1、期末测试卷（1）一选择题1如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点（1，0） ，对称轴 l 如图所示，则下列结论：abc0；ab+c=0；2a+c0；a+b0，其中所有正确的结论是（ ）A B C D2在下列 y 关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（ ）Ay=2x 2 By=2x2 Cy=ax 2 D3对于二次函数 y=（x1） 2+2 的图象与性质，下列说法正确的是（ ）A对称轴是直线 x=1，最小值是 2B对称轴是直线 x=1，最大值是 2C对称轴是直线 x=1，最小值是 2D对称轴是直线 x=1，最大值是 24如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中点，EGA
2、F，FHCE，垂足分别为 G，H，设 AG=x，图中阴影部分面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是（ ）Ay=3 x2 By=4 x2 Cy=8x 2 Dy=9x 25足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为 20m；足球飞行路线的对称轴是直线 t= ；足球被踢出 9s 时落地；足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是11m，其
3、中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D46已知 2x=3y（y0） ，则下面结论成立的是（ ）A = B = C = D =7矩形的长与宽分别为 a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）Aa=4，b= +2 Ba=4，b= 2 Ca=2 ， b= +1 Da=2，b= 18若ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，则B 的度数与其对应角B 的度数相比（ ）A增加了 10% B减少了 10% C增加了（1+10%） D没有改变9如图，在ABC 中， A=78，AB=4，AC=6，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A BC D10已知ABC DEF
4、，且相似比为 1：2，则ABC 与DEF 的面积比为（ ）A1 ：4 B4：1 C1：2 D2：111如图，ABC是ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，若ABC的面积与 ABC 的面积比是 4：9，则 OB：OB 为（ ）A2 ：3 B3：2 C4：5 D4：912志远要在报纸上刊登广告，一块 10cm5cm 的长方形版面要付广告费 180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的 3 倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（ ）A540 元 B1080 元 C1620 元 D1800 元二填空题13如图，在边长相同的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶
5、点上，AB 与 CD 相交于点 P，则 tanAPD 的值为 .14如图，P（12，a）在反比例函数 图象上，PHx 轴于 H，则 tanPOH的值为_.15计算：2sin60= .16用科学计算器计算： +3tan56 .结果精确到 0.01）17如图，在 22 的网格中，以顶点 O 为圆心，以 2 个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点 A，则 tanABO 的值为 .18如图，在一笔直的沿湖道路 l 上有 A、B 两个游船码头，观光岛屿 C 在码头 A 北偏东 60的方向，在码头 B 北偏西 45的方向， AC=4km.游客小张准备从观光岛屿 C 乘船沿 CA 回到码头 A 或沿 CB
6、回到码头 B，设开往码头 A、B 的游船速度分别为 v1、v 2，若回到 A、B 所用时间相等，则 = （结果保留根号）.三解答题19自 2016 年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某运营商为提高其经营的 A 品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按 0.5 元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少 0.1 元，第 6 次开始，当次用车免费具体收费标准如下：使用次数0 1 2 3 4 5（含 5 次以上）累计车费0 0.5 0.9 a b 1.5同时，就此收费方案随机调查了某高校 100 名师生在一天中使用 A 品牌共享单车的意
7、愿，得到如下数据：使用次数 0 1 2 3 4 5人数 5 15 10 30 25 15(1)写出 a，b 的值；(2)已知该校有 5000 名师生，且 A 品牌共享单车投放该校一天的费用为 5800元试估计：收费调整后，此运营商在该校投放 A 品牌共享单车能否获利？说明理由.20小明在某次作业中得到如下结果：sin27+sin2830.12 2+0.992=0.9945，sin222+sin2680.37 2+0.932=1.0018，sin229+sin2610.48 2+0.872=0.9873，sin237+sin2530.60 2+0.802=1.0000，sin245+sin245
