1、,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,24.4 直线与圆的位置关系,第2课时 切线的性质和判定,第24章 圆,学习目标,1. 会判定一条直线是否是圆的切线，并会过圆上一点作圆的切线. 2. 理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理.（重点） 3. 能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题. （难点）,导入新课,情境引入,转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？,都是沿切线方向飞出的.,生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为圆的切线呢？学完这节课，你就都会明白.,如图，如果直线 l 是 O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？如何证明？,
2、观察与思考,讲授新课,证明：当直线 l与O相切时，切点为A，连接OA. 这时，如在直线l上任取一个不同于点A的点B，连接OB， 因为点B在O外，所以OB OA. 这就是说，OA是点O到直线 l上任一点连线中最短的， 故OAl.于是我们可以得到： 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径.,B,A,O,l,直线l是O 的切线，A是切点，,直线l OA.,切线性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径,应用格式：,知识要点,如图，在O中，OA、OB为半径，直线MN与O相切于点B，若ABN=30，则AOB= .,60,练一练,典例精析,例1 如图，点 O 是 BAC 的边 AC 上的一点，O 与边 AB 相
3、切于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是O 上一点，且EPD 35，则 BAC 的度数为 ( ),A20 B35 C55 D70,解析：连接OD，如图. O与边AB相切于点D，ODAD，ADO90. EPD35，EOD2EPD70，BAC90EOD20.故选A.,A,例2 如图，PA为O的切线，A为切点直线PO与O交于 B、C 两点，P30，连接AO、AB、AC. (1) 求证：ACBAPO；,在ACB和APO中， BACOAP，ABAO，ABOAOB， ACBAPO.,证明：PA为O的切线，A为切点，,又P30，OA，OB为半径， AOB60，AOB为等边三角形 ABAO，ABO
4、60.,又BC为O的直径， BAC90.,OAP90.,(2) 若AP ，求O的半径, AO1， 即O的半径为1.,解：在RtAOP中，P30，AP ，,A,B,C,已知O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点 A作O的切线？,作法：1. 连接OA.2. 过点 A 作直线 BCOA.则直线 BC 即为所作.,O,观察与思考,为什么直线BC即为所作呢？,经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线., OA为O的半径，,BC OA于A，, BC为O的切线.,B,C,切线的判定定理,应用格式,O,知识要点,利用切线判定定理，判断下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明理由.,(1) 不是，因为没
5、有垂直.,(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点.,练一练,判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：,1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.,2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径 (即 d = r) 时，直线与 圆相切.,3. 判定定理：经过半径外端且垂直 于这条半径的直线是圆的切线.,知识要点,例3 如图,ABC=45，AB是O的直径，AB=AC. 求证：AC是O的切线.,提示：直线AC经过半径的一端，因此只要证AB垂直于AC即可.,证明：AB =AC，ABC =45，,ACB =ABC =45.,BAC =180-ABC-ACB =90.,AB是O
6、的直径，, AC是O的切线.,例4 已知：直线 AB 经过 O 上的点 C，并且OA=OB，CA = CB. 求证：直线AB是O的切线.,O,B,C,提示：由于AB过O上的点C，所以连接OC，只要证明OCAB即可.,证明：连接OC，如图. OAOB，CACB， OAB是等腰三角形，OCAB. OC是O的半径, AB是O的切线.,例5 如图，ABC 中，AB AC ，O 是 BC 的中点， O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是O 的切线,B,O,C,E,A,提示：根据切线的判定定理，要证明AC是O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是O的半径就可以了，而OE是O的半径，因此只需要证明
7、OF=OE.,证明：连接OE ，OA，过O 作OF AC，如图., O 与AB 相切于E，OE AB.,又ABC 中，AB AC ，O 是BC 的中点,AO 平分BAC.,F,B,O,C,E,A, OE OF., AC 是O 的切线,又 OE AB ，OFAC.,OE为O 半径， OF为O 半径.,如图，已知直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB. 求证：直线AB是O的切线.,C,B,A,O,如图，OAOB=5，AB8， O的直径为6. 求证：直线AB是O的切线.,B,A,O,通过对比，你能得出什么结论？,作垂直,连接,方法归纳,(1) 有交点，连半径，证垂直 (如：例4)；(2) 无
8、交点，作垂直，证半径 (如：例5).,证切线时辅助线的添加方法,有切线时常用辅助线添加方法,见切点，连半径，得垂直 (如：例1).,要点归纳,当堂练习,1. 判断下列命题是否正确.(1) 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）(2) 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）(3) 过直径的外端点并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ）(4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）(5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）,3. 如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，BCD =120，过 D 点的切线 PD 与直线AB 交于点P，则 ADP 的度数为 （ ）
9、A40 B35 C30 D45,2. 如图，A 是O上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP = 12，则 PA 与O 的位置关系是 .,相切,C,P,O,第3题图,D,A,B,C,4. 如图，O切PB于点B，PB=4，PA=2，则O的半径多少？,P,B,A,解：连接OB，如图.则OBP=90.,设O的半径为r，则 OA=OB=r，OP=OA+PA=r +2.,在RtOBP中，,OB2 + PB2=PO2， 即r2 + 42= (2+r)2.,解得 r=3，,即O的半径为3.,5. 如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交边BC于P， PEAC于E. 求证：PE是O的切线.,证明
10、：连接OP，如图. AB=AC，B=C. OB=OP，B=OPB， OPB=C. OPAC. PEAC， PEOP. PE为O的切线.,6. 如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心，OA 长为半径的 O 与 BC 相切于点 M.求证：CD 与O相切.,证明：连接OM，过点O作ONCD于点N，如图. O与BC相切于点M， OMBC. 又ONCD，O为正方形ABCD 对角线 AC 上一点， OMON， CD与O相切,M,N,7. 已知：ABC内接于O，过点A作直线EF.(1) 如图1，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： _ ； _ .
11、(2) 如图2，AB是非直径的弦，CAE=B，求证：EF是O的切线.,BAEF,CAE=B,证明：如图，连接AO并延长交O于D，连接CD，则AD为O的直径. D + DAC=90 ， = ， D= B. 又 CAE= B， D= CAE， CAE+ DAC=90， 即ADEF， EF是O的切线.,D,课堂小结,切线的 判定方法,定义法,数量关系法,判定定理,1个公共点，则相切,d=r，则相切,经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,切线的 性质,证切线时常用辅助线添加方法： 有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径.,有1个公共点,d=r,性质定理,圆的切线垂直于经过切点的半径,有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直.,