1、第二章 特殊三角形复习课,等腰三角形的性质与判定1.性质 (1)：等腰三角形的两个底角相等。 (2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2.判定 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 等腰三角形:1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。 2 , 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 3 , 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半,等腰三角形性质与判定的应用 （1）计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。 已知角的度数，
2、求其它角的度数 已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组） （2）证明线段或角相等,以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图：若AB=AC 作ADBC于D，必有结论:1=2，BD=DC 若BD=DC，连结AD，必有结论：1=2，ADBC 作AD平分BAC必有结论：ADBC，BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作ADBC，使1=2.,例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。,分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程,已知：线段a、h 求作
3、：ABC，使AB=AC=a，高AD=h 作法： 1、作PQMN，垂足为D 2、在DM上截取DA=h 3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ于点B、C 4、连结AB、AC 则ABC为所求的三角形。,例题分析,例2.如图，已知在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。,证明：AB=AC ABC=ACB（等边对等角） BDAC于D，CEAB于E BEC=CDB=90 1+ACB=90，2+ABC=90（直角三角形两个锐角互余） 1=2（等角的余角相等） BM=CM（等角对等边）,说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多
4、加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。,例题分析,例3.已知：如图，A=90，B=15，BD=DC. 请说明AC=BD的理由.,解BD=DC，B=15 DCB=B=15（等角对等边） ADC=B+DCB=30 （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A=90AC= DCAC= BD,例题分析,例4.已知：如图，C=90，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：MDE是等腰三角形.,分析：要证MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用BMDCME得到结果。,证明：连结CM C=90，BC=AC A=B=45 M是AB的中点 CM平分BCA （等
5、腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合） MCE=MCB=BCA=45 B=MCE=MCB CM=MB（等角对等边） 在BDE和CEM中 BDMCEM（SAS） MD=ME MDE是等腰三角形,例题分析,例5.如图，在等边ABC中,AF=BD=CE,请说明DEF也是等边三角形的理由.,解：ABC是等边三角形 AC=BC，A=C CE=BD BCBC=ACCE CD=AE 在AEF和CDE中AEFCDE（SAS） EF=DE 同理可证EF=DF EF=DE=DF DEF是等边三角形,说明：证明等边三角形有三种思路： 证明三边相等 证明三角相等 证明三角形是有一个角为60的等腰三角形。 具体问题中
6、可利用不同的方式进行求解。,例题分析,例6 .如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G 请说明DG=EG的理由.,思路 因为GDB和GEC不全等，所以考虑在GDB内作出一个与GEC全等的三角形。,说明 本题易明显得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EFBD，交BC的延长线于F，证明DBGEFG，同学们不妨试一试。,例题分析,例7. 如图2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于P，BQAD于Q. 请说明BP=2PQ的理由.,思路 在RtBPQ中，本题的结论
7、等价于证明PBQ=30,证明 AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD，BAEACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又BQADPBQ=30BP=2PQ,说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。,例题分析,例8：如图、在ABC中，D，E在 直线BC上，且AB=BC=AC=CE=BD， 求EAC的度数。,探索：如图、在ABC中，D，E 在直线BC上，且AB=AC=CE=BD， DAE=100，求EAC的度数。,例题分析,1. 下列结论叙述正确的个数为（ ） （ 1）等腰三角形高、中 线、角平分线重合； （ 2）等腰三角形
