1、第 1 页，共 15 页天津市和平区 2018 届高三二模数学（文科）试题一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1. 已知全集 ， ， ，则集合 等于 = =|2 () ( )A. B. C. D. |1 |2()=|12故选：D进行并集、补集的运算即可考查描述法表示集合的概念，以及并集和补集的运算2. 设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 0+10+1 =3+ ( )A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】B【解析】解：作出可行域如图，由 知， ，=3+ =3+所以动直线 的纵截距 z 取得最大值=3+时，目标函数取得最大值由 得+=1=1 (2,1)结合
2、可行域可知当动直线经过点 时，(2,1)目标函数取得最大值 =321=5故选：B先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中 z 的几何意义，求出直线 的最大=3+值即可本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题3. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输出的 ，=41则判断框内可填入 ( )A. ？5B. ？6C. ？7D. ？8第 2 页，共 15 页【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得， =1 =1执行循环体， ， =2 =5不满足判断框内的条件，执行循环体， ， =3 =11不满足判断框内的条件，执行循环体， ， =4 =19不满足判断框内的条件，执行循环体
3、， =5=29不满足判断框内的条件，执行循环体， ， =6 =41由题意，此时应该满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 41，可得判断框内的条件应该为 ？6故选：B根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出 ，确定跳出循环的 k 的值，=41从而得判断框的条件本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题4. 设 ，则“ ”是“ ”的 0,0)B、C 两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若 ，则双曲线=2的渐近线方程为 ( )A. B. C. D. =22 =2 =2 =22【答案】C【解析】解：抛物线的准线为 ，2
4、=4 =抛物线 的准线 2=4与双曲线的2222=1(0,0)左、右支分别交于 B、C两点，=设 C 的坐标为 ，(0,)，20222=1，0=2，=2，=2，=2=90，=2，=2双曲线的渐近线方程为 ， =2故选：C根据抛物线的准线方程求出 C 的坐标，再根据 ，可得=2，即可得到 ，问题得以解决=2=90 =2本题考查了双曲线的简单性质和抛物线的准线方程以双曲线的渐近线方程，考查了转化能力，属于中档题6. 已知 是定义在 R 上的函数，它的图象上任意一点 处的切线方程为() (0,0)，那么函数 的单调递减区间为 =(20+02)+(03020+20) () ( )A. B. C. D.
5、 (2,1) (1,2) (,2) (1,+)【答案】A【解析】解：由图象上任意一点 处的切线方程为(0,0)，=(20+02)+(03020+20)第 4 页，共 15 页则 的导数为 ，() ()=2+2令 ，解得： ，()0()=424+1,01 于 x 的方程 的实根的个数为 6()2()1=0 ( )A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B第 5 页，共 15 页【解析】解：设 ，=()则关于 x 的方程，6()2()1=0等价 ，621=0解得 或 ，=12 =13当 时， ，此=0 (0)=0时不满足方程若 ，则10()=424+1,01 当 时， 对应 3 个交点=12
6、 ()=12函数 是奇函数， ()当 时，由 ， 0 ()=13时，函数图象对应 4 个交点，=13综上共有 7 个交点，即方程有 7 个根，故选：B先设 ，求出方程 的解，利用函数的奇偶性作出函数在=() 6()2()1=0时的图象，利用数形结合即可得到结论0本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）9. 设 i 是虚数单位，则复数 的虚部为_131+【答案】 2第 6 页，共 15 页【解析】解： ，131+=(13)(1)(1+)(1)=242 =12复数 的虚部为 131+ 2故答
7、案为： 2直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10. 在 中， ， ， ，则 BC 边长为_=3 =23 =【答案】 6【解析】解： 中， ， ，=3 =23， ；= =3，2=2+22=32+3223323=6解得 ，=6则 BC 边长为 6故答案为： 6根据题意，利用余弦定理求得 BC 边长的值本题考查了等腰三角形和余弦定理的应用问题，是基础题11. 已知直线 l 的方程为 ，M 为圆 上的任意一点，设+6=0 2+24+3=0点 M 到直线 l 的距离为 d，则 d 的最大值为_【答案】 22+1【解析】解：圆 化为： ，圆
