1、,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,24.6 正多边形与圆,第2课时 正多边形的性质,第24章 圆,1. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概 念.（重点） 2. 掌握正多边形的性质并能加以应用.（难点）,导入新课,问题1 什么是正多边形？,问题2 如何作出正多边形？,各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形.,将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外切正n变形.,复习引入,讲授新课,O,A,B,C,D,问题1 以正方形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？,E,F,G,H,EF是边AB、CD的垂直平分线，OA=OB，OD=OC. GH是边AD、BC的垂直平分线，OA=OD
2、；OB=OC. OA=OB=OC=OD.,正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.,观察与思考,O,A,B,C,D,E,F,G,H,AC是DAB和DCB的平分线，BD是ABC和ADC的平分线，,OE=OH=OF=OG.,正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.,所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？,任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.,想一想：,O,A,B,C,D,E,F,G,H,R,r,正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.,外接圆的半径叫作正多边形的半径.,内切圆的半径叫作正多边形的边心距.,知识要点,正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形 的
3、中心角.正多边形的每个中心角都等于 .,60 ,120 ,120 ,90 ,90 ,90 ,120 ,60 ,60 ,正多边形的外角=中心角,完成下面的表格：,练一练,如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF： 它的中心角等于 度 ； OC BC (填、或）； OBC是 三角形； 圆内接正六边形的面积是OBC面积的 倍. 圆内接正n边形面积公 式：_.,C,D,O,B,E,F,A,P,60,=,等边,6,探究归纳,S正多边形=周长边心距/2,例1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).,C,D,O,E,F,A,P,抽象成,典例精析,B,
4、利用勾股定理，可得边心距,亭子地基的面积,在RtOMB中，OB4，MB,4m,O,A,B,C,D,E,F,解：过点O作OMBC于M.,例2 求边长为a的正六边形的周长和面积.,解：如图，过正六边形的中心O作OGBC，垂足为G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为l和S.,G, 多边形ABCDEF为正六边形，, BOC=60，BOC是等边三角形., l=6BC=6a.,在BOC中，有,(1) 正n边形的中心角怎么计算？,(2) 正n边形的边长a，半径R，边 心距r之间有什么关系？,a,R,r,(3) 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？,其中l为正n边形的周长.,想一想：,如图，
5、正五边形ABCDE内接于O，则ADE的度数是 （ ）A60 B45 C 36 D 30,练一练,C,2. 作边心距，构造直角三角形.,1. 连半径，得中心角；,圆内接正多边形的辅助线,画一画：画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？,正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都通过正多边形的中心.如果n为偶数，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.,要点归纳,例3 如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线 (1) 在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由； (2) 两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点
6、P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积,(1) 在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；,解：连接BF，CE，则有BFAG，CEAG,理由如下：,ABCDEFGH是正八边形，,它的内角都为135,又HA=HG，HAG=22.5.,GAB=135-HAG=112.5,正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，,即BAG+ABF=180，故BFAG,同理，可得CEBF，,CEAG.,P,N,M,Q,解：由题意可知PHA=PAH=45， P=90，同理可得Q=M=90， 四边形PQMN是矩形,PHA=PAH=QBC=QCB= MDE=MED
7、=45，AH=BC=DE，,PAHQCBMDE， PA=QB=QC=MD 即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形,(2) 两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积,在RtPAH中， PAH=45，AB=2，,故S四边形PQMN =,2. 若正多边形的边心距与半径的比为12，则这个正多边形的边数是 .,当堂练习,1. 填表：,2,1,2,8,4,2,2,12,3,4. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要 cm.,也就是要找这个正方形外接圆的直径,3. 如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看 作为正
8、七边形，则一个内角为 度.（不取近 似值）,5.如图，四边形ABCD是O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求O的面积,解：正方形的面积等于4，,则半径为,O的面积为,正方形的边长AB=2.,6.如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点，则点P到各边距离之和是多少？,点P到各边距离之和=3BD=36=18,解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CGBD于G.,G,H,K,P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和，均为HK的长.,六边形ABCDEF是正六边形 ABDE，AFCD，BCEF，,BC=CD，BCD=ABC=CDE=120，,CBD=BDC=30，BDHK，且BD=HK.,CGBD，,BD=2BG=2BCcosCBD=6.,G,拓广探索 7.如图,M,N分别是O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN. (1)图中MON=_;图中MON= ;图中MON= ; (2)试探究MON的度数与正n边形的边数n的关系.,.,A,B,C,M,N,M,N,M,N,O,O,O,90,72,120,图,图,图,课堂小结,正多边形的性质,正多边形的 有关概念,正多边形的 有关计算,添加辅助线的方法： 连半径，作边心距,中心,半径,边心距,中心角,正多边形的对称性,