1、第三章 变量之间的关系教材简析本章的主要内容有：(1)两个变量之间关系的表示方法及变量、自变量、因变量的意义；(2)根据表格、图象、关系式获取信息并解决一些实际问题本章从常量的世界进入变量的世界，开始接触新的思维方式经历探究具体情境中的两个变量之间关系的过程，感受变量的思想，培养学生的符号意识；从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，感受几何直观的作用，并用自己的语言大致描述表格、关系式、图象所表示的变量间关系，发展学生有条理的思考和表达能力；从运动变化的角度认识数学对象的过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；同时在本单元的学习中注意数形结合思想的运用，善于由图象获取信息
2、，由图索数、由数导形，将抽象的数与直观的形有机结合起来本章内容是中考的必考内容，主要考查变量间关系的三种表示方式(表格法、关系式法和图象法 )以及从图象中获取信息，多以选择题、填空题形式出现，有时也会出现在解答题中，难度适中教学指导【本章重点】自变量、因变量的理解，图象的认识【本章难点】根据具体问题，选取用表格、关系式或图象来表示某些变量间的关系，并结合对某些变量之间关系的分析，尝试对某些变化趋势进行预测【本章思想方法】1体会和掌握由特殊到一般的思想方法，如通过一些具体、特殊的实例，找出一般的规律，再用这个规律指导实践，得出所需要的具体的数据2体会数形结合的思想方法，如利用图象确定变量之间关系
3、以及预测变化趋势等，其关键是明确横轴、纵轴所表示的实际意义3体会分类讨论的思想方法，如根据题目给出的不同条件进行判断，然后分类讨论，找出合适的等量关系，列出方程并求解课时计划1 用表格表示的变量间关系 1 课时2 用关系式表示的变量间关系 1 课时3 用图象表示的变量间关系 2 课时1 用表格表示的变量间关系教学目标一、基本目标1理解变量、自变量和因变量的意义，明确可以列表格表示两个变量之间的关系2能从表格中读取信息，并解决相关问题二、重难点目标【教学重点】能从表格的数据中分清什么是变量、自变量、因变量，以及因变量随自变量的变化情况【教学难点】对表格所表达的两个变量关系的理解环节 1 自学提纲
4、，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P62P63 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1完成教材 P62 引入问题：解：(1)1.59 s.(2)随着 h逐渐变大，t 逐渐变小(3)不相同(4)根据(3)中的发现进行估计，可以是 1.35 s 到 1.29 s 中的任意一值(5)小车下滑时间 t及下滑速度 v等量发生变化，小车质量始终不发生变化归纳总结：(1)在教材 P62 的表 1 中，支撑物高度 h 和小车下滑时间 t 都在变化，它们都是变量.其中 t 随 h 的变化而变化， h 是自变量，t 是因变量 ；(2)在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；取值始终 保持不变的量
5、，叫做常量2完成教材 P62“议一议”：解：(1)随着 x的增大，y 逐渐增大(2)答案不唯一，如：从 1949 年起，时间每向后推移 10 年，我国人口分别增加 1.3 亿、1.35 亿、1.68 亿、1.32 亿、1.52 亿、0.76 亿3世纪花园居民小区收取电费的标准是 0.6 元/千瓦时，当用电量为 x(单位：千瓦时)时，收取电费为 y(单位：元) 在这个问题中，下列说法正确的是( D )Ax 是自变量，0.6 元/ 千瓦时是因变量By 是自变量，x 是因变量C0.6 元/千瓦时是自变量，y 是因变量Dx 是自变量，y 是因变量环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学
6、)【例 1】写出下列各题关系式中的常量与变量(1)分针旋转一周内，旋转的角度 n(度)与旋转所需要的时间 t(分)之间的关系式为n6t ；(2)一辆汽车以 40 千米/ 时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程 s(千米) 与行驶时间 t(时 )之间的关系式为 s 40t.【互动探索】(引发学生思考 )什么是常量？什么是变量？各有什么特点？【解答】(1)常量：6；变量：n、t.(2)常量：40；变量：s 、t.【互动总结】(学生总结，老师点评 )解此类题时，先确定在某过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的，再根据“数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量”解决问题【例 2】某电动车厂
7、 2018 年各月生产电动车的数量情况如下表：时间 x/月 1 2 3 4 5 6月产量 y/万辆 8 8.5 9 10 11 12时间 x/月 7 8 9 10 11 12月产量 y/万辆 10 9.5 9 10 10 10.5(1)为什么称电动车的月产量 y 为因变量？它是谁的因变量？(2)哪个月电动车的产量最高？哪个月电动车的产量最低？(3)哪两个月之间产量相差最大？根据这两个月的产量，电动车厂的厂长应该怎么做？【互动探索】(引发学生思考 )(1)从表中可以看出电动车的月产量 y随时间 x的变化而变化，所以自变量是时间 x，因变量是电动车的月产量 y；(2)(3)根据表中信息答题即可【解
8、答】(1)电动车的月产量 y为随着时间 x的变化而变化，一个时间 x就有唯一一个y与之对应，因而月产量 y是时间 x的因变量(2)6 月电动车的产量最高，1 月电动车的产量最低(3)6 月和 1 月产量相差最大厂长应在 1 月份安排工人加紧生产，实现产量的增值【互动总结】(学生总结，老师点评 )观察因变量随自变量变化而变化的趋势，实质是观察自变量增大时，因变量是随之增大还是减小活动 2 巩固练习(学生独学)1要画一个面积为 20 cm2 的长方形，其长为 x cm，宽为 y cm.在这一变化过程中，常量与变量分别为( A )A常量为 20，变量为 x、y B常量为 20、y，变量为 xC常量为
