1、2017 年云南省中考数学试卷一、填空题（本大题共 6 个小题，每题 3 分，共 18 分）12 的相反数是 2已知关于 x 的方程 2x+a+5=0 的解是 x=1，则 a 的值为 3如图，在ABC 中， D、E 分别为 AB、AC 上的点，若 DEBC， = ，则 = 4使 有意义的 x 的取值范围为 5如图，边长为 4 的正方形 ABCD 外切于O，切点分别为 E、F、G 、H 则图中阴影部分的面积为 6已知点 A（a ，b）在双曲线 y=上，若 a、b 都是正整数，则图象经过B（a，0） 、C（0，b）两点的一次函数的解析式（也称关系式）为 二、选择题（本大题共 8 个小题，每小题只有
2、一个正确答案，每小题 4 分，共32 分）7作为世界文化遗产的长城，其总长大约为 6700000m将 6700000 用科学记数法表示为（ ）A6.710 5 B6.710 6 C0.6710 7 D6710 88下面长方体的主视图（主视图也称正视图）是（ ）A B C D9下列计算正确的是（ ）A2a3a=5a B （2a ） 3=6a3 C6a2a=3a D （a 3） 2=a610已知一个多边形的内角和是 900，则这个多边形是（ ）A五边形 B六边形 C七边形 D八边形11sin60的值为（ ）A B C D12下列说法正确的是（ ）A要了解某公司生产的 100 万只灯泡的使用寿命，可
3、以采用抽样调查的方法B4 位同学的数学期末成绩分别为 100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为 100C甲乙两人各自跳远 10 次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为 0.51 和 0.62D某次抽奖活动中，中奖的概率为 表示每抽奖 50 次就有一次中奖13正如我们小学学过的圆锥体积公式 V=r2h（ 表示圆周率，r 表示圆锥的地面半径，h 表示圆锥的高）一样，许多几何量的计算都要用到 祖冲之是世界上第一个把 计算到小数点后 7 位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了 1000 年，才有人把 计算得更精确在辉煌成就的背后，我们来看看
4、祖冲之付出了多少现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对 9 位数字反复进行 130 次以上的各种运算，包括开方在内即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹（小竹棍或小竹片）进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于 9 ，则这个圆锥的高等于（ ）A B C D14如图，B、C 是A 上的两点， AB 的垂直平分线与A 交于 E、F 两点，与线段 AC 交于 D 点若BFC=20，则DBC=（
5、）A30 B29 C28 D20三、解答题（共 9 个小题，满分 70 分）15如图，点 E、C 在线段 BF 上，BE=CF ，AB=DE，AC=DF求证：ABC=DEF16观察下列各个等式的规律：第一个等式： =1，第二个等式： =2，第三个等式：=3请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第 n 个等式（用 n 的代数式表示） ，并证明你猜想的等式是正确的17某初级中学正在展开“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行” 的“创文活动”为了了解该校志愿者参与服务情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查根据调查数据绘制了如下所示不完整统计图条形统计图中七年级
6、、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者数与样本容量的比（1）请补全条形统计图；（2）若该校共有志愿者 600 人，则该校九年级大约有多少志愿者？18某商店用 1000 元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用 2400 元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的 2 倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了 2 元（1）该商店第一次购进水果多少千克？（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的 20 千克按标价的五折优惠销售若两次购进水果全部售完，利润不低于 950 元，则每千克水果的标价至
7、少是多少元？注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和19在一个不透明的盒子中，装有 3 个分别写有数字 6，2，7 的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取 1 个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出 1 个小球，再记下小球上的数字（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出所有可能出现的结果；（2）求两次取出的小球上的数字相同的概率 P20如图，ABC 是以 BC 为底的等腰三角形，AD 是边 BC 上的高，点 E、F分别是 AB、AC 的