8、（ ） 2+（ ） 2=1.据此，小明猜想：对于任意锐角 ，均有 sin2+sin2（90）=1.(1)当 =30时，验证 sin2+sin2（90）=1 是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.21 (1)计算： ；(2)如图，正方形 ABCD 中，点 E，F ，G 分别在 AB，BC，CD 上，且EFG=90求证：EBFFCG.22已知抛物线 C1：y=ax 24ax5（a0） (1)当 a=1 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标及对称轴；(2) 试说明无论 a 为何值，抛物线 C1 一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；将抛物线 C1 沿这两个
9、定点所在直线翻折，得到抛物线 C2，直接写出 C2 的表达式；(3)若 (2)中抛物线 C2 的顶点到 x 轴的距离为 2，求 a 的值.23定义：如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，点 P 在该抛物线上（P 点与 A、B 两点不重合） ，如果ABP 的三边满足 AP2+BP2=AB2，则称点 P 为抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的勾股点.(1)直接写出抛物线 y=x2+1 的勾股点的坐标.(2)如图 2，已知抛物线 C： y=ax2+bx（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，点 P（1，）是抛物线 C 的勾股点，求抛物线 C 的函数表达式.(3)
10、在 (2)的条件下，点 Q 在抛物线 C 上，求满足条件 SABQ =SABP 的 Q 点（异于点 P）的坐标.24如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点 A，又在河的另一岸边去两点 B、C 测得=30 ，=45，量得 BC 长为 100 米求河的宽度（结果保留根号）.答案一选择题1如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点（1，0） ，对称轴 l 如图所示，则下列结论：abc0；ab+c=0；2a+c0；a+b0，其中所有正确的结论是（ ）A B C D【考点】H4：二次函数图象与系数的关系【专题】选择题【难度】易【分析】根据开口向下得出 a0，根据对称轴在 y 轴右侧，得出
11、 b0，根据图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，得出 c0，从而得出 abc0，进而判断错误；由抛物线 y=ax2+bx+c 经过点（1，0） ，即可判断正确；由图可知，x=2 时，y 0，即 4a+2b+c0，把 b=a+c 代入即可判断正确；由图可知，x=2 时，y 0，即 4a+2b+c0，把 c=ba 代入即可判断正确【解答】解：二次函数图象的开口向下，a 0 ，二次函数图象的对称轴在 y 轴右侧， 0，b0，二次函数的图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，c0，abc0，故错误；抛物线 y=ax2+bx+c 经过点（1，0） ，a b+c=0，故正确；a b+c=0，b=a
12、+c 由图可知，x=2 时，y 0 ， 即 4a+2b+c0，4a+2（a+c）+c0，6a+3c0，2a+c0，故正确；a b+c=0，c=b a由图可知，x=2 时，y 0 ， 即 4a+2b+c0，4a+2b+ba0，3a+3b0， a +b0， 故正确故选 D【点评】本题考查了二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的性质：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置当 a 与 b 同号时（即 ab0 ） ，对称轴在 y 轴左；当
13、a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右 （简称：左同右异）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点抛物线与 y 轴交于（0，c ） 抛物线与 x 轴交点个数=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b 24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； =b24ac0 时，抛物线与 x轴没有交点2在下列 y 关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（ ）Ay=2x 2 By=2x2 Cy=ax 2 D【考点】H1：二次函数的定义【专题】选择题【难度】易【分析】根据二次函数的定义形如 y=ax2+bx+c （a 0）是二次函数【解答】解：A、是二次函数，故 A 符合题意；
14、B、是一次函数，故 B 错误；C、 a=0 时，不是二次函数，故 C 错误；D、a0 时是分式方程，故 D 错误；故选：A【点评】本题考查二次函数的定义，形如 y=ax2+bx+c （a 0）是二次函数3对于二次函数 y=（x1） 2+2 的图象与性质，下列说法正确的是（ ）A对称轴是直线 x=1，最小值是 2B对称轴是直线 x=1，最大值是 2C对称轴是直线 x=1，最小值是 2D对称轴是直线 x=1，最大值是 2【考点】H3：二次函数的性质； H7：二次函数的最值【专题】选择题【难度】易【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断【解答】解：由抛物线的解析式：y=（x1） 2+2，可知：对称轴