9、 20、x ，变量为 y D常量为 x、 y，变量为 202弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 y(cm)与所挂物体的质量 x(kg)间有下面的关系：x(kg) 0 1 2 3 4 5y(cm) 10 10.5 11 11.5 12 12.5下列说法不正确的是( C )Ax 与 y 都是变量，且 x 是自变量，y 是因变量B所挂物体质量为 4 kg 时，弹簧长度为 12 cmC弹簧不挂重物时的长度为 0 cmD物体质量每增加 1 kg，弹簧长度 y 增加 0.5 cm3A、B 两地相距 50 千米，明明以每小时 5 千米的速度由 A 地到 B 地，若他距 B 地的距离为 y 千米，到达时用
10、时 x 小时请你写出在这个变化过程中的自变量和因变量解：在这个变化过程中，自变量是时间 x，因变量是他距 B地的距离 y.环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)变量Error!表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情况，还能帮助我们对变化趋势进行初步的预测练习设计请完成本课时对应练习！2 用关系式表示的变量间关系教学目标一、基本目标1能根据具体情境用关系式表示某些变量之间的关系2能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系二、重难点目标【教学重点】找出题中的自变量和因变量【教学难点】根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min
11、阅读】阅读教材 P66P67 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1(教材 P66 引入问题 )如图，三角形 ABC 底边 BC 上的高是 6 cm.当三角形的顶点 C沿底边所在直线向点 B 运动时，三角形的面积发生了变化(1)在这个变化过程中，自变量是底边 BC长，因变量是ABC 的面积；(2)如果三角形的底边长为 x( cm)，那么三角形的面积 y( cm2)可以表示为 y3x；(3)当底边长从 12 cm 变化到 3 cm 时，三角形的面积从 36 cm2 变化到 9 cm2.2(教材 P67“议一议”)“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量
12、的一种生活方式如下表：排碳计算公式家居用电的二氧化碳排放量(kg)耗电量(kWh) 0.785开私家车的二氧化碳排放量(kg)耗油量(L)2.7家用天然气二氧化碳排放量(kg)天然气使用量(m 3)0.19家用自来水二氧化碳排放量(kg)自来水使用量(t)0.91(1)用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为 y0.785x ，其中的字母表示 y表示家居用电的二氧化碳排放量，x 表示耗电量；(2)在上述关系式中，耗电量每增加 1 kWh，二氧化碳排放量增加 0.875 kg.当耗电量从1 kWh 增加到 100 kWh 时，二氧化碳排放量从 0.875 kg 增加到 87.5 kg；(3)小
13、明家本月用电大约 110 kWh、天然气 20 m3、自来水 5 t、耗油 75 L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量解：1100.785752.7200.1950.91297.2(kg)即小明家这几项的二氧化碳排放量是 297.2 kg.环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离 s(m)与时间 t(s)的数据如下表：时间 t(s) 1 2 3 4 距离 s(m) 2 8 18 32 写出用 t 表示 s 的关系式为_.【互动探索】(引发学生思考 )观察表中给出的 t与 s的对应值分析数据归
14、纳得出关系式【分析】t1 时，s21 2；t2 时，s22 2；t3 时，s23 2；t4 时，s24 2，所以 s与 t的关系式为 s2t 2，其中 t0.【答案】s2t 2(t0)【互动总结】(学生总结，老师点评 )(1)关系式一般是用含有自变量的代数式表示因变量的等式；(2) 关系式通常把因变量写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等号的右边；(3)利用关系式可以根据任何一个符合条件的自变量的值求出因变量的值，但已知一个变量的值求另一个变量的值时，一定要分清已知的是自变量还是因变量，不要代错了【例 2】一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量 Q(L)与行驶的时间 t(h)的关系
15、如下表所示：行驶时间 t(h) 0 1 2 3 4 油箱中剩余油量 Q(L) 54 46.5 39 31.5 24 根据表格中的信息，解答下列问题：(1)请直接写出 Q 与 t 的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶 6 h 后，油箱中的剩余油量；(2)这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是多少？【互动探索】(引发学生思考 )(1)分析表中数据可知，每行驶 1 h 耗油量为 7.5 L，由此可写出油箱中剩余油量 Q(L)与行驶时间 t(h)的关系式；(2) 由(1) 知，汽车每小时耗油 7.5 L，油箱原有汽油 54 L，用后者除以前者即可求出油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时【解答
