1、第 1 页（共 17 页） 第 9 章 中心对称图形一、选择题1已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形其中正确的有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个2平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（ ）A梯形 B矩形C正方形 D不是平行四边形3菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm，则菱形的边长是（ ）A10cm B7cm C5cm D4cm4菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A对边平行 B对角相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直二、填空题5如图
2、，O 为矩形 ABCD 的对角线交点，DF 平分ADC 交 AC 于点 E，交 BC 于点 F，BDF=15 ，则COF= 6已知菱形的周长为 52，一条对角线长是 24，则另一条对角线长是 7菱形的两邻角的度数之比为 l：3，边长为 5 ，则高为 8如果四边形 ABCD 满足 条件，那么这个四边形的对角线 AC 和 BD 互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）三、解答题9如图，BC 是等腰三角形 BED 底边 DE 上的高，四边形 ABEC 是平行四边形判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由第 2 页（共 17 页）10如图，MNPQ，直线 l 分别交 MN、PQ 于点 A、C ，同旁内
3、角的平分线AB、CB 相交于点 B，AD、CD 相交于点 D试证明四边形 ABCD 是矩形11如图，在ABC 中， O 是边 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MNBC，设MN 交BCA 的平分线于点 E，交BCA 的外角平分线于点 F（1）求证：OE=OF ；（2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？12已知菱形 ABCD 的周长为 8cm，ABC=120 ，求 AC 和 BD 的长13如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 AE、AFAE与 AF 有什么关系？为什么？14如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，AC=6cm，BD=8cm，求
4、菱形的高AE第 3 页（共 17 页）15在宽为 6cm 的矩形纸带上，用菱形设计如图所示的图案，已知菱形的边长为 5cm，请你回答下列问题：（1）如果用 5 个这样的菱形设计图案，那么至少需要多长的纸带？（2）设菱形的个数为 x，请你用 x 的代数式表示所需的纸带长；（3）现有长 125cm 的纸带，要设计这样的图案，至多能有多少个菱形？第 4 页（共 17 页） 第 9 章 中心对称图形参考答案与试题解析一、选择题1已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形其
5、中正确的有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【考点】矩形的判定与性质【分析】根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数【解答】解：已知如图：（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有（1）和（4）故选 C【点评】本题考查了矩形的轴对称性以及矩形的性质和矩形的判定，准确掌握其性质和判定是解题的关
6、键2平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（ ）A梯形 B矩形第 5 页（共 17 页）C正方形 D不是平行四边形【考点】矩形的判定；平行四边形的性质【分析】作出图形，根据平行四边形的邻角互补以及角平分线的定义求出AEB=90，同理可求F、FGH、H 都是 90，再根据四个角都是直角的四边形是矩形解答【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，BAD+ABC=180，AE 、BE 分别是BAD 、ABC 的平分线，BAE+ABE= BAD+ ABC= 180=90，AEB=90，FEH=90，同理可求F=90，FGH=90，H=90，四边形 EFGH 是矩形故选 B【点评】本题考查了矩形的判定
7、，平行四边形的邻角互补，角平分线的定义，注意整体思想的利用3菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm，则菱形的边长是（ ）A10cm B7cm C5cm D4cm【考点】菱形的性质【分析】根据菱形的性质，可得到直角三角形，再利用勾股定理可求出边长【解答】解：菱形的对角线互相垂直平分，两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，菱形的边长= =5cm，第 6 页（共 17 页）故选 C【点评】本题主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及勾股定理的内容4菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A对边平行 B对角相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直【考点】矩形的性质；菱形的性质【分析】菱形
