1、,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,24.5 三角形的内切圆,第24章 圆,1. 了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 2. 掌握三角形内心的性质并能加以应用. (重点) 3. 学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. (难点),导入新课,小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？,情境引入,讲授新课,若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？,观察与思考,最大的圆与三角形三边都相切,与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，,内切圆的圆心叫做三角形的内 心，,这个三角形叫做圆的外切三
2、角形.,I是ABC的内切圆，点I是ABC的内心，ABC是I的外切三角形.,知识要点,观察与思考,问题1 如图，若O与ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？,圆心O在ABC的平分线上.,N,C,O,M,A,B,C,O,A,B,问题2 如图，如果O与 ABC的内角ABC 的两边相切，且与内角ACB的两边也相切，那么此O的圆心在什么位置？,圆心O在ABC与ACB这两个角的平分线的交点上.,线段AO，BO ，CO 分别是BAC，ABC，ACB的平分线.,F,E,D,线段线段OD，OE， OF的长度相等，等于三角形内切圆的半径.,作法： 1. 作ABC，ACB的平分线BE，CF，设它们交于点O.
3、 2. 过点O作ODBC于点D. 3. 以点O为圆心、OD为半径作O.,则O即为所作.,问题3 现在你知道如何画ABC的内切圆了吗？,C,O,A,B,F,E,D,三角形内心的性质：,三角形的内心在三角形的角平分线上.,三角形的内心到三角形的三边距离相等.,知识要点,例1 如图，ABC中，ABC=43，ACB=61 ，点 I 是ABC的内心，求BIC的度数.,解：连接IB，IC.,A,B,C,I,点 I 是ABC的内心，, BI，CI 分别是ABC，ACB的平分线.,在IBC中，,典例精析,=180-,例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱
4、上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.,该木模可以抽象为如下所示的几何图形.,C,A,B,r,O,D,解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD，如图.,圆O是ABC的内切圆,AO、BO是BAC、ABC的角平分线，,ABC是等边三角形, OAB=OBA=30o.,ODAB，AB=3cm，,AD=BD= AB=1.5(cm).,OD=AD tan30o= (cm),答:圆柱底面圆的半径为 cm.,例3 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.,想
5、一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？,B,解:,设AF=xcm，则AE=xcm.,CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，BF=BD=AB-AF=13-x(cm).,由 BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，, AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.,方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.,解得 x=4.,B,比一比,三角形三边 垂直平分线的交点,1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部,三角形三条 角平分线的 交点,1.点O到三边的距离相等 2.AO、BO、CO分别平分BAC、ABC、ACB 3.内心在三角
6、形内部,1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.,解：如图，由题意可知BC=6cm, ABC=60，ODBC，BO平分ABC.,OBD=30，BD=3cm,OBD为直角三角形.,内切圆半径,外接圆半径,练一练,变式： 求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.,sinOBD = sin30=,2.设ABC的面积为S，周长为L， ABC内切圆 的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？,A,B,C,O,c,D,E,r,3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为_（以含a、b、c的代数式表示r）.,解析：如图，过点O分别作AC，
7、BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.,F,则AD=AC-DC=b-r,BE=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以,（3）若BIC=100 ，则A = 度.,当堂练习,（2）若A=80 ，则BIC = 度.,130,20,1.如图，在ABC中，点I是内心， （1）若ABC=50， ACB=70，BIC=_.,（4）试探索： A与BIC之间存在怎样的数量关系？,120,2.九章算术是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直
8、角三角形内切圆的直径是多少步”该问题的答案是_步,6,解析：先由勾股定理得出斜边的长，再根据公式求出该直角三角形内切圆的半径，即可得内切圆直径的长度.,3.如图，O与ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（ ） A点O是ABC的内心 B点O是ABC的外心 CABC是正三角形 DABC是等腰三角形,解析：过O作OMAB于M，ONBC于N，OQAC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，即点O是ABC的内心.故选.,4.如图，ABC中，I是内心，BAC的平分线和ABC的外接圆相交于点D. 求证：DIDB.,证明：连接BI. I
9、是ABC的内心， BAD=CAD，ABI=CBI. CBD=CAD， BAD=CBD， BID=BAD+ABI，IBD=CBI+CBD， BID=IBD， BD=ID,拓展提升： 直角三角形的两直角边分别是3cm ，4cm，试问： （1）它的外接圆半径是 cm；内切圆半径是 cm？ （2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围.,2.5,1,解：如图，设O与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D，连接OB、OD，则四边形BOCD为正方形.,OBBC3，,半径r的取值范围为0r3.,课堂小结,三角形内切圆,运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.,有关概念,内心概念及性质,应用,