16、】(1)Q 547.5t.把 t6 代入，得 Q547.569.即这辆汽车在连续行驶 6 h 后，油箱中剩余油量为 9 L.(2)547.57.2(h)即这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶 7.2 h.【互动总结】(学生总结，老师点评 )观察表中的数据，发现其中的变化规律，然后根据其增减趋势写出自变量与因变量之间的关系式活动 2 巩固练习(学生独学)1变量 x 与 y 之间的关系式是 yx 23，当自变量 x2 时，因变量 y 的值是( C )A2 B1 C1 D22图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的，设 y 为第 n 层(n 为正整数) 圆点的个数，则下列函数关系中正确的是( B
17、 )Ay4n4 By 4nCy 4n4 Dyn 23如图是一个简单的数值运算程序，当输入 x 的值为 1 时，则输出的数值为 2. 输 入 x 1 3 输 出4已知水池中有 800 立方米的水，每小时抽 50 立方米(1)写出剩余水的体积 Q(立方米) 与时间 t(小时) 之间的关系式；(2)6 小时后池中还有多少水？(3)几小时后，池中还有 200 立方米的水？解：(1)Q800 50t(0t16) (2)当 t6 时，Q 800506500.即 6 小时后池中还剩 500 立方米水(3)当 Q200 时， 80050t200，解得 t12.即 12 小时后，池中还有 200 立方米的水环节
18、 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)求变量之间关系式的“三途径”：(1)根据表格中所列的数据，归纳、总结两个变量的关系式；(2)利用公式写出两个变量之间的关系式；(3)结合实际问题写出两个变量之间的关系式练习设计请完成本课时对应练习！3 用图象表示的变量间关系第 1 课时 曲线型图象教学目标一、基本目标1结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义；能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述2经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系二、重难点目标【教学重点】理解图象上的点所表示的意义【教学难点】能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述教学过程环节
19、 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P69P71 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1完成教材 P69 引入问题：解：(1)上午 9 时的温度是 27 ，12 时的温度是 31 .(2)这一天的最高温度是 37 ，是在 15 时达到的；最低温度是 23 ，是在 3 时达到的(3)这一天的温差是 372314( )从最低温度到最高温度经过了 15312(小时)(4)3 时到 15 时温度在上升，0 时到到 3 时、15 时到 24 时温度在下降(5)A点表示 21 时的温度为 31 ，B 点表示 0 时的温度为 26 .(6)次日凌晨 1 时温度约是 24 .理由略规律总
20、结：(1)图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常 直观；(2)在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴( 称为横轴)上的点表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴 )上的点表示因变量.2二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长如图，在下列选项中指出白昼时长低于 11 小时的节气( D )A惊蛰 B小满C立秋 D大寒环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】水滴进玻璃容器如图所示(设单位时间内进水量相同) ，那么水的高度是如何随时间变化的，请选择分别与 A、B、C
21、 、D 匹配的图象( )A(3)(2)(4)(1) B(2)(3)(1)(4)C(2)(3)(4)(1) D(3)(2)(1)(4)【互动探索】(引发学生思考 )A容器的直径小，水上升的速度最快，故 A应是图(3)；B容器直径大，上升速度慢，故 B应是图(2)；C 容器下面大，上升速度慢，上面较小，上升速度变快，故 C应是图(4)；D 先最快，再速度放慢，然后速度又变快，最后速度不变，故 D应是图(1) 故选 A【答案】A【互动总结】(学生总结，老师点评 )对于题目中有不规则容器，图象多为不规则变化，要确定这种变化关系，可以从容器横截面的变化情况进行判断【例 2】如图所示是某市夏天的温度随时间
22、变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是( )A这天 15 时温度最高B这天 3 时温度最低C这天最高温度与最低温度的差是 13 D这天 03 时，1524 时温度在下降【互动探索】(引发学生思考 )横轴表示时间，纵轴表示温度温度最高应找到图象的最高点所对应的 x值，即 15 时，A 正确；温度最低应找到图象的最低点所正确应的 x值，即 3 时，B 正确；这天最高温度与最低温度的差应让前面的两个 y值相减，即382216( )，C 错误；从图象看出，这天 03 时，1524 时温度在下降，D 正确故选 C【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评 )认真观察图象，明确时间是自变量，温度是因
23、变量，然后由图象上的点确定自变量及因变量的对应值活动 2 巩固练习(学生独学)1某市一周平均气温()如图所示，下列说法不正确的是 ( C )A星期二的平均气温最高B星期四到星期日天气逐渐转暖C这一周最高气温与最低气温相差 4 D星期四的平均气温最低2如图所示是某市 2018 年 6 月份某一天的气温随时间变化的情况观察此图回答下列问题：(1)这天的最高气温是 38_；(2)这天在 3 时至 15 时范围内温度在上升；(3)请你预测一下，次日凌晨 1 点的气温大约是 25 .环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观2曲线型图象
