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2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类:解析几何

1、十三、直线与圆的方程(一)试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法2018南通泰州期末13 填 空 直线与圆的位置关系2018无锡期末10 填 空 直线与圆的位置关系2018镇江期末11 填 空 圆的标准方程2018南京盐城期末12 填 空 直线与圆的位置关系数形结合2018苏州期末11 填 空 圆的标准方程2018苏北四市期末12 填 空 圆的标准方程、对称性(二)试题解析1.(2018南通泰州期末13)在平面直角坐标系 中,已知点 , ,从直线 上一点 向圆xOy(4,0)A(,)BABP引两条切线 , ,切点分别为 , .设线段 的中点为 ,则线24xyPCDCDM段 长的最

2、大值为 .AM【答案】 322.(2018 无锡期末10)过圆 内一点 作两条相互垂直的弦 和 ,且 ,则四边216xy(2,3)PABCD形 的面积为 ACBD【答案】19 3.(2018 镇江期末11)已知圆 C 与圆 x2 y 2 10x 10 y 0 相切于原点,且过点 A(0,6) ,则圆 C 的标准方程为 【答案】(x+ 3)2 ( y+3) 2 4.(2018 南京盐城期末12). 在平面直角坐标系 中,若直线 上存在一点 ,圆 上存xOy(3)ykxP22(1)xy在一点 ,满足 ,则实数 的最小值为 Q3P【答案】 7.(2018 苏州期末11)在平面直角坐标系 xOy 中,

3、已知过点 的圆 和直线 x y 1 相切,且圆心在直线 (2,1)ACy 2x 上,则圆 C 的标准方程为 【答案】 22(1)()y8.(2018 苏北四市期末12)在平面直角坐标系 中,若圆 上存在点 ,且点 关于直线xO1: 22()(0)xyrP的对称点 在圆 上,则 的取值范围是 0xyQ2C: ()1【答案】 21,十四、圆锥曲线(一)试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法2018南通泰州期末1 填 空 集合的运算2018无锡期末1 填 空 集合的运算2018镇江期末1 填 空 集合的运算2018扬州期末1 填 空 集合的运算2018常州期末1 填 空 集合的运算20

4、18南京盐城期末1 填 空 集合的运算2018苏州期末22018苏北四市期末1(二)试题解析1.(2018南通泰州期末7)在平面直角坐标系 中,已知点 为抛物线 的焦点,则点 到双曲线xOyF28yxF的渐近线的距离为 .2169xy【答案】 52.(2018 无锡期末11)已知双曲线 与椭圆 的焦点重合,离心率互为倒数,2:1(0,)xyCab216xy设 分别为双曲线 的左,右焦点, 为右支上任意一点,则 的最小值为 12,FP21PF【答案】83.(2018 镇江期末5)已知双曲线 左焦点与抛物线 的焦点重合,则双曲线的右准线方12yax xy12程为 【答案】83x4.(2018 扬州

5、期末10)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线与圆 x2+y2-2xy6y+5=0 没有焦点,则双曲线离心率的取值范围是_.【答案】 3(1,)25.(2018 常州期末9)在平面直角坐标系 中,设直线 与双曲线 的两条xOy:10lxy2:1(0,)xyCab渐近线都相交且交点都在 y 轴左侧,则双曲线 C 的离心率 的取值范围是 e【答案】 (1,2)6.(2018 南京盐城期末6 ). 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合,则实数 的值为 2ypx2145xyp【答案】67.(2018 苏州期末3)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 的焦点坐标为 2

6、8yx【答案】 (2,0)8.(2018 苏北四市期末6 )在平面直角坐标系 中,已知双曲线 的一条渐近线方程为xOy21(0,)xyab,则该双曲线的离心率为 20xy【答案】 5十五、解析几何综合题(一)试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法2018南通泰州期末17 解 答 2018无锡期末18 解 答 2018镇江期末18 解 答 2018扬州期末18 解 答 2018常州期末18 解 答 2018南京盐城期末18 解 答 2018苏州期末18 解 答 2018苏北四市期末18 解 答 (二)试题解析1.(2018南通泰州期末17)如图,在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的离

