(14 分)如图,抛物线 y(x+1)(x 3)与 x 轴

10、分别交于点 A、B(点 A 在 B 的右侧),与 y 轴交于点 C, P 是ABC 的外接圆(1)直接写出点 A、B、C 的坐标及抛物线的对称轴;(2)求P 的半径;(3)点 D 在抛物线的对称轴上,且 BDC90,求点 D 纵坐标的取值范围;(4)E 是线段 CO 上的一个动点,将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 45得线段 AF,求线段OF 的最小值2017-2018 学年浙江省宁波市海曙区九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题 4 分,共 48 分)1(4 分)相似三角形的面积之比为 2:1,则它们的相似比为(  )A4:1 B3:1 C2:1 D :1【

11、分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答【解答】解:若两个相似三角形的面积比为 2:1,则它们的相似比为 :1故选:D【点评】此题考查的是相似三角形的性质,相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方;相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比2(4 分)下列事件中,属于必然事件的是(  )A在标准大气压下,气温 2C 时,冰融化为水B任意抛掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后,朝上的一面的点数为 1C在只装着白球和黑球的袋中摸球,摸出红球D在一张纸上随意画两个直角三角形,这两个直角三角形相似【分析】直接利用必然事件以及随机事件的定义分别

12、分析得出答案【解答】解:A、在标准大气压下,气温 2C 时,冰融化为水,是必然事件,故此选项正确;B、任意抛掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后,朝上的一面的点数为 1,是随机事件,故此选项错误;C、在只装着白球和黑球的袋中摸球,摸出红球,是随机事件,故此选项错误;D、在一张纸上随意画两个直角三角形,这两个直角三角形相似,是随机事件,故此选项错误;故选:A【点评】此题主要考查了随机事件,正确把握相关定义是解题关键3(4 分)如图所示,ABC 中,BAC 30,将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 50,对应得到ABC,则BAC 的度数为(  )A30 B50 C20 D40【分析】根据旋转

13、的性质可得BAB'CAC'50,即可求 B AC 的度数【解答】解:旋转BAB '50 ,且BAC 30B'AC20故选:C【点评】本题考查了旋转的性质,熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键4(4 分)已知一条圆弧的度数为 60,半径为 6cm,则此圆弧长为(   )Acm B2cm C4cm D6cm【分析】根据弧长公式 l 进行解答【解答】解:此圆弧长为 l cm,故选:B【点评】本题考查了弧长的计算,熟记弧长公式是解题的关键5(4 分)如图,在 84 的正方形网格中,若ABC 的三个顶点在图中相应的格点上,则 tanACB 的值为(  

14、;)A B C D【分析】结合图形,根据锐角三角函数的定义即可求解【解答】解:由图形知:tanACB ,故选:B【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,属于基础题,关键是掌握锐角三角函数的定义6(4 分)如图,点 P 为直径 BA 延长线上一点,PC 切O 于 C,若 的度数等于 120,则ACP 的度数为(  )A40 B35 C30 D45【分析】连接 OC,由 的度数等于 120知AOC60,根据 OCOA 可得AOC 是等边三角形,从而知ACO60,再根据 PC 切 O 于 C 知PCO90,据此可得答案【解答】解:如图,连接 OC, 的度数等于 120,BOC120,AOC6

15、0,OAOC,AOC 是等边三角形,ACO60,PC 切O 于 C,PCO90,ACP30,故选:C【点评】本题主要考查切线的性质,解题的关键是掌握切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径,也考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质7(4 分)把抛物线 y(x+1) 2+3 的图象先向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,所得的图象解析式是(  )Ay(x2) 2+1 By(x+2) 2+1 Cy(x+4) 2+1 Dy (x+4) 2+5【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案【解答】解:把抛物线 y(x+1) 2+3 的图象先向右平移 3 个单位,得到:y(x2)2+

16、3 再向下平移 2 个单位,所得的图象解析式是:y(x2) 2+1故选:A【点评】此题主要考查了二次函数的几何变换,正确掌握平移规律是解题关键8(4 分)如图,四边形 ABCD 内接于O ,DAB140 ,连接 OC,点 P 是半径 OC上一点,则BPD 不可能为(  )A40 B60 C80 D90【分析】连接 OD、OB,根据圆内接四边形的性质求出DCB,根据圆周角定理求出BOD ,求出 BPD 的范围,即可解答【解答】解:连接 OD、OB,四边形 ABCD 内接于O,DCB180DAB40,由圆周角定理得,BOD2 DCB80,40BPD80,BPD 不可能为 90,故选:D【

