1、2019 年春九年级上册数学第二十一章 一元二次方程单元测试题一选择题（共 10 小题）1关于 x 的方程（m 1）x 2+2mx30 是一元二次方程，则 m 的取值是（ ）A任意实数 Bm1 Cm1 Dm 12一元二次方程 x2+54x 的一次项的系数是（ ）A4 B4 C1 D53若关于 x 的一元二次方程（a+1）x 2+x+a210 的一个根是 0，则 a 的值为（ ）A1 B1 C1 D04方程（x+1） 20 的根是（ ）Ax 1x 21 Bx 1x 21 Cx 11，x 21 D无实根5方程 x2+2x+10 的根是（ ）Ax 1x 21 Bx 1x 21 Cx 11，x 21
2、D无实根6一元二次方程 x2+x10 的根是（ ）Ax1 Bx Cx1+ Dx 7方程 x24x 的根是（ ）Ax4 Bx0 Cx 10，x 24 Dx 10，x 248如果（x+2y ） 2+3（x +2y）40，那么 x+2y 的值为（ ）A1 B4 C1 或4 D1 或 39已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2k +1）x +k20 有两个不相等的实数根则 k 的取值范围为（ ）Ak Bk4 Ck1 Dk 410某机械厂七月份生产零件 50 万个，第三季度生产零件 182 万个若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为 x，则下面所列方程正确的是（ ）A50（1+x） 2182B5
3、0+50 （1+x） 2182C50+50 （1+x）+50（1+2x）182D50+50（1+x ）+50（1+x） 2182二填空题（共 8 小题）11已知 x1 是方程 x2+ax+3a0 的一个根，则 a 的值是 12如果关于 x 的方程（m 1）x 3mx 2+20 是一元二次方程，那么此方程的根是 13已知关于 x 的一元二次方程 mx2+x+10 有实数根，则 m 的取值范围是 14将一元二次方程 x26x +100 化成（x a） 2b 的形式，则 b 的值为 15圣诞节时，某班一个小组有 x 人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡 110 张，则可列方程为 16我市
4、计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2015 年市政府已投资 5 亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2017 年投资 7.2 亿元人民币，那么每年投资的增长率为 17已知 x1，x 2 是方程 x23 x+10 的两个实数根，则 18已知 x2 是一元二次方程 x2+mx+60 的一个根，则方程的另一个根是 三解答题（共 7 小题）19解方程：（1）2（x3）3x （x 3）（2）2x 2x3020是否存在某个实数 m，使得方程 x2+mx+20 和 x2+2x+m0 有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数 m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由21关于 x 的
5、方程（m +1）x |m1| +mx10 是一元二次方程，求 m 的值22已知：关于 x 的一元二次方程 x2（k +3）x+2k+2 0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于 0，求 k 的取值范围23汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设某汽车销售公司 2015 年盈利 1500 万元，到2017 年盈利 2160 万元，且从 2015 年到 2017 年，每年盈利的年增长率相同（1）求平均年增长率？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2018 年盈利多少万元？24某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污已知 2016 年投入资金 1000 万元，2018
6、年投入资金 1210 万元（1）求该镇投入资金从 2016 年至 2018 年的年平均增长率；（2）若 2019 年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇 2019 年预计投入资金多少万元？25为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过 30 人，人均旅游费用为 100 元；（2）如果超过 30 人，则每超过 1 人，人均旅游费用降低 2 元，但人均旅游费用不能低于 80元该班实际共支付给旅行社 3150 元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？2019 年春九年级上册数学第二十一章 一元二次
7、方程单元测试题参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1关于 x 的方程（m 1）x 2+2mx30 是一元二次方程，则 m 的取值是（ ）A任意实数 Bm1 Cm1 Dm 1【分析】根据一元二次方程的定义求解一元二次方程必须满足二次项系数不为 0，所以m10，即可求得 m 的值【解答】解：根据一元二次方程的定义得：m 10，即 m1，故选：B【点评】此题考查一元二次方程，一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0（3）整式方程要特别注意二次项系数 a0 这一条件，当 a0 时，上面的方程就不是一元二次方程了当 b0 或 c0 时，上面的方程在 a
8、0 的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程2一元二次方程 x2+54x 的一次项的系数是（ ）A4 B4 C1 D5【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可【解答】解：方程整理得：x 2+4x+50，则一次项系数为 4故选：A【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0（a，b，c 是常数且 a0）特别要注意 a 0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项3若关于 x 的一元二次方程（a+1）x 2+x+a210 的
9、一个根是 0，则 a 的值为（ ）A1 B1 C1 D0【分析】把 x0 代入方程（a+1）x 2+x+a210 得 a210，然后解关于 a 的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的 a 的值【解答】解：把 x0 代入方程（a+1）x 2+x+a210 得 a210，解得 a11，a 21，而 a+10，所以 a1故选：A【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解4方程（x+1） 20 的根是（ ）Ax 1x 21 Bx 1x 21 Cx 11，x 21 D无实根【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案【解答】解：由于（x+1） 20
