1、第 1 页，共 15 页广东省 2019 届广州市天河区高三毕业班综合测试（一）理科数学试题（解析版）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 设集合 ， ，则 =|=2, =|210,()0 () (,+)C.若 ，则 ，()=3 ()=23=32则 ， ，则 ，不满足单调性(2)=614=32 (1)=312=32 (2)=(1)D. ，则 ，()=3 ()=2()=23则 ，()=2(2)3+232=(22)(2+3)当 时， ，此时函数为减函数，不满足条件 0)A，B ，M 为线段 AB 的中点，且 =322求椭圆的离心率；(1)四边形 ABCD 内接于椭圆， 记直线
2、AD，BC 的斜率分别为 、 ，求(2) /. 1 2证： 为定值12【答案】解： ， ，线段 AB 的中点(1)(2,0)(0,) (1,2).，=(2,) =(1,2).，解得 ， =322.2+22=322 =2 =1，=22=3椭圆的离心率 =32证明： 由 得椭圆的标准方程为 ， ， ，(2)(1)24+2=1 (2,0)(0,1)直线 BC 的方程为 ，联立 ，得 ，=2+1 =2+124+2=1 (1+422)2+82解得 ， ，即 ，=821+422=14221+422 (821+422,14221+422)直线 AD 的方程为 联立 ，=1(2). =1(2)24+2=1化为
3、 ，(1+421)21621+16214=0，解得 ， ， ，2=162141+421 =82121+421=411+421 (82121+421, 411+421)，=12化为 ，1162122+2122+81228221=0第 13 页，共 15 页，(1214)(41221+21+1)=0为定值12=14【解析】 ， ，线段 AB 的中点 从而 ， 由(1)(2,0)(0,) (1,2). =(2,) =(1,2).，求出 ， 由此能求出椭圆的离心率=322 =2 =1.椭圆的标准方程为 ， ， ，直线 BC 的方程为 ，联(2)24+2=1 (2,0)(0,1) =2+1立 ，得 ，直
4、线 AD 的方程为 联立 ，=2+124+2=1 (821+422,14221+422) =1(2). =1(2)24+2=1得 ，由此能证明 为定值(82121+421, 411+421) 12=14本题考查椭圆的离心率的求法，考查两线段的斜率乘积为定值的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题21. 设函数 ()=+2(2)若函数 在 处的切线与直线 垂直，求实数 a 的值；(1) () =1 +61=0讨论函数 的单调区间与极值；(2) ()若函数 有两个零点，求满足条件的最小整数 a 的值(3) ()【答案】解： ， (1)()=+2(
5、2)(0)，(1)=42函数 在 处的切线与直线 垂直， () =1 +61=0，解得 (42)(16)=1 =1，(2)()=+2(2)=(2)(+1)时， ，此时函数 在 内单调递增，无极值0 ()0 () (0,+)时，可得函数 在 内单调递减，在 内单调递增0 () (0,2) (2,+)可得 时，函数 取得极小值， =2 () (2)=2+24(2)2 =2+424由 可得： 时，函数 在 内单调递增，不可能有两个零点，舍去(3)(2) 0 () (0,+)时，可得 时，函数 取得极小值，0 =2 ()时， ； 时， 0+ ()0+ ()+因此极小值 (2)=2+424 0令函数 ，
6、在 上单调递增()=2+44 (0,+)第 14 页，共 15 页， ， ，可得 ，(2)=12 (3)=32140满足条件的最小整数 =3【解析】 ， ，根据函数 在 处(1)()=+2(2)(0).(1)=42 () =1的切线与直线 垂直，可得 ，解得 a+61=0 (42)(16)=1，对 a 分类讨论，即可得出单调性(2)()=(2)(+1)由 可得： 时，函数 在 内单调递增，不可能有两个零点，舍去(3)(2) 0 () (0,+)时，可得 时，函数 取得极小值，因此极小值 即可得出.0 =2 () (2)0设 ， 是上述方程的根，则 ， ， 1 2 1+2=2 12=4点 P 的
7、坐标为 ， (1,5)|+|=|12|=(1+2)2412=2+16=32【解析】 圆 C 的方程 l 转化为 ，由此能求出圆 C 的直角坐标方程(1) 2=25将直线 l 的参数方程为 代入 ，得 ，由(2) =1+22=5+22 2+(5)2=5 2+24=0此能求出 |+|本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查两线段和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题第 15 页，共 15 页23. 已知函数 ()=|1|+|+1|+2求不等式 的解集；(1) ()6若关于 x 的不等式 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围(2) ()22【答案】解：
8、 函数 ，(1)()=|1|+|+1|+2=2+2,14,112+2,1 不等式 可化为： ()6或 或 ，12+26 1146 12+26解得 或 ，2 2不等式 的解集为 或 ； ()6 |2 2，(2)()=|1|+|+1|+2|(1)(+1)|+2=4若关于 x 的不等式 在 R 上恒成立，()22则 ，224即 ，260解得 ，23实数 a 的取值范围是 23【解析】 由题意不等式 可化为 或 或 ，求(1) ()6 12+26 1146 12+26出不等式 的解集即可；()6求出函数 的最小值，把不等式 在 R 上恒成立，化为(2) () ()22，求出解集即可224本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题