17、点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键9(4 分)如图,把矩形 ABCD 折叠,点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处,折痕为 AF,则sinEAD 等于(   )A B C D【分析】根据折叠的性质得到 AEAB,EAFFAB,在 RtADE 中,AE2DE,根据含 30的直角三角形三边的关系得到DAE30,进而解答即可【解答】解:纸片 ABCD 为矩形,ABCD,矩形纸片 ABCD 折叠,使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处,折痕为 AF,AEAB,EAF FAB,而 E 为 DC 的中点,AE2DE ,在 Rt ADE

18、中,AE 2DE,EAD30,sinEAD ,故选:B【点评】本题考查了折叠的性质:折叠前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等10(4 分)如图,四边形 ABCD 内接于直径为 1 厘米的O,若BAD 90,BC a 厘米,CDb 厘米,则下列结论正确的有(  )sinBACa,cosBAC b,tan BAC A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】根据题意和图形可以得到BDC 的三角函数值,然后根据圆周角相等,即可得到BAC 的三角函数值,即可解答本题【解答】解:连接 BD,BAD90,BD 是 O 的直径,BCD90,BDCBAC,BCa 厘米,CDb 厘米,O 的直

19、径为 1 厘米,sinBDCa,cosBDCb,tanBDC ,sinBACa,故正确,cosBACb,故 正确,tanBAC ,故错误,故选:C【点评】本题考查圆周角定理、解直角三角形,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答11(4 分)如图,O 与 的两边相切,若 60,则图中阴影部分的面积 S 关于O 的半径 r 的函数图象大致是(   )A BC D【分析】过 O 点作两切线的垂线,垂足分别为 A、B,连接 OP,如图,利用切线的性质得OAOBr ,根据切线长定理得到 APOBPO 30,则 AP OA r,再利用四边形内角和计算出AOB120,接着利用扇形面积公式

20、得到 S( )r2(r0),然后根据解析式对各选项进行判断【解答】解:过 O 点作两切线的垂线,垂足分别为 A、B ,连接 OP,如图,则 OAOB r,APO BPO30,AP OA r,OAPOBP90,AOB18018060120,SS 四边形 AOBPS 扇形 AOB2 r r( )r 2(r0),故选:C【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了二次函数的图象12(4 分)定义符号 mina,b 的含义:当 ab 时,min a,bb;当 ab 时,mina,ba,如 min1, 44,min6,2 6,则 minx 2+2,2x的最大值为(  )A

21、2 2 B  +1 C1 D2 +2【分析】根据题意和题目中的新定义,利用分类讨论的方法,可以求得 minx 2+2,2x的最大值,本题得以解决【解答】解:当x 2+22x 时,解得,1 x1+ ,当 1 x1+ 时,min x 2+2,2x2x,此时,当 x1 时,2x 取得最大值2+2 ;当x 2+22x 时,解得,x1 或 x1+ ,当 x1 或 x1+ 时,min x 2+2,2x x 2+2,此时,当 x1 时,x 2+2 取得最大值2+2 ;由上可得,minx 2+2,2 x的最大值为 2 2,故选:A【点评】本题考查二次函数的性质、新定义、实数大小比较,解答本题的关键是

22、明确题意,利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)13(4 分)箱子里有 7 个白球、3 个红球,它们仅颜色不同,从中随机摸出一球是白球的概率是   【分析】用白球的个数除以球的总个数即可【解答】解:箱子里有 7 个白球、3 个红球,从中随机摸出一球是白球的概率是 故答案为 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比14(4 分)若线段 c 是线段 a、b 的比例中项,且 a4 厘米,b25 厘米,则 c 10 厘米【分析】根据比例中项的定义,列出比例式即可得出中项,注意线段不能为负【解答】解:根据比例中项的概

23、念结合比例的基本性质,得:比例中项的平方等于两条线段的乘积所以 c2425,解得 c10(线段是正数,负值舍去),c10cm,故答案为:10【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识,解题的关键是熟练掌握基本概念,属于中考常考题型15(4 分)已知ABC 中,CRt,AC3,BC4,以点 C 为圆心,r 为半径画圆,使得点 A 在C 内,点 B 在C 外,则半径 r 的取值范围是 3r4 【分析】根据勾股定理得到 AC 5,点 A 在C 外,点 B 在C 内,则 r 的取值范围是 3r4【解答】解:ABC 中,C90,AC3,BC4,AC5,r 的取值范围是 3r4故答案为:3r4【点评】本题考