15、x=1，开口方向向下，所以有最大值 y=2，故选（B）【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型4如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中点，EGAF，FHCE，垂足分别为 G，H，设 AG=x，图中阴影部分面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是（ ）Ay=3 x2 By=4 x2 Cy=8x 2 Dy=9x 2【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式； LE：正方形的性质【专题】选择题【难度】易【分析】设正方形的边长为 a，易证四边形 ADCE 是平行四边形，所以四边形EHFG 是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用
16、x 表示出 EG，从而可求出 y 与x 之间的关系式；【解答】解：设正方形的边长为 a，BC=2a ，BE=a，E 、F 分别是 AB、CD 的中点，AE=CF，AE CF，四边形 ADCE 是平行四边形，AFCE，EGAF，FHCE，四边形 EHFG 是矩形，AEG+BEC=BCE+BEC=90，AEG=BCE ，tanAEG=tanBCE ， = ，EG=2x，由勾股定理可知：AE= x，AB=BC=2 x，CE=5x，易证：AEGCFH，AG=CH，EH=ECCH=4x，y=EGEC=8x 2，故选（C）【点评】本题考查矩形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，矩形的性质
17、与判定，全等三角形的判定与性质等知识，综合程度较高，属于中等题型5足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为 20m；足球飞行路线的对称轴是直线 t= ；足球被踢出 9s 时落地；足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】HE：二次函数的应用【专题】选择题【难度】易【分析】由题
18、意，抛物线的解析式为 y=at（t 9） ，把（1，8）代入可得 a=1，可得 y=t2+9t=（ t4.5） 2+20.25，由此即可一一判断【解答】解：由题意，抛物线的解析式为 y=at（t 9） ，把（1，8）代入可得a=1，y= t2+9t=（ t4.5） 2+20.25，足球距离地面的最大高度为 20.25m，故错误，抛物线的对称轴 t=4.5，故正确，t=9 时，y=0，足球被踢出 9s 时落地，故正确，t=1.5 时， y=11.25，故错误正确的有，故选 B【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型6已知 2x=3y（y0） ，则下面结论成
19、立的是（ ）A = B = C = D =【考点】S1：比例的性质【专题】选择题【难度】易【分析】根据等式的性质，可得答案【解答】解：A、两边都除以 2y，得 = ，故 A 符合题意；B、两边除以不同的整式，故 B 不符合题意；C、两边都除以 2y，得 = ，故 C 不符合题意；D、两边除以不同的整式，故 D 不符合题意；故选：A【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键7矩形的长与宽分别为 a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）Aa=4，b= +2 Ba=4，b= 2 Ca=2 ， b= +1 Da=2，b= 1【考点】S3：黄金分割； LB：矩形的性质【专题】选择题【难度】易
20、【分析】根据黄金矩形的定义判断即可【解答】解：宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形， = ，a=2，b= 1，故选 D【点评】本题主要考查了黄金矩形，记住定义是解题的关键8若ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，则B 的度数与其对应角B 的度数相比（ ）A增加了 10% B减少了 10% C增加了（1+10%） D没有改变【考点】S5：相似图形【专题】选择题【难度】易【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答【解答】解：ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，ABC 与ABC的三边对应成比例，ABCABC，B=B故选 D
21、【点评】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键9如图，在ABC 中， A=78，AB=4，AC=6，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A B C D【考点】S8：相似三角形的判定【专题】选择题【难度】易【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