7、心率为 ,两xOy21xyab(0)2条准线之间的距离为 .42(1)求椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的左顶点为 ,点 在圆 上,直线 与椭圆相交于另一点AM289xyAM,且 的面积是 的面积的 倍,求直线 的方程. BAOB【答案】 【解】 (1)设椭圆的焦距为 ,由题意得, ,2c2ca42c解得 , ,所以 .2acb所以椭圆的方程为 .214xy(2)方法一:因为 ,AOBMS所以 ,B所以点 为 的中点.M因为椭圆的方程为 ,214xy所以 .(,0)A设 ,则 .xy00(2,)Bxy所以 , ,208922(14由得 ,2091860x解得 , (舍去).030把 代入,得 ,

8、02x023y所以 ,1ABk因此,直线 的方程为 即 , .1(2)yx20y20xy方法二:因为 ,所以 ,所以点 为 的中点.2AOBMSABMAB设直线 的方程为 .()ykx由 得 ,21,4()xyk22()840kxk所以 ,解得 ,22()1)40x21Bkx所以 , ,2(BMk2()Mykk代入 得 ,289xy2248()()19k化简得 ,420k即 ,解得 ,22(7)112k所以,直线 的方程为 即 , .AB()yx20y20xy2.(2018无锡期末18)已知椭圆 的离心率为 , 分别为左,右焦点,2:1(0,)xyEab212,F分别为左,右顶点,原点 到直线

9、 的距离为 .设点 在第一象限,且,ABOBD63P轴,连接 交椭圆于点 .PxPAC(1 )求椭圆 的方程;E(2 )若三角形 的面积等于四边形 的面积,求直线 的方程;ABCOBPCPA(3 )求过点 的圆方程(结果用 表示).,Pt【答案】解:(1)因为椭圆 的离心率为 ,2:1(0)xyEab2所以 , ,2acb所以直线 的方程为 ,DB2yxb又 到直线 的距离为 ,所以 ,OBD636312b所以 , ,1b2a所以椭圆 的方程为 .E21xy(2 )设 , ,(,)Pt0直线 的方程为 ,A(2)tyx由 ,整理得 ,21(2)xty22(4)80txt解得: ,则点 的坐标是

10、 ,24CtxC24(,)t因为三角形 的面积等于四边形 的面积,所以三角形 的面积等于三角形ABOBPAOC的面积,P,2214AOCttS,322()4PBttt则 ,解得 .324ttt所以直线 的方程为 .PA20xy(3 )因为 , , ,(,0)B(,)t244(,)tC所以 的垂直平分线 ,2y的垂直平分线为 ,C4ttx所以过 三点的圆的圆心为 ,,BCP28(,)4tt则过 三点的圆方程为 ,,222()()ttxy42()tt即所求圆方程为 .2284txy2804t3.(2018 镇江期末18)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 的离心率)0(1:2bayxE为

11、 ,左焦点 F (2,0) ,直线 l : y t 与椭圆交于 A, B 两点,M 为椭圆上异于 A, 2B 的点.(1)求椭圆 E 的方程;(2)若 ,以 AB 为直径的圆 P 过 M 点,求圆 P 的标准方程;1,6M(3)设直线 MA, MB 与 y 轴分别交于 C, D ,证明: OC OD 为定值.【答案】 (1)因为 ,且 ,所以 ,2ceac2,ab所以椭圆 E 的方程为 .2184xy(2)设 ,则 ,且 (,)Ast(,)Bst28t因为以 AB 为直径的圆 P 过 M 点,所以 ,所以AB0MA又 ,所以 (6,1)(6,1)MAstBst226(1)st由解得: ,或 (

12、舍) ,所以 .32709s又圆 P 的圆心为 AB 的中点 ,半径为 ,(0,)tAB所以圆 P 的标准方程为 .2213xy(3)设 M ,则 的方程为 ,若 k 不存在,显然不符合条件.0(,)xyMAl 00()tyxs令 得 ;同理0ctsx0Dt所以22000cDtytxstxsyOCys为定值.2222000(8)()84ttty4.(2018 扬州期末18)已知椭圆 E1: + =1(ab0) ,若椭圆 E2: + =1(ab0,m1) ,则称2xyx2y椭圆 E2 与椭圆 E1“相似”.(1) 求经过点( ,1),且与椭圆 E1: +y2=1“相似”的椭圆 E2 的方程;x(