8、心 ，半径为：12+24+3=0 (2)2+2=1 (2,0)直线 l 的方程为 ，M 为圆 上的任意一点，设点 M 到直+6=0 2+24+3=0线 l 的距离为 d，d 的最大值为： |26|2+1=22+1故答案为： 22+1求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离加上半径求解即可本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力12. 如图，已知正四面体 的高为 ，则它的内 26切球的体积为_第 7 页，共 15 页【答案】 6【解析】解：如图 O 为正四面体 ABCD 的内切球的球心，正四面体的高 ；=4所以 OE 为内切球的半径， ，=14=62则其内切球的半径是 ，=62内切球的
9、体积 ；=433=6故答案为： 6.作出正四面体的图形，球的球心位置为 O，说明 OE 是内切球的半径，再求表面积 .本题考查正四面体的内切球半径的求法，内切球的半径是正四面体的高的 ，是中档题，14解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养13. 已知 ， ，则 的最小值为_ 0 +=32+1+2+2【答案】32【解析】解： ， ，可得 ， ，0 +=3 0 0由柯西不等式可得，(+1)+(+2)(2+1+2+2)+1 +1+2 +22=(+)2=9可得 ，2+1+2+2 9+3=32当 ，即有 ， 时，+1=+2 =43 =53的最小值为 ，2+1+2+2 32故答案为： 32由题意可得 ，
10、 ，由柯西不等式可得0 0，即可得到所求最小(+1)+(+2)(2+1+2+2)+1 +1+2 +22值本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简变形能力、以及运算能力，属于中档题14. 已知 规定 其中 ，则()=21,322+2,3 ()= (),=1(1(),2( )的值为_5(32)【答案】360第 8 页，共 15 页【解析】解： ，()=21,322+2,3其中 ，()=(),=1(1(),2( )可得 ，5(32)=(4(32)，4(32)=(3(32)，3(32)=(2(32)，2(32)=(1(32)，1(32)=(32)=234+2=72，(1(32)=(72)=272+2
11、=3，(2(32)=(3)=29+2=20，(3(32)=(20)=201=19(4(32)=(19)=1921=360即 5(32)=360故答案为：360由分段函数、分段数列的解析式，结合 n 的变化、x 的变化，化简整理即可得到所求值本题考查分段函数的运用：求函数值，考查分段数列的运用，注意 n 的范围，考查化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15. 在一次有 1000 名高中生参加的物理、化学、生物三科竞赛中，每人只能参加其中的一科，各科参赛人数如下表：物理 化学 生物男生 400 200 100女生 200 50 50 在所有参赛的学生中，
12、用分层抽样的方法抽取 n 人，已知从生物学科的参赛( )者中抽取了 6 人，求 n 的值及从化学学科的参赛者中抽取的人数； 在物理学科的参赛者中，用分层抽样的方法抽取 6 人看作一个总体，从中任( )意选取 2 人，求 2 人中必有女生的概率第 9 页，共 15 页【答案】解： 用分层抽样法抽取 n 人，从生物学科的参赛者中抽取了 6 人，( )则 ，6= 150150+250+600解得 ；=40则从化学学科的参赛者中抽取的人数为 ；402501000=10 在物理学科的参赛者中，用分层抽样的方法抽取 6 人，( )其中男生 4 人，记为 A、B、C 、D，女生 2 人，记为 e，f；从这
13、6 人中任选 2 人，基本事件为AB、AC、AD 、 Ae、Af、BC、BD 、Be 、Bf、 CD、Ce、Cf、De 、Df、ef 共 15 种，这 2 人中必有女生的基本事件为Ae、 Af、Be、Bf、Ce、Cf、De、Df、ef 共 9 种，故所求的概率为 =915=35【解析】 利用分层抽样法，结合频率、频数与样本容量的关系，计算即可；( ) 利用分层抽样和列举法求出基本事件，计算所求的概率( )本题考查了分层抽样法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题16. 已知函数 ()=3(+2)(6)(3)14 求函数 的最小正周期及单调递减区间；( ) () 将函数 的图象向左平移 个单位后
14、，再将所得图象上各点的横坐标变( ) =()6为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若 ，且=() ()=1213，求 的值(56,43) (+512)【答案】解：函数 ()=3(+2)(6)(3)14化简 ()=3(66)(3+3)14 函数 的最小正周期 ；=322(12)2+(32)214=322142+34214=32214(12+122)+34(12122)14=322122=(26).( ) () =22=令 ， 2+2262+32 第 10 页，共 15 页得： +356+函数 的单调递减区间为 ， () +3,+56 函数 的图象向左平移 个单位，可得 ；再将所得图象
15、上各点( ) =()6 =(2+6)的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 ，=(+6)即 ，()=(+6)可得 ，()=(+6)=1213，(56,43)则 ，+6(,32) (+6)=513那么：(+512)=(+6+4)=(+6)4+(+6)4=221713=17226【解析】 利用诱导公式，二倍角、辅助角公式化简即可求函数 的最小正周期( ) ()及单调递减区间； 根据三角函数的平移变化规律求解 ，通过 ，且 ，利用三角( ) () ()=1213 (56,43)恒等式公式化简即可求 的值(+512)本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的公式化简函数的解析式是解决本题的
