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沪科版九年级下数学《24.5三角形的内切圆》课件

1、,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,24.5 三角形的内切圆,第24章 圆,1. 了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 2. 掌握三角形内心的性质并能加以应用. (重点) 3. 学会利用方程思想解决几何问题,体验数形结合思想. (难点),导入新课,小明在一家木料厂上班,工作之余想对厂里的三角形废料进行加工:裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢?,情境引入,讲授新课,若要使裁下的圆形最大,则它与三角形三边应有怎样的位置关系?,观察与思考,最大的圆与三角形三边都相切,与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,,内切圆的圆心叫做三角形的内 心,,这个三角形叫做圆的外切三

2、角形.,I是ABC的内切圆,点I是ABC的内心,ABC是I的外切三角形.,知识要点,观察与思考,问题1 如图,若O与ABC的两边相切,那么圆心O的位置有什么特点?,圆心O在ABC的平分线上.,N,C,O,M,A,B,C,O,A,B,问题2 如图,如果O与 ABC的内角ABC 的两边相切,且与内角ACB的两边也相切,那么此O的圆心在什么位置?,圆心O在ABC与ACB这两个角的平分线的交点上.,线段AO,BO ,CO 分别是BAC,ABC,ACB的平分线.,F,E,D,线段线段OD,OE, OF的长度相等,等于三角形内切圆的半径.,作法: 1. 作ABC,ACB的平分线BE,CF,设它们交于点O.

3、 2. 过点O作ODBC于点D. 3. 以点O为圆心、OD为半径作O.,则O即为所作.,问题3 现在你知道如何画ABC的内切圆了吗?,C,O,A,B,F,E,D,三角形内心的性质:,三角形的内心在三角形的角平分线上.,三角形的内心到三角形的三边距离相等.,知识要点,例1 如图,ABC中,ABC=43,ACB=61 ,点 I 是ABC的内心,求BIC的度数.,解:连接IB,IC.,A,B,C,I,点 I 是ABC的内心,, BI,CI 分别是ABC,ACB的平分线.,在IBC中,,典例精析,=180-,例2 如图,一个木模的上部是圆柱,下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱

4、上底面等边三角形的内切圆,已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm,求圆柱底面圆的半径.,该木模可以抽象为如下所示的几何图形.,C,A,B,r,O,D,解: 如图,设圆O切AB于点D,连接OA、OB、OD,如图.,圆O是ABC的内切圆,AO、BO是BAC、ABC的角平分线,,ABC是等边三角形, OAB=OBA=30o.,ODAB,AB=3cm,,AD=BD= AB=1.5(cm).,OD=AD tan30o= (cm),答:圆柱底面圆的半径为 cm.,例3 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=13cm,BC=14cm,CA=9cm,求AF、BD、CE的长.,想

5、一想:图中你能找出哪些相等的线段?理由是什么?,B,解:,设AF=xcm,则AE=xcm.,CE=CD=AC-AE=9-x(cm),BF=BD=AB-AF=13-x(cm).,由 BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14,, AF=4cm,BD=9cm,CE=5cm.,方法小结:关键是熟练运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程求解.,解得 x=4.,B,比一比,三角形三边 垂直平分线的交点,1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部,三角形三条 角平分线的 交点,1.点O到三边的距离相等 2.AO、BO、CO分别平分BAC、ABC、ACB 3.内心在三角

6、形内部,1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.,解:如图,由题意可知BC=6cm, ABC=60,ODBC,BO平分ABC.,OBD=30,BD=3cm,OBD为直角三角形.,内切圆半径,外接圆半径,练一练,变式: 求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.,sinOBD = sin30=,2.设ABC的面积为S,周长为L, ABC内切圆 的半径为r,则S,L与r之间存在怎样的数量关系?,A,B,C,O,c,D,E,r,3.如图,直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c,则其内切圆的半径r为_(以含a、b、c的代数式表示r).,解析:如图,过点O分别作AC,

7、BC,AB的垂线,垂足分别为D,E,F.,F,则AD=AC-DC=b-r,BE=BC-CE=a-r,因为AF=AD,BF=BE,AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以,(3)若BIC=100 ,则A = 度.,当堂练习,(2)若A=80 ,则BIC = 度.,130,20,1.如图,在ABC中,点I是内心, (1)若ABC=50, ACB=70,BIC=_.,(4)试探索: A与BIC之间存在怎样的数量关系?,120,2.九章算术是东方数学思想之源,该书中记载:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直

8、角三角形内切圆的直径是多少步”该问题的答案是_步,6,解析:先由勾股定理得出斜边的长,再根据公式求出该直角三角形内切圆的半径,即可得内切圆直径的长度.,3.如图,O与ABC的三条边所得的弦长相等,则下列说法正确的是( ) A点O是ABC的内心 B点O是ABC的外心 CABC是正三角形 DABC是等腰三角形,解析:过O作OMAB于M,ONBC于N,OQAC于Q,连接OK、OD、OF,根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN,根据勾股定理求出OM=ON=OQ,即点O是ABC的内心.故选.,4.如图,ABC中,I是内心,BAC的平分线和ABC的外接圆相交于点D. 求证:DIDB.,证明:连接BI. I

9、是ABC的内心, BAD=CAD,ABI=CBI. CBD=CAD, BAD=CBD, BID=BAD+ABI,IBD=CBI+CBD, BID=IBD, BD=ID,拓展提升: 直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问: (1)它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm? (2)若移动点O的位置,使O保持与ABC的边AC、BC都相切,求O的半径r的取值范围.,2.5,1,解:如图,设O与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BOCD为正方形.,OBBC3,,半径r的取值范围为0r3.,课堂小结,三角形内切圆,运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程求解.,有关概念,内心概念及性质,应用,