1、,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,24.7 弧长与扇形面积,第1课时 弧长与扇形面积,第24章 圆,学习目标,1. 理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2. 会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）,如图，在运动会的4100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？,怎样来计算弯道的“展直长度”？,因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.,导入新课,讲授新课,问题1 半径为R的圆,周长是多少？,问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?,观察与思考,(1) 圆心角是180，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的,(2)
2、圆心角是90，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的,(3) 圆心角是45，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的,(4) 圆心角是n，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的,注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义n表示1圆心角的倍数，它是不带单位的.,算一算 已知弧所对的圆心角为60，半径是4，则弧长为,知识要点,弧长公式,解：设半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的度数为n，则,解得 n90.,因此，滑轮旋转的角度约为90.,例1 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径 R =10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转多少度（假设绳索与
3、滑轮之间没有滑动， 取3.14）？,典例精析,例2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法. 如图，点 S 和点 A 分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里(1 希腊里158.5 m). 当太阳光线在塞伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离 直射方向的角为.实际测得是7.2， 由此估算出了地球的周长，你能 进行计算吗？,解：太阳光线可看作平行的，圆心角AOS=7.2.,设地球的周长为C，则,答：地球的周长约为39625km.,=250000 (希腊里) 39625 (km).,制造弯形管道
4、时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm),解：由弧长公式，可得弧AB的长,因此所要求的展直长度l =2700+1570 =2970 (mm).,答：管道的展直长度为2970mm,练一练,圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.,O,B,A,圆心角,概念学习,判断：下列图形是扇形吗？,练一练,合作探究,问题1 半径为r的圆,面积是多少？,问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?,=,半径为r的圆中，圆心角为n的扇形的面积,公式中n的意义n表示1圆心角的
5、倍数，它是不带单位的；公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.,知识要点,_大小不变时，对应的扇形面积与 _ 有关， _ 越长，面积越大.,圆心角,半径,半径,圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.,圆心角,半径,圆心角,总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.,问题 扇形的面积与哪些因素有关？,问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？,想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？,例3 如图，圆心角为60的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）,解：n=60，r=10cm， 扇形的面积为,扇形的周长为,1. 已知半径为2cm的扇形，其弧长为
6、，则这个扇形的面积S扇= ,2. 已知扇形的圆心角为120，半径为2，则这个扇形的面积S扇= .,练一练,例4 如图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在O上，AC=CD，ACD=120 （1）求证：CD是O的切线；,证明：连接OC，如图 AC=CD，ACD=120， A=D=30 OA=OC， ACO=A=30 OCD=180-A-D-ACO=90即OCCD， CD是O的切线,（2）若O的半径为2，求图中阴影部分的面积,解：A=30，COB=2A=60，,在RtOCD中，,例5 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.0
7、1cm）,讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？,阴影部分.,D,(2),(3),(2) 水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？,线段DC. 过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.,(3) 要求图中阴影部分面积，应该怎么办？,阴影部分面积 = 扇形OAB的面积 - OAB 的面积,解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C，连接AC., OC0.6，DC0.3，, ODOC- DC0.3，, ODDC.,又 AD DC，, AD是线段OC的垂直平分线，, ACAOOC.,从而 AOD60，AOB=120.,有水部分的面积：,S
8、=S扇形OAB - SOAB,弓形的面积=扇形的面积三角形的面积,S弓形=S扇形-S三角形,S弓形=S扇形+S三角形,知识要点,弓形的面积公式,当堂练习,C,3.如图，A、B、 C、 D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 .,解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120的扇形弧长与两个半径为 ，圆心角为90的扇形弧长之和，即,4.如图，RtABC的边BC位于直线l上，AC ，ACB90，A30.若RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为_(结果用含的式子表示),5. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6
9、cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.,A,B,D,C,E,解：,6. 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到ABC的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.,解：由图可知，由于ACB=60，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120，即ACA =120，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA 的长. 等边三角形ABC的边长为10cm， 弧AA 所在圆的半径为10cm. l弧AA,答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为,课堂小结,弧长,扇形,定义,公式,阴影部分面积 求法：整体思想,弓形,公式,S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形,割补法,公式,