10、，x+10，x 1x 21故选：B【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型5方程 x2+2x+10 的根是（ ）Ax 1x 21 Bx 1x 21 Cx 11，x 21 D无实根【分析】由原方程得出（x+1） 20，开方即可得【解答】解：x 2+2x+10，（x+1） 20，则 x+10，解得：x 1x 21，故选：B【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及配方法解一元二次方程6一元二次方程 x2+x10 的根是（ ）Ax1 Bx Cx1+ Dx 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况【
11、解答】解：1 24（1）50，方程有两个不相等的两个实数根，即 x 故选：D【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：a0 ；b 24ac07方程 x24x 的根是（ ）Ax4 Bx0 Cx 10，x 24 Dx 10，x 24【分析】原式利用因式分解法求出解即可【解答】解：方程整理得：x（x4）0，可得 x0 或 x40，解得：x 10，x 24，故选：C【点评】此题考查了一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键8如果（x+2y ） 2+3（x +2y）40，那么 x+2y 的值为（ ）A1 B4 C1 或4 D1 或 3【分析】在本
12、题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把 x+2y 当成一个整体进行考虑【解答】解：设 x+2ya，则原方程变形为 a2+3a40，解得 a4 或 a1故选 C【点评】此题主要是把 x+2y 当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解9已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2k +1）x +k20 有两个不相等的实数根则 k 的取值范围为（ ）Ak Bk4 Ck1 Dk 4【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+（2k +1）x +k20 有两个不相
13、等的实数根，（2k+1） 241k 24k +10，k 故选：A【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键10某机械厂七月份生产零件 50 万个，第三季度生产零件 182 万个若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为 x，则下面所列方程正确的是（ ）A50（1+x） 2182B50+50 （1+x） 2182C50+50 （1+x）+50（1+2x）182D50+50（1+x ）+50（1+x） 2182【分析】设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为 x，根据该机械厂七月份及整个第三季度生产零件的数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得
14、解【解答】解：设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为 x，根据题意得：50+50（1+ x）+50（1+ x） 2182故选：D【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键二填空题（共 8 小题）11已知 x1 是方程 x2+ax+3a0 的一个根，则 a 的值是 2 【分析】把 x1 代入方程 x2+ax+3a0 得到关于 a 的一元一次方程，解之即可【解答】解：把 x1 代入方程 x2+ax+3a0 得：1a+3a0，解得：a2，故答案为：2【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键12如果关于 x 的方程（m 1
15、）x 3mx 2+20 是一元二次方程，那么此方程的根是 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出 m 的取值范围，再代入方程解方程即可【解答】解：由题意得： ，m1，原方程变为：x 2+20，x ，故答案为： 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键13已知关于 x 的一元二次方程 mx2+x+10 有实数根，则 m 的取值范围是 m 且 m0 【分析】由于关于 x 的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于 m 的不等式，求解即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 mx2+x+10 有实数根，则14m0，且 m0解得 m 且 m0故答案为：m 且 m
16、0【点评】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义题目难度不大，解题过程中容易忽略 m0 条件而出错14将一元二次方程 x26x +100 化成（x a） 2b 的形式，则 b 的值为 1 【分析】利用配方法得到（x3） 21，从而得到 b 的值【解答】解：x 26x +100，x26x10，x26x+91 ，（x3） 21，所以 b 的值为1【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m） 2n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法15圣诞节时，某班一个小组有 x 人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡 110 张，
17、则可列方程为 x （x1）110 【分析】设这个小组有 x 人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人要送 x1 张贺卡，所以全组共送 x（x1）张，又知全组共送贺卡 110 张，由送贺卡数相等为等量关系，列出方程即可【解答】解：设这个小组有 x 人，则每人应送出 x1 张贺卡，由题意得：x（x1）110，故答案为：x（x 1）110【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，关键在于找出等量关系，列出方程16我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2015 年市政府已投资 5 亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2017 年投资 7.
