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沪科版九年级下数学《24.3.1圆周角定理及推论》课件

1、,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,24.3 圆周角,第1课时 圆周角定理及推论,第24章 圆,学习目标,1. 理解圆周角的概念,会叙述并证明圆周角定理. 2. 理解圆周角与圆心角的关系,并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.(重点、难点) 3. 理解并掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. (难点),问题1 什么是圆心角?,顶点在圆心的角叫圆心角.,问题2 圆心角的度数与它所对弧的度数是什么关系?,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.,复习引入,导入新课,像A这样,顶点在圆上,并且两边都与圆还有另一个公 共点的角叫做圆周角.,一个三角形,当它内接于一个圆时,它的任一个角都与圆有着特殊

2、的位置关系.,观察图中的A,它 有什么特点?,观察与思考,讲授新课,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,判断:下列各图中的BAC是否为圆周角,并简述理由.,顶点不在圆上,顶点A不在圆上,边AC没有和圆相交,如图,连接BO,CO,得圆心角BOC.试猜想BAC与BOC存在怎样的数量关系?,观察与思考,你能证明吗?,圆心O 在BAC 的内部,圆心O在BAC 的一边上,圆心O在BAC 的外部,下面给出猜想的证明:以O上任一点A为顶点的圆周角,按圆心O与圆周角的位置关系,存在以下三种情况:,(1) 圆心O在BAC的一边上(特殊情形),OA=OC

3、,A= C,BOC= A+ C,(2) 圆心O在BAC的内部,(3) 圆心O在BAC的外部,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,O,知识要点,A,C,B,如图,点A、B、C、D在O上,点A与点D在点B、C 所在直线的同侧,BAC=35.,(1) BOC= ,理由是 .; (2) BDC= ,理由是.,70,35,同弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,练一练,典例精析,例1 如图,AB是O的直径,C,D为圆上两点,AOC130,则D等于 ( ),A25 B30 C35 D50,解析:AOC130,AOB180,BOC50,D25. 故选A.,A,问题1 如图,

4、OB,OC都是O的半径,点A ,D 是圆上任意两点,连接AB,AC,BD,CD.BAC与BDC相等吗?请说明理由.,D,BAC=BDC.,解:相等.理由如下:,合作探究,问题2 如图,若 A与B相等吗?,解:相等.,想一想:反过来,如果A=B,那么 成立吗?,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.,圆周角定理推论1,几何语言,知识要点,完成下列填空:1= .2= .3= .5= .,如图,点A、B、C、D在同一个圆上,AC、BD为四边形ABCD的对角线,,4,8,6,7,练一练,思考:如图,AC是O的直径,,则ADC = , ABC= .,90,90,推论2:

5、半圆或直径所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径.,例2 如图,AB为O的直径,弦CD交AB于点P,ACD = 60,ADC=70. 求APC的度数.,. O,A,D,C,P,B,解:连接BC,如图,则ACB=90,,DCB =ACBACD = 9060=30.,又BAD=DCB=30,,APC =BAD +ADC =30+70=100.,方法总结:在圆中,如果有直径,一般要找直径所对的圆周角,构造直角三角形解题,如图,BD是O的直径,CBD30,则A的度数为 ( )A30 B45 C60 D75,解析:BD是O的直径, BCD90. CBD30, D60, AD60. 故选C.,练一

6、练,C,例3 如图,O的直径AC为10cm,弦AD为6cm. (1) 求DC的长;,B,解:AC是O的直径,, ADC=90.,在RtADC中,,(2) 若ADC的平分线交O于B,求AB、BC的长,解: AC是O的直径, ABC=90. DB平分ADC,ADB=CDB. 又ACB=ADB ,BAC=BDC . BAC=ACB, AB=BC, ABC为等腰直角三角形.,方法总结:解答圆周角有关问题时,若题中出现“直径”这个条件,一般考虑构造直角三角形来求解.,1. 判断 (1)同一个圆中等弧所对的圆周角相等 ( ) (2)相等的弦所对的圆周角也相等 ( ) (3)同弦所对的圆周角相等 ( ),当

7、堂练习,2. 已知 ABC 的三个顶点在 O 上,BAC=50,ABC=47,则AOB= ,166,3. 如图,ABC的顶点A、B、C都在O上,C30 ,AB2,则O的半径是 .,C,A,B,O,2,4. 如图,已知BD是O的直径,O的弦ACBD于点E, 若AOD=60,则DBC的度数为 .,方法总结:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.,30,5. 如图,边长为 1 的小正方形构成的网格中,半径为1 的 O 的圆心 O 在格点上,则 AED 的正切值等于 .,ACB=2BAC.,证明:,6. 如图,OA,OB,OC 都是 O 的半

8、径,AOB =2BOC. 求证:ACB = 2BAC.,AOB=2BOC,,7. 如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E.(1) BD与CD的大小有什么关系?为什么?,AB是圆的直径,点D在圆上,,ADB=90,,ADBC.,又AB=AC, ABC为等腰三角形, BD=CD.,解:BD=CD. 理由如下:连接AD,如图.,O,(2) 求证: .,证明:, ABC为等腰三角形,ADBC, BAD=CAD.,O,8. 已知 O 的弦 AB 长等于 O 的半径,求此弦 AB 所对的圆周角的度数,解:分下面两种情况: 如图所示,连接OA,OB,在O上任取一点C, 连接CA

9、,CB. ABOAOB, AOB60, ACB1/2AOB30. 即弦AB所对的圆周角等于30.,如图所示,连接OA,OB,在劣弧上任取一点D, 连接AD,OD,BD,如图. 则BAD1/2BOD,ABD1/2AOD. BADABD1/2(BODAOD)1/2AOB. AB的长等于O的半径, AOB为等边三角形, AOB60. BADABD30, ADB180(BADABD) 150, 即弦AB所对的圆周角为150. 综上所述,弦AB所对的圆周角的度数是30或150.,课堂小结,圆 周 角,定义,定理,推论,1.顶点在圆上; 2.两边都与圆相交的角,二者必须同时具备,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,半圆或直径所对的圆周角是直角; 90的圆周角所对的弦是直径.,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.,