8、中点（1）求证：四边形 AEDF 是菱形；（2）如果四边形 AEDF 的周长为 12，两条对角线的和等于 7，求四边形 AEDF的面积 S21已知二次函数 y=2x2+bx+c 图象的顶点坐标为（3，8） ，该二次函数图象的对称轴与 x 轴的交点为 A，M 是这个二次函数图象上的点，O 是原点（1）不等式 b+2c+80 是否成立？请说明理由；（2）设 S 是 AMO 的面积，求满足 S=9 的所有点 M 的坐标22在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山 ”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各个方面和全过程，建设美丽中
9、国的活动中，某学校计划组织全校 1441 名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共 62 辆 A、B 两种型号客车作为交通工具下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号 载客量 租金单价A 30 人/辆 380 元/辆B 20 人/辆 280 元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数（1）设租用 A 型号客车 x 辆，租车总费用为 y 元，求 y 与 x 的函数解析式（也称关系式） ，请直接写出 x 的取值范围；（2）若要使租车总费用不超过 21940 元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？23已知 AB 是O 的直径，PB 是
10、O 的切线，C 是O 上的点，ACOP ，M 是直径 AB 上的动点，A 与直线 CM 上的点连线距离的最小值为d，B 与直线 CM 上的点连线距离的最小值为 f（1）求证：PC 是O 的切线；（2）设 OP= AC，求 CPO 的正弦值；（3）设 AC=9，AB=15 ，求 d+f 的取值范围2017 年云南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 6 个小题，每题 3 分，共 18 分）12 的相反数是 2 【考点】14：相反数【分析】根据相反数的定义可知【解答】解：2 的相反数是 22已知关于 x 的方程 2x+a+5=0 的解是 x=1，则 a 的值为 7 【考点】85：一
11、元一次方程的解【分析】把 x=1 代入方程计算即可求出 a 的值【解答】解：把 x=1 代入方程得：2+a +5=0，解得：a= 7，故答案为：73如图，在ABC 中， D、E 分别为 AB、AC 上的点，若 DEBC， = ，则 = 【考点】S9：相似三角形的判定与性质【分析】直接利用相似三角形的判定方法得出ADEABC，再利用相似三角形的周长比等于相似比进而得出答案【解答】解：DEBC，ADE ABC， = = 故答案为： 4使 有意义的 x 的取值范围为 x9 【考点】72：二次根式有意义的条件【分析】二次根式的被开方数是非负数，即 9x 0【解答】解：依题意得：9x0解得 x9故答案是
12、：x95如图，边长为 4 的正方形 ABCD 外切于O，切点分别为 E、F、G 、H 则图中阴影部分的面积为 2+4 【考点】MC ：切线的性质； LE：正方形的性质； MO：扇形面积的计算【分析】连接 HO，延长 HO 交 CD 于点 P，证四边形 AHPD 为矩形知 HF 为O 的直径，同理得 EG 为O 的直径，再证四边形 BGOH、四边形 OGCF、四边形 OFDE、四边形 OEAH 均为正方形得出圆的半径及HGF 为等腰直角三角形，根据阴影部分面积= SO +SHGF 可得答案【解答】解：如图，连接 HO，延长 HO 交 CD 于点 P，正方形 ABCD 外切于O，A=D=AHP=9
13、0 ，四边形 AHPD 为矩形，OPD=90，又OFD=90，点 P 于点 F 重合，则 HF 为O 的直径，同理 EG 为O 的直径，由B=OGB=OHB=90 且 OH=OG 知，四边形 BGOH 为正方形，同理四边形 OGCF、四边形 OFDE、四边形 OEAH 均为正方形，BH=BG=GC=CF=2，HGO= FGO=45 ，HGF=90，GH=GF= =2则阴影部分面积= SO +SHGF= 22+ 2 2=2+4，故答案为：2+46已知点 A（a ，b）在双曲线 y=上，若 a、b 都是正整数，则图象经过B（a，0） 、C（0，b）两点的一次函数的解析式（也称关系式）为 y= 5x
14、+5 或y= x+1 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出 ab=5，由 a、b 都是正整数，得到 a=1，b=5 或 a=5，b=1再分两种情况进行讨论：当a=1，b=5；a=5，b=1，利用待定系数法即可求解【解答】解：点 A（a ，b）在双曲线 y= 上，ab=5，a、b 都是正整数，a=1，b=5 或 a=5，b=1设经过 B（a，0） 、C（0，b）两点的一次函数的解析式为 y=mx+n当 a=1，b=5 时，由题意，得 ，解得 ，y=5x+5；当 a=5，b=1 时，由题意，得 ，解得 ，y= x+1则所求解析式为 y=5x+5
15、或 y= x+1故答案为 y=5x+5 或 y= x+1二、选择题（本大题共 8 个小题，每小题只有一个正确答案，每小题 4 分，共32 分）7作为世界文化遗产的长城，其总长大约为 6700000m将 6700000 用科学记数法表示为（ ）A6.710 5 B6.710 6 C0.6710 7 D6710 8【考点】1I ：科学记数法表示较大的数【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中1|a|10， n 为整数，据此判断即可【解答】解：6700000=6.710 6故选：B 8下面长方体的主视图（主视图也称正视图）是（ ）A B C D【考点】U1：简单几何体的三视图【