24、查了对点与圆的位置关系的判断设点到圆心的距离为 d,则当 dR 时,点在圆上;当 dR 时,点在圆外;当 dR 时,点在圆内判断这三点与圆的位置关系是解决本题的关键16(4 分)一直角三角形的两条直角边长分别为 6 和 8,则它的内切圆半径为 2 【分析】如图,作辅助线,首先证明四边形 ODCF 为正方形;求出 AB 的长度;证明AF AE,BDBE 问题即可解决【解答】解:如图,O 内切于直角ABC 中,切点分别为 D、E 、F;其中 AC8,BC6;连接 OD、OF;则 ODBC,OFAC;ODOF ;C90,四边形 ODCF 为正方形,CDCFR(R 为O 的半径);由勾股定理得:AB2

25、AC 2+BC236+64100,AB10;由切线的性质定理的:AFAE,BDBE;CD+CFAC +BCAB6+8104,R2,它的内切圆半径为 2【点评】该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题;解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答17(4 分)如图,A 的圆心 A 在O 上,O 的弦 PQ 与A 相切于点 B,若O 的直径AC10,AB 2,则 APAQ 的值为 20 【分析】连接 QC,根据圆周角定理、切线的性质定理得到ABPAQC,证明ABPAQC,根据相似三角形的性质定理计算即可【解答】解:连接 QC,PQ 与 A 相切于点 B,ABP 90,A

26、C 为O 的直径,AQC90,ABP AQC,又APBACQ,ABP AQC, ,APAQ ABAC20,故答案为:20【点评】本题考查的是圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键18(4 分)如图,矩形 ABCD 中,AB4,AD6,E 为射线 BC 上一动点(不与 C 重合),CDE 的外接圆交 AE 于 P,若 CPCD,则 AP 的值为   【分析】连接 PD,如图,利用圆周角定理证明 EPD 90,CDPCED,再证明AEBCED,则可判断ABEDCE,所以 BECE BC3,再利用勾股定理计算出 AE,然后证明 R

27、tADP RtEAB,从而利用相似比可计算出 AP 的长【解答】解:连接 PD,如图,ECD90,DE 为直径EPD90,CPCD,CDPCED,AEB CDP,AEB CED,ABCD,BECD,ABE DCE,BECE BC3,在 Rt ABE 中,AE 5,ADBC,BEA DAE,RtADPRtEAB, ,即 ,AP 故答案为 【点评】本题考查了三角形外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心也考查了矩形的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质三、解答题(第 19 题 6 分,第 20、21 题每题 8 分,第 22、23、24 题每题 10 分

28、,第 25题 12 分第 26 题 14 分,共 78 分)19(6 分)(1) tan60 cos45;(2)若 ,求 的值【分析】(1)将三角函数值代入计算可得;(2)由 知 y3x,代入计算可得【解答】解:(1)原式 312;(2) ,y3x,则原式 【点评】本题主要考查比例的性质,解题的关键是掌握实数的运算与比例的基本性质20(8 分)如图电路图上有四个开关 A、B、C 、D 和一个小灯泡,闭合开关 D 或同时闭合开关 A,B,C 都可使小灯泡发光(1)任意闭合其中一个开关,则小灯泡发光的概率等于   ;(2)任意闭合其中两个开关,请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率

29、【分析】(1)根据概率公式直接填即可;(2)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率【解答】解:(1)有 4 个开关,只有 D 开关一个闭合小灯发亮,所以任意闭合其中一个开关,则小灯泡发光的概率是 ;(2)画树状图如右图:结果任意闭合其中两个开关的情况共有 12 种,其中能使小灯泡发光的情况有 6 种,小灯泡发光的概率是 【点评】本题是跨学科综合题,综合物理学中电学知识,结合电路图,正确判断出灯泡发光的条件,主要考查概率的求法用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比21(8 分)如图,为一圆洞门工匠在建造过程中需要一根横梁 AB 和两根对称的