8、两底角 的外角相等； （ 3）等腰三角形有且只有一条对称轴； （ 4）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个,练习,2.等腰三角形顶角为36，底角为_。 3.等腰三角形顶角和一个底角之和为100，则顶角度数为_。 4.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为_，底角为_。 5.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为_。 6.已知ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若A=50，EBC=_。 7.ABC中，AB=AC，ADBC于D，若ABC的周长为50，ABD的周长为40，则AD=_。 8.若等腰三角形顶角为n度，
9、则腰上的高与底边的夹角为_。,9. 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?,150,a,9.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成：两部分，已知三角形底边长为，求腰长？,解：如图，令CDx，则ADx，AB2x,底边BC5,BCCD5xABAD3x,(5+x)：3x2:1或3x：(5+x)=2:1,x,x,2x,5,10、如图，D是正ABC边AC上的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，试说明BD=DE的理由.,1,2,解: ABC是正三角形 ABC= ACB=600（ ） D是AC边上的中点1= ABC=
10、300（ ）,CE=CD 2= E（ ） 2+ E= ACB=600（ ） E=300， 1= E BD=DE（ ）,3、如图，在RtABC中，ACB=900， CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CF,1,2,3,F,分析：,CD=CF,1=2,1=B+BAD,2=3+DAC,3=B,1=90BAD,=90CAD,ACB =90，CE是AC边上高,1 在直角三角形中，两个锐角_。 2、直角三角形_的平方和等于_的 平方。如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条 直角边和斜边，那么_+ _=_。 3、如果三角形中_两边的平方和等于_一边 的平
11、方，那么这个三角形是直角三角形，_所对 的角是直角。 4、在直角三角形中，如果一个锐角等于 _度， 那么它所对的直角边等于_的一半。 5、在直角三角形中，如果一条直角边等于_, 那么这条直角边所对的角等于300。,还记得吗？,3、如果等腰三角形底边上的 高线等于腰长的一半，那么 这个等腰三角形的三内角 分别是_。4、一艘轮船以16千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向东南方向航行，那么它们离开港口1.5小时后，相距_千米。,温故知新: （一）填空 1、在ABC中，如果A+ B= C，且AC=1/2AB， 则B=_ 。 2、如图ABC中， ACB=90
12、o,CD AB,垂足是D, BC=5cm，BD=1/2BC，则AD= cm。,30o,7.5,30o 30o 120o,30,(二)、选择。 1、满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是：（ ） A、b2=a2-c2 B、 C=A-B C、A：B：C=3：4：5 D、a:b:c=12:13:152、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A、一条直角边和一个锐角分别相等 B、两条直角边对应相等 C、斜边和一条直角边对应相等 D、两个锐角对应相等,3、如图，EAAB，BCAB，AB=AE=2BC， D为AB的中点,有以下判断,(1)DE=AC (2)DEAC, (3) CAB=30o
13、(4) EAF=ADE,期中正确 结论的个数是:( ) A、 一个 B、两个 C、三个 D、四个 4、如图，在ABC中，ACB=90o ，CD是高线， E是AB上一点，且AE=AC，ACE：ACD=3：1， 则与DCE相等的角是（ ） A 、A B、 B C 、 BCE D、以上都错,6、如图，某校A与公路距离为3000米，又与该公路旁上的某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个商店C，使之与该校A及车站D的距离相等，则商店与车站的距离约为（ ） （A）875米（B）3125米（C）3500米（D）3275米,5、如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，
14、如果梯子的顶端沿墙下滑4分米。那么梯足将滑（ ） （A）15分米（B）9分米（C）8分米（D）5分米,思考：若A城与B地的方向保持不变，为了确保A城不受 台风影响至少离B地多远？,解：作AD BF 由已知可得： FBA=300 AD=1/2AB=150KM而 150200 A城会受到台风的影响,应用与延伸: 例9、如图，设A城市气象台测得台风中心，在A城正西方向300千米的B处，正向北偏东600的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域，那么A城是否受到这次台风的影响？为什么？如果你是气象员，请你算一算。,D,例10、如图，已知AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于 点O
15、，若AB=5，AC=7，BD=6,求BCD的度数,分析：AB=AD 点A在线段BD的中垂线上 同理点也在BD的中垂线上 ACBD且平分BD BD=6 BO=3 AB=5 由勾股定理得 AO=4 AC=7 OC=3BOC等腰直角三角形BCO=45 同理DCO=45 BCD=90,例11、如图，已知四边形ABCD中，B=90AB=4，BC=3,AD=12，DC=13 ，求四边形ABCD的面积,如图已知四边形ABCD中，A=60B=D=90， BC=3，CD=2，求AB2的值,例12、如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF， 过E、F分别作DEAC，BFAC，若AB=CD，请说明： 1、BD平分EF,图（1）,2、若将DEC的边EC沿AC方向移动变为图（2）时其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。,谢谢！再见,