16、分析】根据正视图是从物体正面看到的平面图形，据此选择正确答案【解答】解：长方体的主视图（主视图也称正视图）是故选 C9下列计算正确的是（ ）A2a3a=5a B （2a ） 3=6a3 C6a2a=3a D （a 3） 2=a6【考点】4I ：整式的混合运算【分析】根据整式的混合运算即可求出答案【解答】解：（A）原式=6a 2，故 A 错误；（B）原式 =8a3，故 B 错误；（C）原式 =3，故 C 错误；故选（D）10已知一个多边形的内角和是 900，则这个多边形是（ ）A五边形 B六边形 C七边形 D八边形【考点】L3：多边形内角与外角【分析】设这个多边形是 n 边形，内角和是（n2）
17、180，这样就得到一个关于n 的方程组，从而求出边数 n 的值【解答】解：设这个多边形是 n 边形，则（n2）180=900，解得：n=7 ，即这个多边形为七边形故本题选 C11sin60的值为（ ）A B C D【考点】T5：特殊角的三角函数值【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可【解答】解：sin60= 故选 B12下列说法正确的是（ ）A要了解某公司生产的 100 万只灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方法B4 位同学的数学期末成绩分别为 100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为 100C甲乙两人各自跳远 10 次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩
18、的方差分别为 0.51 和 0.62D某次抽奖活动中，中奖的概率为 表示每抽奖 50 次就有一次中奖【考点】X3：概率的意义；V2：全面调查与抽样调查；W1：算术平均数；W4：中位数； W7：方差【分析】分别根据全面调查与抽样调查的意义、中位数的定义、方差的定义及概率的意义对各选项进行逐一判断即可【解答】解：A、要了解灯泡的使用寿命破坏性极大， 只能采用抽样调查的方法，故本选项正确；B、 4 位同学的数学期末成绩分别为 100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为 102.5，故本选项错误；C、甲乙两人各自跳远 10 次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差不能确
19、定，故本选项错误；D、某次抽奖活动中，中奖的概率为 表示每抽奖 50 次可能有一次中奖，故本选项错误故选 A13正如我们小学学过的圆锥体积公式 V= r2h（ 表示圆周率，r 表示圆锥的地面半径，h 表示圆锥的高）一样，许多几何量的计算都要用到 祖冲之是世界上第一个把 计算到小数点后 7 位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了 1000 年，才有人把 计算得更精确在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对 9 位数字反复进行 130 次以上的各种运算，包括开方在内即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的
20、纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹（小竹棍或小竹片）进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于 9 ，则这个圆锥的高等于（ ）A B C D【考点】MP：圆锥的计算【分析】设母线长为 R，底面圆半径为 r，根据弧长公式、扇形面积公式以及圆锥体积公式即可求出圆锥的高【解答】解：设母线长为 R，底面圆半径为 r，圆锥的高为 h，由于圆锥的侧面展开图是个半圆侧面展开图的弧长为： =R，底面圆的周长为：2r，R=2r，R=2r ，由勾股定理可知：h= r，圆锥的体积
21、等于 9 9 = r2h，r=3，h=3故选（D）14如图，B、C 是A 上的两点， AB 的垂直平分线与A 交于 E、F 两点，与线段 AC 交于 D 点若BFC=20，则DBC=（ ）A30 B29 C28 D20【考点】M5：圆周角定理；KG：线段垂直平分线的性质【分析】利用圆周角定理得到BAC=40 ，根据线段垂直平分线的性质推知AD=BD，然后结合等腰三角形的性质来求ABD 、ABC 的度数，从而得到DBC【解答】解：BFC=20，BAC=2BFC=40，AB=AC，ABC=ACB= =70又 EF 是线段 AB 的垂直平分线，AD=BD，A=ABD=40，DBC=ABC ABD=7
22、040=30故选：A三、解答题（共 9 个小题，满分 70 分）15如图，点 E、C 在线段 BF 上，BE=CF ，AB=DE，AC=DF求证：ABC=DEF【考点】KD：全等三角形的判定与性质【分析】先证明ABC DEF，然后利用全等三角形的性质即可求出ABC=DEF【解答】解：BE=CF，BE+EC=CF+EC，BC=EF，在ABC 与 DEF 中，ABC DEF（SSS ）ABC=DEF16观察下列各个等式的规律：第一个等式： =1，第二个等式： =2，第三个等式：=3请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第 n 个等式（用 n 的代数式表示） ，并