8、与矩形都是平行四边形，故平行四边形的性质二者都具有，因此A，B ，C 都不能选，对角线中二者不同的是：菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，故选 D 答案【解答】解；菱形与矩形都是平行四边形，A，B，C 是平行四边形的性质，二者都具有，故此三个选项都不正确，由于菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，故选：D【点评】此题主要考查了菱形及矩形的性质，关键是需要同学们熟记二者的性质二、填空题5如图，O 为矩形 ABCD 的对角线交点，DF 平分ADC 交 AC 于点 E，交 BC 于点 F，BDF=15 ，则COF= 75 【考点】矩形的性质【专题】推理填
9、空题【分析】根据 DF 平分ADC 与BDF=15可以计算出CDO=60，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得 OD=OC，从而得到OCD 是等边三角形，再证明COF 是等腰三角形，然后根据三角形内角和定理解答即可第 7 页（共 17 页）【解答】解：DF 平分ADC，CDF=45，CDF 是等腰直角三角形，CD=CF，BDF=15，CDO=CDF+BDF=45+15=60，在矩形 ABCD 中，OD=OC，OCD 是等边三角形，OC=CD， OCD=60，OC=CF， OCF=90OCD=90 60=30，在COF 中， COF= （ 18030）=75故答案为：75【点评】本题考查了矩形的
10、性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟记各性质并判断出OCD 是等边三角形是解决本题的关键6已知菱形的周长为 52，一条对角线长是 24，则另一条对角线长是 10 【考点】菱形的性质；勾股定理【分析】首先根据题意画出图形，即可得菱形的边长，又由菱形的性质，利用勾股定理，可求得 OB 的长，继而求得答案【解答】解：根据题意得：菱形 ABCD 的周长为 52，一条对角线长 AC=6，菱形的边长 AB=13，ACBD，OA= AC=12，OB= =5，BD=2OB=10，即另一条对角线的长为 10第 8 页（共 17 页）故答案为：10【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股
11、定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用7菱形的两邻角的度数之比为 l：3，边长为 5 ，则高为 5 【考点】菱形的性质；平行线的性质；勾股定理；等腰直角三角形【专题】计算题【分析】菱形 ABCD 的边长 BC=5 ，CE 为高， B：A=1：3，根据菱形的性质得 ADBC，则A+B=180，可计算出B=45，而 CE 为高，得到BCE 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得 CE= BC，把 BC=5 代入计算即可【解答】解：如图，菱形 ABCD 的边长 BC=5 ，CE 为高，B：A=1：3，ADBC，A+B=180，B+3B=180，B=45，而 CE 为高，BCE 为等腰直角
12、三角形，BC= CE，CE= BC= 5 =5故答案为：5第 9 页（共 17 页）【点评】本题考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且分别平分两组内角也考查了等腰直角三角形的判定与性质8如果四边形 ABCD 满足 四边形 ABCD 是菱形或正方形 条件，那么这个四边形的对角线 AC 和 BD 互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）【考点】正方形的性质；菱形的性质【专题】开放型【分析】符合对角线互相垂直的四边形有：菱形、正方形，选择一个即可【解答】解：根据四边形的性质可得到对角线互相垂直的有菱形和正方形，从而答案为：四边形 ABCD 是菱形或正方形【点
13、评】此题主要考查菱形和正方形的对角线的性质三、解答题9（2016 春天河区校级期中）如图，BC 是等腰三角形 BED 底边 DE 上的高，四边形 ABEC 是平行四边形判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由【考点】矩形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质可以证得 AB 与 CD 平行且相等，则四边形ABCD 是平行四边形，再证得对角线相等即可证得【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，理由：BC 是等腰 BED 底边 ED 上的高，第 10 页（共 17 页）EC=CD，四边形 ABEC 是平行四边形，ABCD，AB=CE=CD，AC=BE，四边形 ABCD
14、是平行四边形AC=BE，BE=BD，AC=BD，四边形 ABCD 是矩形【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，关键是掌握对角线相等的平行四边形是矩形10如图，MNPQ，直线 l 分别交 MN、PQ 于点 A、C ，同旁内角的平分线AB、CB 相交于点 B，AD、CD 相交于点 D试证明四边形 ABCD 是矩形【考点】矩形的判定【专题】证明题【分析】首先推出BAC= DCA，继而推出 ABCD；推出BCA=DAC，进而推出 ADCB，因此四边形 ABCD 平行四边形，再证明ABC=90，可得平行四边形 ABCD 是矩形【解答】证明：MNPQ ，MAC=ACQ、ACP= NAC ，
15、第 11 页（共 17 页）AB、CD 分别平分MAC 和ACQ，BAC= MAC、DCA= ACQ，又MAC=ACQ，BAC=DCA，ABCD，AD、CB 分别平分ACP 和NAC，BCA= ACP、DAC= NAC，又ACP= NAC，BCA=DAC，ADCB，又ABCD，四边形 ABCD 平行四边形，BAC= MAC，ACB= ACP，又MAC + ACP=180，BAC+ACB=90，ABC=90 ，平行四边形 ABCD 是矩形【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形11（2016 春 柘城县期中）如图，在ABC 中，O 是边 AC 上的一动点，过点