13、2) 若 m=4,椭圆 E1 的离心率为 ,P 在椭圆 E2 上,过 P 的直线 交椭圆 E1 于 A,B 两点,且 ,=若 B 的坐标为 (0,2),且 ,求直线 l 的方程;=2若直线 OP,OA 的斜率之积为 ,求实数 的值.1【答案】解:设椭圆 的方程为 ,代入点 得 ,2E21xym(2,1)m所以椭圆 的方程为 3 分24xy因为椭圆 的离心率为 ,故 ,所以椭圆1E22ab221:Exyb又椭圆 与椭圆 “相似” ,且 ,所以椭圆 ,2m8设 ,120(,)(,)(,)AxyBPxy方法一:由题意得 ,所以椭圆 ,将直线 ,b21:Exy:2lykx代入椭圆 得 ,21:8E()

14、80k解得 ,故 ,2,0kxx214,yy所以 5 分2284(,)1A又 ,即 为 中点,所以 , 6 分PBAP2281(,)k代入椭圆 得 ,2:3Exy22()31kk即 ,即 ,所以4200k001所以直线 的方程为 8 分l321yx方法二:由题意得 ,所以椭圆 ,b21:8Ey2:3Exy设 ,则 ,(,)0,2AxB(,4)P代入椭圆得 ,解得 ,故 6 分228(4)3xy12y302x所以 ,301k所以直线 的方程为 8 分l 2yx方法一: 由题意得 ,2222018,bybxyb,即 ,01yx1xy,则 ,解得 12 分APB0121(,)(,)xy012()xy

15、所以 220101()()xyb则 22 22001100114()()xyyb22()()xyyx所以 ,即 ,所以 .16 分2228bb()5方法二:不妨设点 在第一象限,设直线 ,代入椭圆 ,P:0OPykx22:8Exyb解得 ,则 ,021xk021y直线 的斜率之积为 ,则直线 ,代入椭圆 ,,OA1:Ayxk221:xyb解得 ,则12bkx12byk,则 ,解得 ,APB0121(,)(,)xxy012()xy所以 220101)()yb则 22 2200110011)4()xxxyyb22()( )yyx所以,2 2222228(1)()(111bkbkb b 即 ,即 ,

16、所以24(55.(2018 常州期末18)如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 的右焦点为 ,点 是xOy)0(1:2bayxCFA椭圆的左顶点,过原点的直线 与椭圆交于 两点( 在第三象限) ,与椭圆的右准MNN,M线交于 点已知 ,且 PA243Ab(1)求椭圆 的离心率 ; Ce(2)若 ,求椭圆 的标准方程103AMNPOFSaC【答案】解:(1)由题意 ,消去 y 得 ,解得2221()()xyba220cxab,212abxc, 所以 , , ,所以 ;(,0)M2243MAabOxcca32e(2)由(1) ,右准线方程为 ,2(,)3bx直线 的方程为 ,所以 ,Nyx436(,)

17、Pb, ,21346=2POFPSb 2243AMNOMSAybb所以 , ,所以 ,210+a203b2,ba椭圆 的标准方程为 C8yx6.(2018 南京盐城期末18). 如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 的下顶点为 ,点xOy2:1(0)xyCabB是椭圆上异于点 的动点,直线 分别与 轴交于点 ,且点 是,MNB,MBNx,PQ线段 的中点当点 运动到点 处时,点 的坐标为 OPN3()223()(1 )求椭圆 的标准方程;C(2 )设直线 交 轴于点 ,当点 均在 轴右侧,且 时,求MNyD,MNy2DNM直线 的方程B【答案】解:(1)由 ,得直线 的方程为 32(,)(,0)N