23、证明你猜想的等式是正确的【考点】37：规律型：数字的变化类【分析】 （1）根据题目中的式子的变化规律可以写出第四个等式；（2）根据题目中的式子的变化规律可以猜想出第 n 等式并加以证明【解答】解：（1）由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是： ；（2）第 n 个等式是： ，证明：=n，第 n 个等式是： 17某初级中学正在展开“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行” 的“创文活动”为了了解该校志愿者参与服务情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查根据调查数据绘制了如下所示不完整统计图条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图
24、中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者数与样本容量的比（1）请补全条形统计图；（2）若该校共有志愿者 600 人，则该校九年级大约有多少志愿者？【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图【分析】 （1）根据百分比= 计算即可解决问题，求出八年级、九年级、被抽到的志愿者人数画出条形图即可；（2）用样本估计总体的思想，即可解决问题；【解答】解：（1）由题意总人数=2040%=50 人，八年级被抽到的志愿者：5030%=15 人九年级被抽到的志愿者：5020%=10 人，条形图如图所示：（2）该校共有志愿者 600 人，则该校九年级大约有 60020%=120 人，答：该校九年级
25、大约有 120 名志愿者18某商店用 1000 元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用 2400 元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的 2 倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了 2 元（1）该商店第一次购进水果多少千克？（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的 20 千克按标价的五折优惠销售若两次购进水果全部售完，利润不低于 950 元，则每千克水果的标价至少是多少元？注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和【考点】B7 ：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用【分析】
26、（1）首先根据题意，设该商店第一次购进水果 x 千克，则第二次购进水果 2x 千克，然后根据：（ +2）第二次购进的水果的重量=2400，列出方程，求出该商店第一次购进水果多少千克即可（2）首先根据题意，设每千克水果的标价是 x 元，然后根据：（两次购进的水果的重量20）x+200.5x 两次购进水果需要的钱数 +950，列出不等式，求出每千克水果的标价是多少即可【解答】解：（1）设该商店第一次购进水果 x 千克，则第二次购进水果 2x 千克，（ +2）2x=2400整理，可得：2000+4x=2400解得 x=100经检验，x=100 是原方程的解答：该商店第一次购进水果 100 千克（2）
27、设每千克水果的标价是 x 元，则x+200.5x1000+2400+950整理，可得：290x4350解得 x15每千克水果的标价至少是 15 元答：每千克水果的标价至少是 15 元19在一个不透明的盒子中，装有 3 个分别写有数字 6，2，7 的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取 1 个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出 1 个小球，再记下小球上的数字（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出所有可能出现的结果；（2）求两次取出的小球上的数字相同的概率 P【考点】X6：列表法与树状图法【分析】 （1）根据题意先画出树状
28、图，得出所有可能出现的结果数；（2）根据（1）可得共有 9 种情况，两次取出小球上的数字相同有 3 种：（6，6） 、 （2，2） 、 （7，7） ，再根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）根据题意画图如下：所有可能出现的结果共有 9 种；（2）共有 9 种情况，两次取出小球上的数字相同的有 3 种情况，两次取出小球上的数字相同的概率为 = 20如图，ABC 是以 BC 为底的等腰三角形，AD 是边 BC 上的高，点 E、F分别是 AB、AC 的中点（1）求证：四边形 AEDF 是菱形；（2）如果四边形 AEDF 的周长为 12，两条对角线的和等于 7，求四边形 AEDF的面积 S【考点】
29、LA ：菱形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质【分析】 （1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出 DE= AB=AE，DF=AC=AF，再根据 AB=AC，点 E、F 分别是 AB、 AC 的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形 AEDF 是菱形；（2）设 EF=x，AD=y，则 x+y=7，进而得到 x2+2xy+y2=49，再根据 RtAOE中，AO 2+EO2=AE2，得到 x2+y2=36，据此可得 xy= ，进而得到菱形 AEDF 的面积 S【解答】解：（1）ADBC，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点，Rt ABD 中， DE= AB=AE，Rt ACD
