1、 1 / 22南京市 2017 年初中毕业生学业考试数学注意事项：1本试卷共 6 页，全卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效2请认真核对监考教师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上3答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置，在其他位置答题一律无效4作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚一、选择题（本大题共 6 小
2、题，每小题 2 分，共 12 分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1计算 12（18）（6）（3）2 的结果是（ ）A7 B8 C 21 D36【答案】C【考点】有理数的计算【分析】利用有理数的运算法则直接计算，注意运算顺序和符号变化【解答】解原式123（6） 15621故：选 C2计算 106（10 2） 3104 的结果是（ ）A10 3 B10 7 C10 8 D10 9【答案】C【考点】幂的运算【分析】利用幂的运算法则直接计算，注意运算顺序【解答】解原式10 610610410 664 10 8故：选 C3不透明袋子
3、中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征甲同学：它有 4 个面是三角形；乙同学：它有 8 条棱该模型的形状对应的立体图形可能是（ ）A三棱柱 B四棱柱 C三棱锥 D四棱锥【答案】D2 / 22【考点】几何体的一般特征【分析】分析 4 个选项中的各几何体的侧面、底面、棱的特征，即可得出正确选项【解答】几何体 图形 侧面形状 底面形状 棱数A三棱柱 3 个长方形 2 个三角形 9 条棱B四棱柱 4 个长方形 2 个四边形 12 条棱C三棱锥 3 个三角形 1 个三角形 6 条棱D四棱锥 4 个三角形 1 个四边形 8 条棱故：选 D4若 a ，则下列结论中正确的是（ ）3 10A1a3
4、 B1a4 C2a3 D2a4【答案】B【考点】估算【分析】用平方法分别估算出 、 的取值范围，借助数轴进而估算出 a 的取值范围3 10【解答】估算 ：1 21，2 2431 23估算 ：3 29，4 216103 410画数轴：故：1a4，选 B5若方程（x5） 219 的两根为 a 和 b，且 ab，则下列结论中正确的是（ ）Aa 是 19 的算术平方根 Bb 是 19 的平方根C a 5 是 19 的算术平方根 Db5 是 19 的平方根【答案】C【考点】直接开平方法解一元二次方程、平方根、算术平方根的定义【分析】分析 4 个选项中的各几何体的侧面、底面、棱的特征，即可得出正确选项【解
5、答】解方程（x5） 219 得：3 / 22x5 19x 15 ，x 25 19 19方程（x5） 219 的两根为 a 和 b，且 aba5 ，b5 19 19a5 ，b5 ，b510 19 19 19【选法一】针对解方程的结果，判断各选项的准确性a5 ，a 不是 19 的算术平方根，故：选项 A 错；19b5 ，b 不是 19 的平方根，故：选项 B 错；19a5 ，a5 是 19 的算术平方根，故：选项 C 正确；19b510 ，b5 不是 19 的平方根，故：选项 D 错19【选法二】针对各选项对应的 a、b、a 5、 b5 的结果，进行判断：对于选项：Aa 是 19 的算术平方根，则
6、 a ，故：错；19对于选项：Bb 是 19 的平方根，则 b ，故：错；19对于选项：Ca5 是 19 的算术平方根，则 a5 ，故：正确；19对于选项：Db5 是 19 的平方根，则 b5 ，故：错19综上，故选：C6过三点 A（2，2） ，B（6，2） ，C（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）A （4， ） B （4，3） C （5， ） D （5，3）176 176【答案】A【考点】三角形外接圆圆心的确定、相似三角形的应用、平面直角坐标系中线段长的计算、数形结合【分析】在平面直角坐标系中绘制符合条件的图形（如图） ，并判断图形的特征，不难发现：（1）AB x 轴，点 C 在 AB 的垂直平
7、分线上，ABC 是等腰三角形，且 CACB ；（2）过 A、B、C 三点的圆为 ABC 的外接圆，圆心 M 为 AB、AC（或 BC）两边垂直平分线 EM、CD 的交点；（3）欲计算 M 的坐标，只要计算出线段 DM（或 CM） 、AD 的长；（4）CEMCDA，可得相似比： ；CECD CMCA EMDA（5）CDA 的边长： AB|62| 4，AD AB2，CD|5 2|3，AC ，12 22 32 13CEM 中的边长：CE AC ； 12把求得的线段长代入（4）中的比例式中即可求得 CM 长，问题得解.【简解】如题，根据题意得：C 点在 AB 的中垂线上，CACB；过 A、B、C 三点
