1、图形的相似,1、了解比例的基本性质，黄金分割 2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方 3、了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件 4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小 5、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题 6、从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种基本变换,知识要点：,相似图形,定义,性质,相似三角形,定义,判定,性质,应用,画法,坐标,生活中我们会碰到许多这样形状相同的 大小不一定相同的图形， 在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：,相似
2、形,相似多边形的特征:对应边成比例,对应角相等,合比性质：,等比性质：,(1)比例基本性质,思考:如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?,试一试身手,1若 a:3=b:7, 则(a+3b):2b= ； 2若a=2，b=6，c=4，且a，b，c，d成比例，则d= ； 3若A1B1C1A2B2C2，对应高之比为n：m，则面积之比为 ； 4、 5若x:4=y:5=z:6,且3x+2y+z=56,则x为（ ）A 8 B 10 C 12 D 16,2.下列命题正确的是（ D ）,A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。 B. ABC的三边长为3，4，5. ABC的三边为 a+3,a+4,a+
3、5.则ABC ABC。 C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们的相似比为1. D.都有一内角为100的两个等腰三角形相似。,相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等 （2）相似三角形的周长比等于相似比 （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方 （4）相似
4、三角形的对应边上的高、中线、角 平分线的比等于相似比,一.填空、选择题: 1、如图，DEBC, AD:DB=2:3, 则 AED和 ABC的相似比为.,2:5,5,2cm,2、 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为_cm.,3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D, 使ABC BDC, 则DC=_.,4. 如图，ADE ACB,则DE:BC=_ 。 5. 如图，D是ABC一边BC上一点，连接AD,使 ABC DBA的条件是（ ）.A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:ADC. AB2=CDB
5、CD. AB2=BDBC 6. D、E分别为ABC 的AB、AC上 的点，且DEBC，DCB= A， 把每两个相似的三角形称为一组，那 么图中共有相似三角形_组。,1:3,D,4,A,B,E,D,C,二、证明题： 1. D为ABC中AB边上一点，ACD= ABC.求证：AC2=ADAB. 2. ABC中, BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.求证： MAD MEA AM2=MD ME,E,定义：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线,三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。,想一想 ：一个三角形有几条中位线？,梯形的中位线：梯形两
6、腰中点连线叫做梯 形的中位线,求梯形的比例问题时，可以利用化归思想，把梯形化归到三角形问题去解决,2、已知:ABC三边长分别为a,b,c,它的三条中位线组成DEF,DEF的三条中位线又组成HPN,则HPN的周长等于,为ABC周长的, 面积为ABC面积的,1、已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为cm,面积为cm2,为原三角形面积的。,B HPN(填“=”或“”),=,相似三角形的应用：,、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 、利用三角形相似，求线段的长等 、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建
7、筑物的高度等。,3、如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部。已知王华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB= x m。 （1）求两个路灯之间的距离； （2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？,解：,x,x,12,1.6,9.6,（1）由题得：,x,2x+12,=,1.6,9.6,解得：x = 3 m,两个路灯之间的距离是18 m,（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？,解：,1.6,9.6,18,x,设他的影子长为 x
8、m，则由题得：,x,18+x,=,1.6,9.6,解得 x = 3.6 m,他的影子长为 3.6 m,？,A,B,用实战来证明自己,2、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的 同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根 长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树 的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图）， 经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测 得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一 起算一下，树高为多少？,D,B,A,C,E,H,F,G,解：首先在图上标上字母，,过点C作CEAB，垂
9、足为E,根据题意，可得：,AECFGH,2.7m,2.7m,1.2m,1.2m,1m,0.9,AE,FG,=,CE,HG,AE,1,=,2.7,0.9,AE= 3 m,树高AB = 3 + 1.2 = 4.2 m,例3、如图，已知：ABDB于点B ，CDDB于点D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。,解（1）假设存在这样的点P，使ABPCDP,设PD=x，则PB=14x， 6：4=（14x）:x,则有AB:CD=PB:PD,x=5.6,P,（2）假设存在这
10、样的点P,使ABPPDC,则,则有AB:PD=PB:CD,设PD=x，则PB=14x， 6： x =（14x）: 4,x=2或x=12,x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似,4,6,x,14x,D,B,C,A,p,巩固提高： 在ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟BPQ与BAC相似？,分析：由于PBQ与ABC有公共角B；所以若PBQ与ABC相似，则有两种可能一种情况为 ,即PQAC;另一种情况为,
11、如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。,这个点叫做位似中心.,这时的相似比又称为位似比.,性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比,二、位似图形,两图形中对应边有何关系？对应角呢?这两个多边形相似吗？相似比是多少？,1任取一点O；,2以点O为端点作射线OA、OB、OC、；,3分别在射线OA、OB、OC、 上取点A、B、C、 ，使：OA:OA=OB:OB=OC:OC= =1.5;,4连接AB、BC、 ，得到所要画的多边形ABCDE.,要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图18.4.2，作直线OA、
12、OB、OC、OD，在点O的另一侧取点A、B、C、D，使OA OAOBOBOCOCODOD2，也可以得到放大到2倍的四边形ABCD,观察,观察下面三组图形，看看哪两个图形是位似图形， 并指出位似图形的位似中心,例2已知：如图，三角形AB C中，D 是AC的中点， AEBC，ED交AB 于点F、ED的延长线与BC的延长 线相交于点G,E,A,B,C,G,F,D,如图：在三角形ABC中，BA=BC=20CM，AC=30CM ，点P从A点出发，沿AB以每秒4CM的速度向B点运动 同时点Q从C 点出发，沿CA以每秒3CM的速度向A点运 动，设运动的时间为X （1）当X 何值时，PQBC？ （2）当SBCQ：SABC=1：3时，求SBPQ：SABC （3）APQ能否与CQB相似？若能，求出AP的长，若 不能，请说明理由。,A,B,P,Q,C,