22、故选 C【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键10已知ABC DEF，且相似比为 1：2，则ABC 与DEF 的面积比为（ ）A1 ：4 B4：1 C1：2 D2：1【考点】S7：相似三角形的性质【专题】选择题【难度】易【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可【解答】解：ABCDEF，且相似比为 1：2，ABC 与DEF 的面积比为 1：4，故选 A【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键11如图，ABC是ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，若ABC的面积与 ABC 的面积比是 4：9，则 OB
23、：OB 为（ ）A2 ：3 B3：2 C4：5 D4：9【考点】SC：位似变换【专题】选择题【难度】易【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可【解答】解：由位似变换的性质可知，ABAB，AC AC，ABC ABCABC与 ABC 的面积的比 4：9，ABC与 ABC 的相似比为 2：3， =故选：A【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心12志远要在报纸上刊登广告，一块 10cm5cm 的长方形版面要付广告费 180元，他要
24、把该版面的边长都扩大为原来的 3 倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（ ）A540 元 B1080 元 C1620 元 D1800 元【考点】SA：相似三角形的应用【专题】选择题【难度】易【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的 3 倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案【解答】解：一块 10cm5cm 的长方形版面要付广告费 180 元，每平方厘米的广告费为：18050= 元，把该版面的边长都扩大为原来的 3 倍后的广告费为：3015 =1620 元故选（C）【点评】本题考查相似形的应用，解题的关键是求出每平方厘米的广告费，本题属于基础题型二填空题13如图，
25、在边长相同的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与 CD 相交于点 P，则 tanAPD 的值为 .【考点】T1：锐角三角函数的定义【专题】填空题【难度】中【分析】首先连接 BE，由题意易得 BF=CF，ACPBDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得 DP：CP=1：3，即可得 PF： CF=PF：BF=1 ：2，在 RtPBF 中，即可求得 tanBPF 的值，继而求得答案【解答】解：如图 ，连接 BE，四边形 BCED 是正方形，DF=CF= CD，BF= BE，CD=BE，BECD，BF=CF，根据题意得：ACBD，ACPBDP，DP：CP=BD：AC
26、=1：3 ，DP：DF=1 ：2，DP=PF= CF= BF，在 RtPBF 中，tanBPF= =2，APD=BPF，tanAPD=2故答案为：2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用14如图，P（12，a）在反比例函数 图象上，PHx 轴于 H，则 tanPOH的值为_.【考点】T1：锐角三角函数的定义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征【专题】填空题【难度】中【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tanPOH 为POH 的对边比邻边，求出即可【解答】解：P（12，a）在反比例函数 图象上，a= =5
27、，PH x 轴于 H，PH=5，OH=12 ，tanPOH= ，故答案为： 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边15计算：2sin60= .【考点】T5：特殊角的三角函数值【专题】填空题【难度】中【分析】根据特殊角的三角函数值计算【解答】解：2sin60=2 = 【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主【相关链接】特殊角三角函数值：sin30= ，cos30= ，tan30= ，cot30= ；sin45= ，cos4
28、5= ，tan45=1 ，cot45=1；sin60= ，cos60= ，tan60= ，cot60= 16用科学计算器计算： +3tan56 .结果精确到 0.01）【考点】T6：计算器三角函数；1H：近似数和有效数字；25：计算器数的开方【专题】填空题【难度】中【分析】正确使用计算器计算即可按运算顺序进行计算【解答】解： +3tan56=5.568+1.7320.82905.568 +1.4367.00故答案为：7.00【点评】此题考查了使用计算器计算三角函数的有关知识，解题的关键是：正确使用计算器计算17如图，在 22 的网格中，以顶点 O 为圆心，以 2 个单位长度为半径作圆弧，交图中