18、QNQ32yx2 分令 ,得点 的坐标为 0xB,所以椭圆的方程为 213xya4 分将点 的坐标 代入,得 ,解得 N(,)2223()1a24a所以椭圆 的标准方程为 C143xy8 分(2 )方法一:设直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 BM(0)kBM3ykx在 中,令 ,得 ,而点 是线段 的中点,所以3ykxyPxQOP2Q所以直线 的斜率 BN0(3)2BNQkk10 分联立 ,消去 ,得 ,解得 2314ykxy2(34)830kxk2834Mkx用 代 ,得 k26Nx12 分xyOBNMPQD第 18 题图又 ,所以 ,得 2DNM2()NMNxx23MNx14 分故 ,又

19、 ,解得 22831634kk06k所以直线 的方程为 Byx16 分方法二:设点 的坐标分别为 ,MN12(,),y由 ,得直线 的方程为 ,令 ,得(03)13x0y1Pxy同理,得 23Qxy而点 是线段 的中点,所以 ,故 OP2PQx1233xy10 分又 ,所以 ,得 ,从而 ,2DNM212()x2103x1243y解得 2143y12 分将 代入到椭圆 C 的方程中,得 2134xy 221(43)197xy又 ,所以 ,即 ,2211()3x21214()(3)397y21330y解得 (舍)或 又 ,所以点 的坐标y110xM为 14 分42(,)3M故直线 的方程为 B6

20、32yx16 分7.(2018 苏州期末18)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 的离心率为 ,椭圆上动2:1(0)xyCab2点 到一个焦点的距离的最小值P为 3(21)(1 )求椭圆 C 的标准方程;(2 )已知过点 的动直线 l 与椭圆 C(0,)M交于 A,B 两点,试判断以 AB 为直径的圆是否恒过定点,并说明理由【答案】解(1)由题意 ,故 , 1 分2cac又椭圆上动点 到一个焦点的距离的最小值为 ,所以 ,P3(21)32ac2 分解得 , ,所以 , 4 分3c2229bc所以椭圆 C 的标准方程为 .6 分18xy(2 )当直线 l 的斜率为 0 时,令 ,则 ,4x此时以

21、 AB 为直径的圆的方程为 7 分2()6当直线 l 的斜率不存在时,以 AB 为直径的圆的方程为 , 8 分29y联立 解得 ,即两圆过点 2(1)6,9xy0,3xy(0,3)T猜想以 AB 为直径的圆恒过定点 9 分()T对一般情况证明如下:设过点 的直线 l 的方程为 与椭圆 C 交于 ,(0,1)M1ykx12(,)()AxyB则 整理得 ,28,ykx2()460所以 12 分11224xk(注:如果不猜想,直接写出上面的联立方程、韦达定理,正确的给 3 分)因为 121212(,3)(,)3()9TAByxyy2()xkx 12124()6kxkx,22660k所以 所以存在 以

22、 AB 为直 径的圆恒过定点 T,且定点 T 的坐标为 16 分(,3)8.(2018 苏北四市期末18)OyxBAM如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 的离心率为 ,且21(0)xyab12过点 . 为椭圆的右焦点, 为椭 圆上关于原点对称的两点,连接 分312(, )F,AB,AFB别交椭圆于 两点.,CD求椭圆的标准方程;若 ,求 的值;AB设直线 , 的斜率分别为 , ,是否存在实数 ,使得 ,若存在,1k2m21k求出 的值;若不存在,请说明理由 .m【答案】 (1)设椭圆方程为 ,由题意知: 221(0)xyab2194cab分解之得: ,所以椭圆方程为: 4 分23ab

23、2143xy(2)若 ,由椭圆对称性,知 ,所以 , AFC(,) A3(,)2B此时直线 方程为 , 6 分B40xy由 ,得 ,解得 ( 舍去) ,8 分2340,1xy2761317x故 10 分()37FD(3)设 ,则 ,0,)Axy( 0(,)Bxy直线 的方程为 ,代入椭圆方程 ,得12143xy,22000(156)85因为 是该方程的一个解,所以 点的横坐标 ,12 分0xC0852Cx又 在直线 上,所以 ,(,)cCy0(1)yx003(1)cyyx同理, 点坐标为 , , 14 分来源:D085(203学科网ACyDBOxF(第 18 题)所以 ,002 100355283yyxkkx即存在 ,使得 16 分3m21k