16、O 作直线 MNBC，设 MN 交BCA 的平分线于点 E，交BCA 的外角平分线于第 12 页（共 17 页）点 F（1）求证：OE=OF ；（2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？【考点】矩形的判定【分析】（1）根据 MNBC ，CE 平分ACB，CF 平分ACD 及等角对等边即可证得 OE=OF；（2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即 AO=CO，OE=OF ，故当点O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形【解答】（1）证明：MNBC ，CE 平分ACB，CF 平分ACD，BCE=ACE=OEC ，OCF=FCD=OFC，OE=OC，OC=OF，OE=
17、OF（2）解：当 O 运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形，AO=CO，OE=OF ，四边形 AECF 是平行四边形，ECA+ACF= BCD ，ECF=90，四边形 AECF 是矩形第 13 页（共 17 页）【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角为直角的平行四边形是矩形12已知菱形 ABCD 的周长为 8cm，ABC=120 ，求 AC 和 BD 的长【考点】菱形的性质【分析】根据菱形的四条边都相等求出边长 AB，再根据菱形的对角线平分一组对角线求出ABO=60，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 OB，然后利用勾股定理列式求出 OA，最后根据菱
18、形的对角线互相平分求解即可【解答】解：菱形 ABCD 的周长为 8cm，AB=84=2cm，ABC=120 ，ABO=60，菱形的对角线 ACBD，BAO=9060=30，OB= AB= 2=1cm，由勾股定理得，OA= = = cm，AC=2OA=2 cm，BD=2OB=2cm【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观13如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 AE、AFAE与 AF 有什么关系？为什么？第 14 页（共 17 页）【考点】菱形的性质【分析】根据菱形的性质可以得出
19、AB=BC=CD=AD， B=D ，进而就可以得出ABEADF，从而得出 AE=AF【解答】解：AE=AF理由：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=CD=AD，B= D， BC= E 、F 分别是 BC、CD 的中点，BE= BC，DF= CD，BE=DF 在ABE 和ADF 中ABEADF（SAS），AE=AF【点评】本题考查了菱形的性质的运用，线段的中点的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用菱形的性质证明三角形全等是关键14如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高AE第 15 页（共 17 页）【考点】菱形的性质【分析】根据菱形的
20、对角线互相垂直平分求出 OB、OC 的长度，再根据勾股定理求出菱形的边 BC 的长，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高两种方法列式求解即可【解答】解：在菱形 ABCD 中，AC=6m，BD=8cm ，OC= AC= 6=3cm，OB= BD= 8=4cm，ACBD（菱形的对角线互相垂直），BC=5cm，CD=BC=5cm，S 菱形 ABCD=CDAE= ACBD，即 5AE= 68，解得 AE=4.8cm【点评】本题考查了菱形的性质，主要涉及到菱形的对角线互相垂直平分，菱形的对角线平分一组对角，以及菱形的面积的求解，熟练掌握并灵活运用菱形的性质是解题的关键15在宽为 6cm 的矩
21、形纸带上，用菱形设计如图所示的图案，已知菱形的边长为 5cm，请你回答下列问题：（1）如果用 5 个这样的菱形设计图案，那么至少需要多长的纸带？第 16 页（共 17 页）（2）设菱形的个数为 x，请你用 x 的代数式表示所需的纸带长；（3）现有长 125cm 的纸带，要设计这样的图案，至多能有多少个菱形？【考点】菱形的性质【分析】（1）如图，根据菱形的性质和勾股定理可以求出 BO 的值，进而可以得出 BD 的值，依此类推可以得出两个菱形时纸袋的长度，三个菱形时纸带的长度进而得出 5 个菱形时的纸带长度；（2）根据 1 个菱形的长度为 42=8cm，2 个菱形的长度为 43=12cm3 个菱形
22、的长度为 44=16cm，就可以得出 x 个菱形的长度为 4（x +1）cm；（3）将 4（x+1）125 建立不等式求出其解，就可以得出结论【解答】解：（1）如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=CD=AD=5cm，AO=CO= AC=3cmBO=DO= BD，AOB=90 ，在 RtABO 中，由勾股定理，得BO= =4cm，BD=8cm，由图形得，2 个菱形时的长度为：8+4=12cm，3 个菱形时的长度为：12+4=16cm，4 个菱形时的长度为：16+4=20cm，5 个菱形时的长度为：20+4=24cm，5 个这样的菱形设计图案，那么至少需要 24cm 长的纸带；（2）由图象，得1 个菱形的长度为 8=42=4（1+1）cm，2 个菱形的长度为 12=43=4（2+1）cm，3 个菱形的长度为 16=44=4（3+1）cm，x 个菱形的长度为：4（x+1）cm，（3）由题意，得4（x +1）125，x30 ，第 17 页（共 17 页）x 为整数，x=30 答：长 125cm 的纸带，要设计这样的图案，至多能有 30 个菱形【点评】本题考查了菱形的性质的运用，勾股定理的运用，探索规律题的解题方法的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时运用菱形的性质求解是关键