29、格线于点 A，则 tanABO 的值为 .【考点】T7：解直角三角形【专题】填空题【难度】中【分析】连接 OA，过点 A 作 ACOB 于点 C，由题意知 AC=1、OA=OB=2，从而得出 OC= =、BC=OBOC=2 ，在 RtABC 中，根据 tanABO= 可得答案【解答】解：如图，连接 OA，过点 A 作 ACOB 于点 C，则 AC=1，OA=OB=2 ，在 RtAOC 中，OC= = = ，BC=OBOC=2 ，在 RtABC 中，tanABO= = =2+ 故答案是：2+ 【点评】本题主要考查解直角三角形，根据题意构建一个以ABO 为内角的直角三角形是解题的关键18如图，在一
30、笔直的沿湖道路 l 上有 A、B 两个游船码头，观光岛屿 C 在码头 A 北偏东 60的方向，在码头 B 北偏西 45的方向， AC=4km.游客小张准备从观光岛屿 C 乘船沿 CA 回到码头 A 或沿 CB 回到码头 B，设开往码头 A、B 的游船速度分别为 v1、v 2，若回到 A、B 所用时间相等，则 = （结果保留根号）.【考点】TB：解直角三角形的应用方向角问题；KU：勾股定理的应用【专题】填空题【难度】中【分析】作 CDAB 于点 D，在 RtACD 中利用三角函数求得 CD 的长，然后在RtBCD 中求得 BC 的长，然后根据 = 求解【解答】解：作 CDAB 于点 B在 RtA
31、CD 中，CAD=9060=30，CD=ACsinCAD=4 =2（km） ，RtBCD 中，CBD=90，BC= CD=2 （km） ， = = = 故答案是： 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得 BC 的长是关键三解答题19自 2016 年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某运营商为提高其经营的 A 品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按 0.5 元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少 0.1 元，第 6 次开始，当次用车免费具体收费标准如下：使用次数0 1 2 3 4 5（含
32、5 次以上）累计车费0 0.5 0.9 a b 1.5同时，就此收费方案随机调查了某高校 100 名师生在一天中使用 A 品牌共享单车的意愿，得到如下数据：使用次数 0 1 2 3 4 5人数 5 15 10 30 25 15(1)写出 a，b 的值；(2)已知该校有 5000 名师生，且 A 品牌共享单车投放该校一天的费用为 5800元试估计：收费调整后，此运营商在该校投放 A 品牌共享单车能否获利？说明理由.【考点】V5：用样本估计总体【专题】解答题【难度】难【分析】(1)根据收费调整情况列出算式计算即可求解；(2)先根据平均数的计算公式求出抽取的 100 名师生每人每天使用 A 品牌共享
33、单车的平均车费，再根据用样本估计总体求出 5000 名师生一天使用共享单车的费用，再与 5800 比较大小即可求解【解答】解：(1)a=0.9+0.3=1.2，b=1.2+0.2=1.4；(2)根据用车意愿调查结果，抽取的 100 名师生每人每天使用 A 品牌共享单车的平均车费为：（05+0.515+0.910+1.230+1.4 25+1.515）=1.1（元） ，所以估计 5000 名师生一天使用共享单车的费用为：50001.1=5500（元） ，因为 55005800，故收费调整后，此运营商在该校投放 A 品牌共享单车不能获利【点评】考查了样本平均数，用样本估计总体， （）中求得抽取的
34、100 名师生每人每天使用 A 品牌共享单车的平均车费是解题的关键20小明在某次作业中得到如下结果：sin27+sin2830.12 2+0.992=0.9945，sin222+sin2680.37 2+0.932=1.0018，sin229+sin2610.48 2+0.872=0.9873，sin237+sin2530.60 2+0.802=1.0000，sin245+sin245（ ） 2+（ ） 2=1.据此，小明猜想：对于任意锐角 ，均有 sin2+sin2（90）=1.(1)当 =30时，验证 sin2+sin2（90）=1 是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；
35、若不成立，请举出一个反例.【考点】T4：互余两角三角函数的关系；T5 ：特殊角的三角函数值【专题】解答题【难度】难【分析】(1)将 =30代入，根据三角函数值计算可得；(2)设 A=，则B=90，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证【解答】解 1：(1)当 =30时，sin2+sin2（90）=sin230+sin260=（ ） 2+（ ） 2= +=1；(2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在ABC 中，C=90，设A=，则 B=90 ，sin 2+sin2（ 90）=（ ） 2+（ ） 2=1【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的
36、关键21 (1)计算： ；(2)如图，正方形 ABCD 中，点 E，F ，G 分别在 AB，BC，CD 上，且EFG=90求证：EBFFCG.【考点】S8：相似三角形的判定； 6A：分式的乘除法；LE：正方形的性质【专题】解答题【难度】难【分析】(1)先把分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；(2)先根据正方形的性质得B= C=90，再利用等角的余角相等得BEF=CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定EBFFCG【解答】(1)解：原式= = ；(2)证明：四边形 ABCD 为正方形，B= C=90，BEF+BFE=90，EFG=90，BFE+CFG=90 ，BE