8、的圆为 ABC 的外接圆，圆心 M 为 AB、AC 两中垂线的交点 M；4 / 22AB 4，AD 2，CD3，AC ，CE 13RtCEMRtCDA CECD CMCACECACD CM 3CM13CM 136DMCD CM3 136 56M 点的纵坐标为：2 56 176故：M （4， ） ，选 A176二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7计算：|3|_； _（ 3） 2【答案】3；3【考点】|3|是绝对值的计算、 是二次根式的运算（ 3） 2【分析】根据绝对值的定义和二次根式运算的要求进行化简，注意符号的
9、变化|a| ； |a|a（a 0时 ）0（a 0时 ） a（a 0时 ） ) a2 a（a 0时 ）0（a 0时 ） a（a 0时 ） )【解答】|3|（3）3； | 3|3（ 3） 282016 年南京实现 GDP 约 10 500 亿元，成为全国第 11 个经济总量超过万亿的城市用科学记数法表示 10 500 是_【答案】1.0510 4【考点】科学记数法【分析】把一个大于 10 或小于 1 的正数写成 a10n 的形式，其中：1a10，n 是整数应用方法：把小数点移动到第一个不是 0 的数字后面，移几位就乘以 10 的几次幂（小数点向左移则指数为正，向右移则指数为负。 ）注意：本题要审题
10、，用科学记数法表示的数：是不带单位的 10 500，而不是 10 500 亿【解答】10 5001.0510 49若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_2x 1【答案】x1【考点】分式的定义【分析】分式在实数范围内有意义的条件是：分母0 5 / 22【解答】x10，解得 x110计算 的结果是_12 8 6【答案】6 3【考点】二次根式的化简【分析】根据二次根式运算法则进行化简，掌握常用化简方法、结论即可；本题涉及到的运算法则： （a0，b 0） ；常用结论： m （m0，n0） a b ab m2n n【解答】 12 8 6 223 862 3 4232 43 36 311方程
11、0 的解是_2x 2 1x【答案】x2【考点】解分式方程【分析】根据解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1、检验等即可得解 注意点主要有：去分母时不要漏乘，去分母后分子如是多项式需要添加括号【解答】去分母：2x（x2）0去括号：2xx20移项：2xx2合并同类项：x2系数化为 1：本题无需此步骤检验：经检验 x2 是原方程的解原方程的解为：x212已知关于 x 的方程 x2pxq0 的两根为3 和1，则 p_，q_【答案】4，3【考点】一元二次方程根的定义或根与系数的关系【分析】解法有 2 种：解法一：根据根的定义，分别把两根代入原方程中，得到两个关于 P、q 的
12、方程，将两方程组成方程组，解此方程组即可求解；解法二：根据一元二次方程 ax2bxc0（a0 ）根与系数的关系：x 1x 2 ，x 1x2 .分别把ba ca两根代入到两个关系式中即可求解比较上述两种解法，不难发现，解法二求解比较便捷6 / 22【解答】解法一：根据题意得： 9 3p q 01 p q 0)解这个方程组得： p 4q 3)解法二：根据题意得：（3）（1） ， （3）（1） p1 q1解得：p4，q313下面是某市 20132016 年私人汽车拥有量和年增长率的统计图该市私人汽车拥有量年净增长量最多的是_年，私人汽车拥有量年增长率最大的是_年【答案】2016，2015【考点】统计
13、图的特征及统计数据之间的数量关系【分析】理解题意、确定统计数据之间的数量关系是本题的关键：（1）年净增长量某年度拥有量上一年度拥有量，可从“私人汽车拥有量条形统计图”中获取数据；（2）年增长率 100，可以从“私人汽车拥有量年增长率折线某 年 度 拥 有 量 上 一 年 度 拥 有 量上 一 年 度 拥 有 量统计图”中直接得出答案 【解答】借用统计表来解答：14如图，1 是五边形 ABCDE 的一个外角若165，则A B CD_【答案】425【考点】多边形（n 边形）的内角和计算公式：（n2）180、多边形外角的定义（或外角和360） 年度 拥有量 年净增长量某年度拥有量上一年度拥有量年增长
14、率100某 年 度 拥 有 量 上 一 年 度 拥 有 量上 一 年 度 拥 有 量2013 100 182014 120 20 202015 150 30 25（最大）2016 183 33（最多） 221ADCBE7 / 22【分析】从不同的角度分析，可以得到不同的解法：解法一：用内角和公式求解：ABCD（n2）180AED（n2）180（1801） （n3）1801解法二：用外角的定义（或外角和360）：每一个内角180相邻的外角，故：ABC D180（n1）（3601） （n3）1801解法三：借助辅助线，如图，连接 ADBAEBC CDE四边形 ABCD 内角和23又1 是ADE 的
15、外角，123故：BAEBCCDE四边形 ABCD 内角和1小结：解法一为常规解法，解法二不常用，解法三比较便捷【解答】选用解法一：AED=1801115ABC D（52）180AED318011542515如图，四边形 ABCD 是菱形，O 经过点 A、C、D，与 BC 相交于点 E，连接 AC、AE若D 78，则EAC_【答案】27【考点】菱形的主要性质，圆内接四边形的性质，外角在解决问题中的应用【分析】根据菱形的性质可以得出：BD78、2 （180D ）等等角的度数；12根据圆内接四边形的性质可以得出：AEC180D，3D 78等等角的度数；又3 是AEC 的外角，312故：EAC（1）3