18、2 亿元人民币，那么每年投资的增长率为 20% 【分析】设每年投资的增长率为 x，根据 2015 年及 2017 年市政府投资的钱数，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设每年投资的增长率为 x，根据题意得：5（1+x） 27.2，解得：x 10.220% ，x 22.2（不合题意，舍去）故答案为：20%【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键17已知 x1，x 2 是方程 x23 x+10 的两个实数根，则 3 【分析】首先根据根与系数的关系求出 x1+x23，x 1x21，然后将 变形，再将x1+x23，x 1x
19、21 代入即可【解答】解：x 1，x 2 是方程 x23x+10 的两个实数根，根据根与系数的关系有：x 1+x23，x 1x21，所以 3故答案为：3【点评】本题主要考查根与系数的关系，关键是熟练运用18已知 x2 是一元二次方程 x2+mx+60 的一个根，则方程的另一个根是 x 3 【分析】设方程的另一根为 a，由根与系数的关系可得到 a 的方程，可求得 a 的值，即可求得方程的另一根【解答】解：设方程的另一根为 a，x2 是一元二次方程 x2+mx+60 的一个根，2a6，解得 a3，即方程的另一个根是 x3，故答案为：x3【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方
20、程的两根之和等于 、两根之积等于 是解题的关键三解答题（共 7 小题）19解方程：（1）2（x3）3x （x 3）（2）2x 2x30【分析】（1）先移项得到 2（x3）3x（x 3）0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程【解答】解：（1）2（x3）3x（x 3）0，（x3）（23x ）0，x30 或 23x 0，所以 x13，x 2 ；（2）（2x3）（x +1）0，2x30 或 x+10，所以 x1 ，x 21【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法20是否存在某个实数 m，使
21、得方程 x2+mx+20 和 x2+2x+m0 有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数 m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由【分析】设两方程的公共根为 a，然后将两方程相减，消去二次项，求出公共根和 m 的值【解答】解：假设存在符合条件的实数 m，且设这两个方程的公共实数根为 a，则，得a（m2）+（ 2m）0（m2）（a1）0m2 或 a1当 m2 时，已知两个方程是同一个方程，且没有实数根，故 m2 舍去；当 a1 时，代入得 m3，把 m3 代入已知方程，求出公共根为 x1故实数 m3，两方程的公共根为 x1【点评】本题考查的是两个一元二次方程的公共根的问题，一般情况是
22、将两方程相减求出公共根，再求出其中的字母系数21关于 x 的方程（m +1）x |m1| +mx10 是一元二次方程，求 m 的值【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0，据此即可求解【解答】解：根据题意得，|m1|2，且 m+10，解得：m3，答：m 的值为 3【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c0（a，b，c是常数且 a0），特别要注意 a0 的条件22已知：关于 x 的一元二次方程 x2（k +3）x+2k+2 0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于 0，求
23、 k 的取值范围【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出（k1） 20，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出 x 的值，结合方程有一个根小于 0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围【解答】（1）证明：（k+3） 241（2k +2）k 22k+1（k1） 20，方程总有两个实数根；（2）解：x 2（k +3）x +2k+20，即（x 2） x（k+1）0，x 12，x 2k +1方程有一个根小于 0，k+10，k1【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当0 时，方程有两个实数根
24、”；（2）利用因式分解法求出一元二次方程的根23汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设某汽车销售公司 2015 年盈利 1500 万元，到2017 年盈利 2160 万元，且从 2015 年到 2017 年，每年盈利的年增长率相同（1）求平均年增长率？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2018 年盈利多少万元？【分析】（1）设平均年增长率为 x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）由求出的年增长率确定出所求即可【解答】解：（1）设平均年增长率为 x，根据题意得：1500（1+x） 22160，整理得：（1+x） 21.44，开方得：1+x1.2，解得：x0.220%
25、 或 x2.2（舍去），则平均年增长率为 20%；（2）根据题意得：2160（1+20%）2592（万元），则 2018 年盈利 2592 万元【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键24某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污已知 2016 年投入资金 1000 万元，2018年投入资金 1210 万元（1）求该镇投入资金从 2016 年至 2018 年的年平均增长率；（2）若 2019 年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇 2019 年预计投入资金多少万元？【分析】（1）设该镇投入资金从 2016 年至 2018 年的年平均增长率为 x，根据该镇 2016
26、 年及 2018年投入的资金金额，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据 2019 年投入资金金额2018 年投入资金金额（1+增长率），即可求出结论【解答】解：（1）设该镇投入资金从 2016 年至 2018 年的年平均增长率为 x，根据题意得：1000（1+x） 21210，解得：x 10.110% ，x 22.1（舍去）答：该镇投入资金从 2016 年至 2018 年的年平均增长率为 10%（2）1210（1+10%）1331（万元）答：该镇 2019 年预计投入资金 1331 万元【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
27、确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算25为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过 30 人，人均旅游费用为 100 元；（2）如果超过 30 人，则每超过 1 人，人均旅游费用降低 2 元，但人均旅游费用不能低于 80元该班实际共支付给旅行社 3150 元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【分析】根据题意先判断出参加的人数在 30 人以上，设共有 x 名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：（100在 30 人基础上降低的人数2）参加人数3150，列出方程，然后求解即可得出答案【解答】解：1003030003150，该班参加研学游活动的学生数超过 30 人设共有 x 名同学参加了研学游活动，由题意得：x100 2（x30）3150，解得 x135，x 245，当 x35 时，人均旅游费用为 1002（3530）9080，符合题意；当 x45 时，人均旅游费用为 1002（4530）7080，不符合题意，应舍去答：共有 35 名同学参加了研学游活动【点评】此题考查一元二次方程的应用；得到人均付费是解决本题的易错点，得到总费用的等量关系是解决本题的关键