37、F=CFG，EBFFCG【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了分式的乘除法和正方形的性质22已知抛物线 C1：y=ax 24ax5（a0） (1)当 a=1 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标及对称轴；(2) 试说明无论 a 为何值，抛物线 C1 一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；将抛物线 C1 沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 C2，直接写出 C2 的表达式；(3)若 (2)中抛物线 C2 的顶点到 x 轴的距离为 2，求 a 的值.【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；H6 ：二次函数图象与几何变换【专题】解答题【难度】难【分析】(1)将 a
38、=1 代入解析式，即可求得抛物线与 x 轴交点；(2) 化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题； 根据抛物线翻折理论即可解题；(3)根据(2) 中抛物线 C2 解析式，分类讨论 y=2 或 2，即可解题；【解答】解：(1)当 a=1 时，抛物线解析式为 y=x24x5=（x 2） 29，对称轴为 x=2；当 y=0 时， x2=3 或3 ，即 x=1 或 5；抛物线与 x 轴的交点坐标为（ 1，0）或（5，0） ；(2) 抛物线 C1 解析式为：y=ax 24ax5，整理得：y=ax （x 4） 5；当 ax（x4）=0 时，y 恒定为5；抛物线 C1 一定经过两个定点（0，5）
39、 ， （4， 5） ；这两个点连线为 y=5；将抛物线 C1 沿 y=5 翻折，得到抛物线 C2，开口方向变了，但是对称轴没变；抛物线 C2 解析式为：y= ax2+4ax5，(3)抛物线 C2 的顶点到 x 轴的距离为 2，则 x=2 时，y=2 或者2；当 y=2 时，2= 4a+8a5，解得，a= ；当 y=2 时，2=4a+8a5，解得，a= ；a= 或 ；【点评】本题考查了代入法求抛物线解析式的方法，考查了抛物线翻折后对称轴不变的原理，考查了抛物线顶点的求解23定义：如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，点 P 在该抛物线上（P 点与 A、B 两
40、点不重合） ，如果ABP 的三边满足 AP2+BP2=AB2，则称点 P 为抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的勾股点.(1)直接写出抛物线 y=x2+1 的勾股点的坐标.(2)如图 2，已知抛物线 C： y=ax2+bx（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，点 P（1，）是抛物线 C 的勾股点，求抛物线 C 的函数表达式.(3)在 (2)的条件下，点 Q 在抛物线 C 上，求满足条件 SABQ =SABP 的 Q 点（异于点 P）的坐标.【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；H8 ：待定系数法求二次函数解析式【专题】解答题【难度】难【分析】(1)根据抛物线勾股点的定义即可得；(2)作 PG
41、x 轴，由点 P 坐标求得 AG=1、PG= 、PA=2，由 tanPAB= = 知PAG=60，从而求得 AB=4，即 B（4，0） ，待定系数法求解可得；(3)由 SABQ =SABP 且两三角形同底，可知点 Q 到 x 轴的距离为 ，据此求解可得【解答】解：(1)抛物线 y=x2+1 的勾股点的坐标为（0，1） ；(2)抛物线 y=ax2+bx 过原点，即点 A（0，0） ，如图，作 PGx 轴于点 G，点 P 的坐标为（ 1， ） ，AG=1、PG= ，PA= = =2，tanPAB= = ，PAG=60，在 RtPAB 中，AB= = =4，点 B 坐标为（4，0） ，设 y=ax（
42、x4） ，将点 P（1 ， ）代入得：a= ，y= x（x4）= x2+ x；(3) 当点 Q 在 x 轴上方时，由 SABQ =SABP 知点 Q 的纵坐标为 ，则有 x2+ x= ，解得：x 1=3， x2=1（不符合题意，舍去） ，点 Q 的坐标为（ 3， ） ；当点 Q 在 x 轴下方时，由 SABQ =SABP 知点 Q 的纵坐标为 ，则有 x2+ x= ，解得：x 1=2+ ，x 2=2 ，点 Q 的坐标为（ 2+ ， ）或（2 ， ） ；综上，满足条件的点 Q 有 3 个：（3， ）或（2+ ， ）或（2 ， ） 【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴的交点及待定系数法求函数解析式，根据新定义求得点 B 的坐标，并熟练掌握待定系数求函数解析式及三角形面积问题是解题的关键24如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点 A，又在河的另一岸边去两点 B、C 测得=30 ，=45，量得 BC 长为 100 米求河的宽度（结果保留根号）.【考点】T8：解直角三角形的应用【专题】解答题【难度】难【分析】直接过点 A 作 ADBC 于点 D，利用 tan30= = ，进而得出答案【解答】解：过点 A 作 ADBC 于点 D，=45，ADC=90，AD=DC，设 AD=DC=xm，则 tan30= =