16、2【简解】在菱形 ABCD 中：2 （180D）5112四边形 ADCE 是O 的内接四边形3180AECD783 是AEC 的外角132785127321ADCBE8 / 22即：则EAC2716函数 y1x 与 y2 的图像如图所示，下列关于函数 yy 1y 2 的结论：函数的图像关于原点对称；4x当 x2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x0 时，函数的图像最低点的坐标是（2，4） 其中所有正确的结论的序号是_【答案】、【考点】函数的三种表达方式、函数图像的画法、图形（图像）的变换【分析】本题是选拔性功能比较强的试题，对学生数学思维能力的要求比较高，要解决此问题需要熟练掌握数形结合的数
17、学思想方法，同时要具备数学联想与想象等优良的思维品质（1）对函数 yy 1y 2 的理解：yy 1y 2，即 yx ：4x一个联想：x 是一个似曾相识的式子：4x我们知道由（x ） 20，可以得到：x 2 2；1x 1x2据此可以联想到（ ） 20，可得： x 2x1x（ ） 20，可得 x 4；x4x由此可见：当 x0 时，x 有最小值 4 此时 x2；4x故：结论正确；一个想象：我们学过图形的变换，涉及过图像的平移，那么 yx 其图像是不是可以看4x作是把 y2 沿 y 轴向上或向下平移对应|x|单位后得到的图形，故其图像也就是由两支曲线4x构成；（2）函数的表达方式有三种，可以用另两种方
18、式表示一下，看其有哪些特征列表：x 5 4 2 1 0.5 0.5 1 2 4 5yx4x 5.8 5 4 5 8.5 8.5 5 4 5 5.8画出图像：9 / 22【简解】选项函数的图像关于原点对称：观察表格或图像不难发现，其正确；选项当 x2 时，y 随 x 的增大而减小：观察图像当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，或者，当x0 时，y 没有意义，故其错误；选项当 x0 时，函数的图像最低点的坐标是（2，4）：通过联想或观察列表及图像，其正确；也可使用求差法判断：令 x2 时 y4；x2m 时，y2m 42 myy4（2m ）2m 42 m 42 m （ 2 m） （ 2 m） 42
19、 m m22 m图像位于第一象限2m0又 m20 0，且当 m0 时取等号m22 myy0即：yy故：当 x0 时，y 有最小值 4，此时 x2综上：正确的结论的序号是、三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （7 分）计算（a2 ）（a ） 1a 1a【考点】分式的化简、分解因式【分析】根据分式化简的一般步骤进行即可【解答】 （a2 ）（a ） 通分1a 1a a 2 2a 1a a 2 1a10 / 22 除法转化为乘法a 2 2a 1a aa2 1 分解因式（ a 1） 2a a（ a 1） （ a 1）
20、约分a 1a 118 （7 分）解不等式组 2x 6 x 2 3（ x 1） x 1 )请结合题意，完成本题解答 （1）解不等式，得_依据是：_（2）解不等式，得_（3）把不等式、和的解集在数轴上表示出来（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集_【考点】不等式（组）的解法，确定解集的公共部分【分析】应用不等式的性质，解不等式（组） ，确定解集的公共部分延伸到三个不等式组成的不等式组中，由于题干已有铺垫“从图中可以找出三个不等式解集的公共部分” ，降低了难度用数轴表示解集时，主要实心点与空心点的选择【解答】解：（1）x3.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
21、（2）3x3x13xx132x4x2（3） （4）2x219 （7 分）如图，在 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 AECF，EF、BD 相交于点 O求证 OEOF【考点】平行四边形的性质、平行四边形的判定或全等三角形的判定和性质【分析】根据平行四边形的性质，AD BC，ADBC，又11 / 22AE CF，得到 DEBF ，DE BF.方法一：若连接 BE、DF，则四边形 BEDF 为平行四边形，EF 与 BD 就互相平分，问题得解；方法二：DEBF 可得关于 DEO、BFO 两组内错角相等，另外DOE 与BOF 是对顶角，它们也相等，所以根据 ASA 或 AAS 可得两
22、个 全等，问题得解【解答】方法一：证明：连接 BE、DF四边形 ABCD 是平行四边形ADBC，AD BCAE BFADAEBC CF即 DEBF又DE BF四边形 BEDF 为平行四边形EF、 BD 相交于点 OOE OF方法二：证明：四边形 ABCD 是平行四边形ADBC，AD BC12，34AE BFADAEBC CF即 DEBFDOEBOFOE OF20 （8 分）某公司共 25 名员工，下表是他们月收入的资料月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 500 4 800 3 400 3 000 2 200人数 1 1 1 3 6 1 11 1（1）该公司员工月收入的中位