30、中， DF= AC=AF，又AB=AC ，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点，AE=AF，AE=AF=DE=DF，四边形 AEDF 是菱形；（2）如图，菱形 AEDF 的周长为 12，AE=3，设 EF=x，AD=y，则 x+y=7，x 2+2xy+y2=49，ADEF 于 O，Rt AOE 中，AO 2+EO2=AE2，（ y） 2+（ x） 2=32，即 x2+y2=36， 把代入，可得 2xy=13，xy= ，菱形 AEDF 的面积 S= xy= 21已知二次函数 y=2x2+bx+c 图象的顶点坐标为（3，8） ，该二次函数图象的对称轴与 x 轴的交点为 A，M 是这个二次函数图象
31、上的点，O 是原点（1）不等式 b+2c+80 是否成立？请说明理由；（2）设 S 是 AMO 的面积，求满足 S=9 的所有点 M 的坐标【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系【分析】 （1）由题意可知抛物线的解析式为 y=2（ x3） 2+8，由此求出 b、c 即可解决问题（2）设 M（m，n） ，由题意 3|n|=9，可得 n=6，分两种情形列出方程求出 m 的值即可；【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标（3，8） ，抛物线的解析式为 y=2（x 3） 2+8=2x2+12x10，b=12 ，c=10，b+2c+8=1220+8=0，不等式 b+2c+8
32、0 成立（2）设 M（m，n） ，由题意 3|n|=9，n= 6，当 n=6 时， 6=2m2+12m10，解得 m=2 或 4，当 n=6 时，6=2m 2+12m10，解得 m=3 ，满足条件的点 M 的坐标为（2，6）或（4，6）或（ 3+ ， 6）或（3 ，6） 22在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山 ”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各个方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校 1441 名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共 62 辆 A、B 两种型号客车作为
33、交通工具下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号 载客量 租金单价A 30 人/辆 380 元/辆B 20 人/辆 280 元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数（1）设租用 A 型号客车 x 辆，租车总费用为 y 元，求 y 与 x 的函数解析式（也称关系式） ，请直接写出 x 的取值范围；（2）若要使租车总费用不超过 21940 元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？【考点】FH：一次函数的应用；C9：一元一次不等式的应用【分析】 （1）根据租车总费用=A、B 两种车的费用之和，列出函数关系式即可；（2）列出不等式，求出自变量 x 的取值范围，利
34、用函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）由题意：y=380x+280（62x）=100x+1736030x+20（62x）1441 ，x20.1，21x62（2）由题意 100x+1736021940，x45.8，21x45，共有 25 种租车方案，x=21 时， y 有最小值 =175700 元23已知 AB 是O 的直径，PB 是O 的切线，C 是O 上的点，ACOP ，M 是直径 AB 上的动点，A 与直线 CM 上的点连线距离的最小值为d，B 与直线 CM 上的点连线距离的最小值为 f（1）求证：PC 是O 的切线；（2）设 OP= AC，求 CPO 的正弦值；（3）设 AC=9，
35、AB=15 ，求 d+f 的取值范围【考点】MR ：圆的综合题【分析】 （1）连接 OC，根据等腰三角形的性质得到 A=OCA，由平行线的性质得到A=BOP，ACO=COP，等量代换得到COP=BOP，由切线的性质得到OBP=90，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过 O 作 ODAC 于 D，根据相似三角形的性质得到 CDOP=OC2，根据已知条件得到 = ，由三角函数的定义即可得到结论；（3）连接 BC，根据勾股定理得到 BC= =12，当 M 与 A 重合时，得到 d+f=12，当 M 与 B 重合时，得到 d+f=9，于是得到结论【解答】解：（1）连接 OC，OA=OC，A=OC
36、A，ACOP，A=BOP，ACO=COP，COP=BOP，PB 是O 的切线，AB 是O 的直径，OBP=90，在POC 与POB 中， ，COPBOP，OCP=OBP=90 ，PC 是O 的切线；（2）过 O 作 ODAC 于 D，ODC= OCP=90，CD= AC，DCO= COP，ODCPCO， ，CDOP=OC 2，OP= AC，AC= OP，CD= OP， OPOP=OC2 = ，sin CPO= = ；（3）连接 BC，AB 是O 的直径，ACBC ，AC=9，AB=15，BC= =12，当 M 与 A 重合时，d=0，f=BC=12，d+f=12，当 M 与 B 重合时，d=9，f=0 ，d+f=9，d+f 的取值范围是：9d+f12