16、关键 要求熟练掌握公式的变形应用 属于中档题. .17. 如图，在三棱柱 中， 平面 ABC， ，D 在线段 上，111 1 11， ， 1=31 =3=1=4 求证： ；( ) 1 求证： 平面 ；( ) / 11 求直线 ED 与平面 所成角的正弦值( ) 11【答案】证明： 在三棱柱( )中， 平面 ABC，111 1第 11 页，共 15 页，1又 ， 平面 ，1= 11平面 ， 1 11 1 过 E 作 ，交 AB 于 F，连结 ，过 F 作 ，交 BC 于 G，连结 ，( ) / 1 / 1则四边形 EFGC 是平行四边形，在线段 上， ， ， 11 1=31 =3=1=4， ，1
17、=1 /1四边形 是平行四边形， ， 1 /1平面 ， 平面 ， 11 1 11平面 ；/ 11解： 以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系，( ) 10， ， 1， ，(1, 0)(0, 4)，=(1,1,4)平面 的法向量 0， ，11=(1, 0)设直线 ED 与平面 所成角为 ，11 则 =|=118=26直线 ED 与平面 所成角的正弦值为 1126【解析】 推导出 ，从而 平面 ，由此能证明 ( ) 1 11 1 过 E 作 ，交 AB 于 F，连结 ，过 F 作 ，交 BC 于 G，连结 ，( ) / 1 / 1则四边形 EFGC 是
18、平行四边形，推导出四边形 是平行四边形，从而 ，1 /1由此能证明 平面 ；/ 11 以 C 为原点，CA 为 x 轴， CB 为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向( ) 1量法能求出直线 ED 与平面 所成角的正弦值11本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18. 已知数列 满足条件 ， ，且 ， 1=1 2=3 +2=(1)(1)+2+1 求数列 的通项公式；( ) 设 ， 为数列 的前 n 项和，求证： ( ) =212 22+1【答案】解： 根据题意，数
19、列 满足 ，( ) +2=(1)(1)+2+1第 12 页，共 15 页当 n 为奇数时， ，+2=(1)+2+1=+2又由 ，则 ，1=1 =当 n 为偶数时， ，+2=(1)+2+1=3又由 ，则 ，2=3 =(3)=32则 ，=,(是奇数 )32,(是偶数 ) 证明：设 ，则 ；( ) =212 =213则 ，=13+39+527+213则有 ，13=19+327+581+213+1可得： ，23=13+2(19+127+13)213+1变形可得： ，=1+13若证明 则需要证明 ，22+1. 1+1322+1即证明 ，32+1 (1)即证明 ，321显然成立；故有 22+1【解析】 根
20、据题意，由数列的递推公式，分 n 为奇数、n 为偶数 2 种情况讨论，分( )析 与 的关系，综合即可得答案；+2 根据题意，由 的结论，分析可得 ，利用错位相减法分析可得( ) ( ) =213，据此用分析法证明 即可得结论=1+13 22+1本题考查数列的求和以及数列的递推公式，关键是求出数列的通项公式19. 已知椭圆 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成22+22=1(0) 12三角形的面积为 ，过椭圆的右焦点的动直线 l 与椭圆交于 A、B 两点3求椭圆的方程；() 若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D，与直线 l 交于 N，当( )时，求直线 l 的斜率的取值范
21、围；180) 12 =12椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为 ，可得 ，3122=3又 ，解得 ， ， ，22=2 =2 =3 =1则椭圆方程为 ；24+23=1 设 ， ，中点 ，( ) (1,1) (2,2) (0,0)设直线 AB： ，=(1)代入椭圆方程 ，32+42=12可得 ，(3+42)282+4212=0即有 ， ，1+2=823+4212=42123+42可得中点 ，(423+42, 33+42)AB 的垂直平分线的方程为 ，+33+42=1( 423+42)可得 ，(23+42,0)弦长 |=1+2|12|=1+2 ( 823+42)24(4212)3+42，=
22、1+2121+23+42 |41+2，|=32(1+2)3+42由 ，可得 ，180 (1)=(2)=0 1+20【答案】解： 定义域为 ，( )() (,+)其导数 ，()=1+1=+1当 时， ，函数 在 上是增函数；0 () (,+)当 时，在区间 上， ；在区间 上， ，0 (,0) ()0 (0,+) ()1=1()不合题意；0 ()=() ()=2(+)问题化为求 恒成立时 a 的取值范围()0由于 ，()=2 1+=2+(+)在区间 上， ；在区间 上， ， (,2) ()0的最小值为 ，所以只需 ，() (2) (2)0即 ， ，2(2)(2+)0 20构造函数： ， ，()=()() (0)=0， ，()()0 (1)=0，(1)0=(2)1+20【解析】 先求导数，研究导函数的函数值，通过导数大于 0 从而确定出函数( )的单调递增区间即可，求单调递增区间必须注意函数的定义域；() 讨论 ，取 ，证明不合题意； ，令 ，求出导数和单( ) 0 ()=()调区间，可得所求范围； 设 ，求得导数 ，判断符号，然后利用单调性，问题得以( ) ()=()() ()证明本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度