1、第 6 课时 二次函数的综合应用命题点 1 二次函数实际应用1. (2018 巴中) 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )A. 此抛物线的解析式是 y x23.515B. 篮圈中心的坐标是(4，3.05)C.此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)D.篮球出手时离地面的高度是 2 m 第 1 题图2. (2018 安徽) 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各 50 盆，售后
2、统计，盆景的平均每盆利润是 160 元，花卉的平均每盆利润是 19 元，调研发现：盆景每增加 1 盆，盆景的平均每盆利润减少 2 元，每减少 1 盆，盆景的平均每盆利润增加 2 元；花卉的平均每盆利润始终不变；小明计划第二期培植盆景与花卉共 100 盆，设培植的盆景比第一期增加 x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为 W1，W 2(单位：元) (1)用含 x 的代数式表示 W1，W 2；(2)当 x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润 W 最大，最大总利润是多少？3. (2018 巴彦淖尔改编)工人师傅用一块长为 12 分米，宽为 8 分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，
3、如图所示，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)(1)若长方体底面面积为 32 平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 5 倍( 长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为 0.5 元，底面每平方分米的费用为 2 元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？第 3 题图命题点 2 二次函数与几何图形综合题4. (2018 自贡) 如图，抛物线 yax 2bx3 过点 A(1，0) ， B(3，0)，直线 AD 交抛物线于点 D，点 D 的横坐标为2，点 P(m，n)是线段 AD 上的动点(1)求直线 AD 及抛物
4、线的解析式； (2)过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数 )R，使以 P、Q、D 、R 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由第 4 题图5. (2018 怀化) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 22xc 与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0) 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式；(2)请在 y 轴上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出点 M 的
5、坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由6. (2018 锦州) 在平面直角坐标系中，直线 y x2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二12次函数 y x2bx c 的图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A，动点 D 在直线12BC 下方的二次函数图象上(1)求二次函数的表达式；(2)如图，连接 DC，DB ，设 BCD 的面积为 S，求 S 的最大值；(3)如图，过点 D 作 DMBC 于点 M，是否存在点 D，使得 CDM 中的某个角
6、恰好等于ABC 的 2 倍？若存在，直接写出点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由第 6 题图7. (2018 十堰) 已知抛物线 y x2bxc 经过点 A(2，0)，B(0，4)，与 x 轴交于另一点12C，连接 BC.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且 SPBO S PBC ，求证：APBC ；(3)在抛物线上是否存在点 D，直线 BD 交 x 轴于点 E, 使ABE 与以 A，B，C，E 中的三点为顶点的三角形相似(不重合 )？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由答案1. A 2. (1)W12x 260x8000，W219x950; (
7、2)当 x10 时，总利润 W 最大，最大总利润是 9160 元3. (1)裁掉的正方形边长为 2 分米；(2)当裁掉的正方形边长为 3.5 分米时，总费用最低，最低为 31 元4. (1)直线 AD 的解析式为 yx1，抛物线的解析式为 yx 22x3；(2)P(m，n)在线段 AD 上，点 P 的坐标为(m，m1) ，点 Q 的坐标为(m，m 22m 3) ，lm1(m 22m3)m 2m 2(m )2 (2m1)，12 9410，当 m 时，l 有最大值，最大值为 ；12 94(3)存在，点 R 的坐标为(2， 2)或(2，4) 或(2，1)或( 2，5)或(0，3)或(2， 1)5.
8、(1)抛物线的解析式为 yx 22x3，直线 AC 的解析式为 y3x3；(2)yx 22x 3(x 1) 24，顶点 D(1，4)，点 D 关于 y 轴的对称点 E 的坐标为( 1，4)，如解图，连接 BE 与 y 轴交于点 M，此时BDM 的周长最小，设直线 BE 的解析式为 ymxn(m0)，将点 B(3，0) ，E(1，4) 代入得，解得 ，4 m n0 3m n) m 1n 3)直线 BE 的解析式为 yx 3，当 x0 时，y3，点 M 的坐标为(0，3) ，此时点 M 与点 C 重合；第 5 题解图(3)在抛物线上存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直
9、角三角形如解图，当点 A 为直角顶点时，设直线 AP 与 y 轴的交点为 Q，则AOQ CAQ 90，AQO OAQAQC ACQ，QAO ACO ，AOQ COA ， ，即 ，OQOA OAOC OQ1 13OQ ，13Q(0， )，13易求得直线 AQ 的解析式为 y x ，13 13联立 ，y 13x 13y x2 2x 3)解得 (与点 A 重合，舍去 )， ，x1 1y1 0) x2 103y2 139)点 P 的坐标为( ， )；103 139第 5 题解图 第 5 题解图如解图，当点 C 为直角顶点时，过点 P 作 PKy 轴于点 K，PCK ACO ACO CAO，PCK CA
10、O ，又PKC COA，PCK CAO ， ，PKCO CKAO设 P(t，t 22 t3) ，则 PKt ，CK3(t 2 2t3)t 22t， ，t3 t2 2t1解得 t10(为点 C 的横坐标，舍去 )或 t2 ，73点 P 的坐标为( ， )；73 209综上，在抛物线上存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形，点 P 的坐标为( ， )或( ， )103 139 73 2096. (1)二次函数的表达式为 y x2 x2；12 32(2)S 的最大值为 4；(3)存在，满足条件的点 D 的横坐标为 2 或 .29117. (1)抛物线的解析式为 y
11、 x2x4；12(2)证明：令 y0，则 x2x40，12解得 x12，x 24，C(4 ，0)，设 P(x， x2x4)，则 SPBO OBxP 4x2x ，12 12 12S 四边形 POBC SBOC SPOC OBOC OCyP12 12 44 4( x2x4)12 12 128x 22x8x 22x，S PBO S PBC，S 四边形 POBC 2SPBO ，x 22x4x，解得 x10( 舍去)，x 26，P(6，8) ，如解图，过 P 作 PMx 轴于点 M，则 OM 6，PM8，AM8，tanPAC 1，PMAM88tanBCO 1，OBOC 44PACBCO45，APBC；第
12、 7 题解图(3)存在由题意易得，当ABE 与以 A，B，C，E 中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：ABC 和BCE.由勾股定理得 AB 2 ，OA2 OB2 5当点 E 在线段 AC 上时，BAE BAC，ABE ABC，ABE ACB45 ，ABE ACB，则 ，AEAB ABAC ，AE25 256AE ，103E( ，0) ，43直线 BE 的解析式为 y3x4，联立 ，y 3x 4y 12x2 x 4)解得 或 (舍去) ，x1 8y1 20) x2 0y2 4)D 1(8，20) ；当点 E 在点 A 的左边时，BEABEC，当ABEBCE 时，ABE BCE，则 ，AEBE BECE设 OEa，则 AEa2，BE ，CE a4，a2 16 ，a 2a2 16 a2 16a 4解得 a12，E(12，0) ，直线 BE 的解析式为 y x4.13联立 ，解得 或 (舍去)，D 2( ， )；y 13x 4y 12x2 x 4) x1 43y1 409) x2 0y2 4) 43 409当点 E 在点 C 的右边时， BCE 为钝角三角形，ABE 为锐角三角形，故不可能相似，当ABE ACB 时，点 E 的坐标为( ，0)，不符合题意，43综上所述，点 D 的坐标为(8，20)或( ， )43 409