30、立柱CE、DF 来支撑,点 A、B、C 、D 在 O 上,CE AB 于 E,DF AB 于 F,且 AB2,EF , 120(1)求出圆洞门O 的半径;(2)求立柱 CE 的长度【分析】(1)作 OHAB 于 H,连接 OB、OA在 RtBOH 中,解直角三角形即可解决问题;(2)作 OM EC 于 M,连接 OC在 RtOMC 中,解直角三角形即可;【解答】解:(1)作 OHAB 于 H,连接 OB、OA 的度数为 120,AO BO,BOH 12060 ,AHBH ,在 Rt BOH 中,sinBOH ,OB2,即圆洞门O 的半径为 2;(2)作 OM EC 于 M,连接 OCRtBOH

31、 中,OH1,EH ,易证四边形 OMEH 是矩形,OM EH ,ME OH 1,在 Rt OMC 中,CM ,CEME+CM1+ ,立柱 CE 的长度为 【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型22(10 分)如图,一艘潜水器在海面 DF 下 600 米 A 点处测得俯角为 30正前方的海底C 点处有黑匣子(即EAC30),继续在同一深度直线航行 1400 米到 B 点处测得正前方 C 点处的俯角为 45(即EBC45)求海底 C 点处距离海面 DF 的深度(结果保留根号)【分析】作 CMDF

32、于 M,交 AB 于 N 点,如图,设 CNx,在 RtBCE 中利用正切定义得到 BNCNx ,在 RtACN 中,利用A 的正切得到 tan30 ,解得 x700 +700,然后计算 CN+MN 即可【解答】解:作 CMDF 于 M,交 AB 于 N 点,如图,则 MN600,AB1400,NAC 30,NBC45,设 CNx,在 Rt BCE 中,tanNBCtan45 ,BNCNx,在 Rt ACN 中, tanNAC , tan30 ,解得 x700 +700,CMCN+MN700 +700+600700 +1300答:海底 C 点处距离海面 DF 的深度为(700 +1300)m

33、【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题:解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,另当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决23(10 分)如图,ABC 内接于O,AC 是O 直径,D 是 的中点,过点 D 作 CB的垂线,分别交 CB、CA 延长线于点 F、E(1)判断直线 EF 与O 的位置关系,并说明理由;(2)若 sinE ,求 AB:EF 的值【分析】(1)先判断出CBA 为直角,再判断出F 为直角,进而得出 AB 与 EF 平行,再

34、由 D 为 的中点,利用垂径定理的逆定理得到 OD 垂直于 AB,即可得出结论;(2)根据角 E 的正弦值,设出 ODOCOBOA 5x,则得出 CA10x,CE13x,进而得出 CE18x,最后判断出 ABC ECF 即可得出结论【解答】解:(1)直线 EF 与圆 O 相切,理由为:连接 OD,如图所示:AC 为圆 O 的直径,CBA90,又F90,CBAF90,ABEF,AMOEDO,又D 为 的中点, ,ODAB,AMO90,EDO 90 ,EF 过半径 OD 的外端,则 EF 为圆 O 的切线,(2)在 RtODE 中,sinE ,设 ODOCOA5x,CA10x,OE13x ,CE1

35、8x,EFAB,ABCECF, 【点评】此题考查了切线的性质,圆周角定理,平行线的判定与性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义,熟练掌握性质与定理是解本题的关键24(10 分)我们定义:三边之比为 1: : 的三角形叫神奇三角形(1)如图一,ABC 是正方形网格中的格点三角形,假设每个小正方形的边长为 1,请证明ABC 是神奇三角形,并直接写出 ABC 的度数;(2)请你在下列 25 的正方形网格中(图二)分别画出一个与(1)中ABC 不全等的大小各不同的格点神奇三角形【分析】(1)利用勾股定理分别计算出 BC、AB 、AC 的长度,计算出三边的比例可得答案;(2)根据相似三角形作图

36、可得【解答】解:(1)由勾股定理得 BC 、 AB2、AC ,BC:AB:AC :2: 1: : ,ABC 是神奇三角形,ABC135;(2)如图所示:【点评】本题主要考查作图应用与设计作图,解题的关键是掌握勾股定理与相似三角形的定义25(12 分)有一家网红私人定制蛋糕店,她家的蛋糕经常供不应求,但每日最多只能做40 只蛋糕,且每日做好的蛋糕全部订售一空已知做 x 只蛋糕的成本为 R 元,售价为每只 P 元,且 R、P 与 x 的关系式为 R500+30 x,P 1702x ,设她家每日获得的利润为 y 元(1)销售 x 只蛋糕的总售价为 (2x 2+170x) 元(用含 x 的代数式表示)