24、能够反映出数据的变化趋势，通过结合横、纵坐标轴表示的意义，我们能够很直观的感受到数据的意义练习设计请完成本课时对应练习！第 2 课时 折线型图形教学目标一、基本目标1学会从折线型图形中提取信息，作出判断2经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系；能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述二、重难点目标【教学重点】通过速度随时间变化的实际情境，分析出变量之间关系【教学难点】根据现实中变量的变化关系，判断变化的可能图象教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P73P74 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1变量之间的关系的表示方法有：表
25、格法、关系式法、图象法.2(教材 P73 引入问题 )每一辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度你知道现在汽车的速度是多少吗？解：现在汽车的速度是 50 km/h.3完成教材 P74 引入问题：解：(1)汽车从出发到最后停止共经过了 24 分钟，它的最高时速是 90 km/h.(2)汽车在 2 至 6 分和 18 至 22 分的时段里保持匀速行驶，时速分别为 30 km/h 和 90 km/h.(3)答案不唯一，如：发生故障、停止不动(4)略环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】小明放学后从学校乘轻轨回家，他从学校出发，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，小明
26、搭轻轨回到家下面能反映在此过程中小明与家的距离 y 与时间 x 的关系的大致图象是( )【互动探索】(引发学生思考 )根据从学校回家，可得与家的距离是越来越近；根据步行的速度慢，可得离家的距离变化小；根据搭轻轨的速度快，可得离家的距离变化大【分析】A随着时间的变化，离家的距离越来越远，故 A、B 错误；C随着时间的变化，步行离家的距离变化快，搭轻轨的距离变化慢，不符合题意，故 C错误；D随着时间的变化，步行离家的距离变化慢，搭轻轨的距离变化快，符合题意，故选 D【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评 )路程问题中，在不同的时间内，速度可以发生变化，解决此类问题时，要对图象中各个线段的意义正
27、确理解【例 2】端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间 t(分钟) 之间的图象如图所示根据图象，回答下列问题：(1)这次龙舟赛的全程是多少米？哪队先到达终点？(2)求乙与甲相遇时乙的速度【互动探索】(引发学生思考 )明确横轴、纵轴分别表示什么，再分段提取相关信息解题【解答】(1)由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是 1000 米；由横坐标看出，乙队先到达终点(2)由图象看出，相遇是在乙加速后，加速后行的路程是 1000400600( 米)，加速后用的时间是 3.82.21.6(分钟 )，所以乙与甲相遇时乙的速度是 6001.6375(米/分钟)【互动总结】
28、(学生总结，老师点评 )解决双图象问题时，正确识别图象，弄清楚两图象所代表的意义，从中挖掘有用信息，明确实际意义活动 2 巩固练习(学生独学)1用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满在注水过程中，水面高度 h 随时间 t 的变化规律如图所示(图中 OAB 为折线)，这个容器的形状是 ( C )2如果 OA、BA 分别表示甲、乙两名学生运动的路程 s 和时间 t 的关系，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快( C )A2.5 m B2 mC1.5 m D1 m3星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示请根据图象回答下列问题：(1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间？
29、离家多远？(2)她何时开始第一次休息？休息了多长时间？(3)她骑车速度最快是在什么时候？车速是多少？(4)玲玲全程骑车的平均速度是多少？解：(1)玲玲到达离家最远的地方是 12 时，此时离家 30 千米(2)她 10：30 开始第一次休息，休息了半小时(3)玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：9 时10 时，速度为 10(109) 10(千米/ 时) ； 10 时 10 时 30 分，速度约为(17.510)(10.510)15( 千米/时)；10 时 30分11 时，速度约为 0；11 时12 时，速度为(3017.5)(1211)12.5(千米/时)；12时13 时，速度为 0；13 时15 时，在返回的途中，速度为 30(1513)15( 千米/时)由此可知，骑行最快有两段时间：10 时10 时 30 分；13 时15 时，两段时间的速度都是 15 千米/时(4)玲玲全程骑车的平均速度为(30 30)(159)10( 千米/ 时) 环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1在表示两变量间关系时，图象法是关系式法和表格法的几何表现形式2图象法能直观反映变量间的整体变化情况及变化规律，是表格法、关系式法所无法代替的练习设计请完成本课时对应练习！