37、,并求 y 与x 的函数关系式;(2)当每日做多少只蛋糕时,每日获得的利润为 1500 元?(3)当每日做多少只蛋糕时,每日所获得的利润最大?最大日利润是多少元?【分析】(1)利用总售价销售单价销售数量可得,再根据每日利润总售价做 x 只蛋糕的成本可得 y 关于 x 的解析式;(2)求出 y1500 时 x 的值即可得;(3)将所得函数解析式配方成顶点式,再利用二次函数的性质求解可得【解答】解:(1)销售 x 只蛋糕的总售价为(1702x)x2x 2+170x(元),根据题意,得:y(2x 2+170x)(500+30 x)2x 2+140x500,故答案为:(2x 2+170x);(2)当

38、y1500 时,得:2x 2+140x5001500,解得:x 120、x 250,x40,x20,即当每日做 20 只蛋糕时,每日获得的利润为 1500 元;(3)y2x 2+140x500 2(x35) 2+1950,a20,当 x35 时,y 取得最大值,最大值为 1950,答:当每日做 35 只蛋糕时,每日所获得的利润最大,最大日利润是 1950 元【点评】本题考查了二次函数的应用,掌握销售问题的数量关系销售收入售价数量的运用,二次函数的解析式的性质的运用,解答时求出二次函数的解析式是关键26(14 分)如图,抛物线 y(x+1)(x 3)与 x 轴分别交于点 A、B(点 A 在 B

39、的右侧),与 y 轴交于点 C, P 是ABC 的外接圆(1)直接写出点 A、B、C 的坐标及抛物线的对称轴;(2)求P 的半径;(3)点 D 在抛物线的对称轴上,且 BDC90,求点 D 纵坐标的取值范围;(4)E 是线段 CO 上的一个动点,将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 45得线段 AF,求线段OF 的最小值【分析】(1)分别代入 y0、x0 求出与之对应的 x、 y 的值,进而可得出点 A、B、C的坐标,再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴;(2)连接 CP、BP,在 RtBOC 中利用勾股定理可求出 BC 的长,由等腰直角三角形的性质及圆周角定理可得出BPC90,再利用等腰直

40、角三角形的性质可求出 BP 的值,此题得解;(3)设点 D 的坐标为(1, y),当BDC90时,利用勾股定理可求出 y 值,进而可得出:当 1y 2 时,BDC90;(4)将ACO 绕点 A 逆时针方向旋转 45,点 C 落在点 C处,点 O 落在点 O处,根据旋转的性质可找出点 C的坐标及AC O 45,进而可找出线段 CO 所在直线的解析式,由点 E 在 CO 上可得出点 F 在 CO上,过点 O 作 OFC O 于点F,则 OCF 为等腰直角三角形,此时线段 OF 取最小值,利用等腰直角三角形的性质即可求出此时 OF 的长,此题得解【解答】解:(1)当 y0 时,(x+1)(x 3)0

41、,解得:x 11,x 23,点 B 的坐标为(1,0),点 A 的坐标为(3,0);当 x0 时,y(0+1 )(03)3,点 C 的坐标为(0,3);抛物线与 x 轴交于点(1,0)、(3,0),抛物线的对称轴为直线 x1(2)连接 CP、BP,如图 1 所示在 Rt BOC 中, BC AOC90,OAOC 3,OACOCA45,BPC2OAC90,CPBP BC , P 的半径为 (3)设点 D 的坐标为(1, y),当BDC90时,BD 2+CD2BC 2,(11) 2+(0y ) 2+(01) 2+(3y) 210,整理,得:y 23y +20,解得:y 11,y 22,当 1y2

42、时,BDC90(4)将ACO 绕点 A 逆时针方向旋转 45,点 C 落在点 C处,点 O 落在点 O处,如图 2 所示AC 3 ,ACO45,点 C的坐标为(33 ,0),ACO45,线段 CO所在直线的解析式为 yx+33 点 E 在线段 CO 上,点 F 在线段 CO上过点 O 作 OFCO于点 F,则OCF 为等腰直角三角形,此时线段 OF 取最小值OCF 为等腰直角三角形,OF OC (3 3)3 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定理、旋转以及等腰直角三角形,解题的关键是:(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点 A、B、C 的坐标;( 2)利用圆周角定理找出BPC90;(3)利用极限值法求出点 D 纵坐标;( 4)利用点到直线之间垂直线段最短确定点 F 的位置