23、数是_元，众数是_元（2）根据上表，可以算得该公司员工收入的平均数为 6 276 元你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由【考点】数据的集中趋势，平均数、中位数、众数确定与应用【分析】反映一组数据的平均水平，要考虑异常数据的影响，平均数题设中已给出，注意中位数与众数的确12 / 22定方法中位数：把数据从小到大（或从大到小）排列，最中间的一个（或两个数据的平均数）数据 （带单位） ；众数：一组数据中出现次数最多的数据（带单位） 【解答】 （1）把数据从小到大排列，最中间的一个是第 13 个，所以，中位数为 3400 元；这组数据中出现次数最多的数据
24、为 3000 元，所以，众数为 3000 元答案：3400，3000（2）本题答案不为一，选平均数 6 276 元肯定不合适，因为 25 名员工中只有 3 名员工达到或超过平均数，绝大多数员工收入水平均未达到平均数水平参考答案：用中位数反映该公司全体员工收入水平较为合适在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大该公司员工收入的中位数是 3400 元，这说明除去月收入为 3400元的员工，一半员工收入高于 3400 元，另一半员工收入低于 3400 元因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势21 （8 分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回
25、答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是_；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率【考点】概率的计算方法，枚举法、树状图、列表法在求概率中的应用【分析】选用适当分析工具（枚举法、树状图、列表法）确定所有等可能的结果与符合条件的结果是解决此类问题的常用方法 【解答】 （1）枚举法：所有可能出现的结果有：男、女，共 2 种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满足“第二个孩子是女孩” （记为事件 A）的结果有 1 种，所有 P（A ） 12答案：12（2）枚举法：乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，所有可能出现的结果有：（男，男） 、
26、 （男，女） 、（女，男） 、 （女，女） ，共有 4 种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满足“少有一个孩子是女孩” （记为事件 A）的结果有 3 种，所有 P（A ） 34附：树状图22 （8 分） “直角”在初中几何学习中无处不在13 / 22如图，已知AOB请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断AOB 是否为直角（仅限用直尺和圆规）BAO 【考点】尺规作图【分析】首先要选择好判断一个角是否为直角的方法，我们学习过的与作直角相关的内容包括：过一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线、三角形的高、三线合一、勾股图（勾 3 股 4 弦 5） 、直径所对的圆周角是直角等，也可先作一个直角，
27、比较这两个角的大小小丽用的方法就是三线合一若用：过一点作已知直线的垂线，则可在 OA 上任意取一点 M，过点 M 作直线 OB 的垂线，若该垂线经过点 O，则AOB90；或者过点 O 作直线 OB 的垂线 OD，若 OD 与 OA 重合，则AOB90；若用：勾股图（勾 3 股 4 弦 5） ，可先确定单位线段长，在射线 OA 上依次截取 4 个单位长度线段OM，在射线 OB 上依次截取 3 个单位长度线段 ON，连接 MN，若 MN 为 5 个单位长度线段，则AOB90；若用：直径所对的圆周角是直角，则可在 OA、OB 上任意取两点 M、N，连接 MN以 MN 为直径作圆，若点 O 在所作圆上
28、，则AOB90；或者作OMN 的外接圆，若圆心在 MN 上，则AOB90； 方法还是很多的，不过最好要选择简便的方法【解答】参考解法：方法一：如图，在 OA、OB 上分别截取 OM4 个单位长度线段，ON3 个单位长度线段连接MN，若 MN3 个单位长度线段，则AOB 90；方法二：如图，在 OA、OB 上分别取点 M、N，以 MN 为直径画圆若点 O 在圆上，则AOB 90.23 （8 分）张老师计划到超市购买甲种文具 100 个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择如果调整文具购买品种，每减少购买 1 个甲种文具，需增加购买 2 个乙种文具设购买 x 个甲种文具时，需购买 y 个乙种14 /
29、 22文具（1）当减少购买 1 个甲种文具时，x_，y_；求 y 与 x 之间的函数关系式（2）已知甲种文具每个 5 元，乙种文具每个 3 元，张老师购买这两种文具共用去 540 元甲、乙两种文具各购买了多少个？【考点】一次函数的应用及二元一次方程组的应用【分析】根据题意描述的数量关系，进行解答即可；求一次函数 ykxb（k0）表达式有两种方式，其一是根据数量关系直接写出，其二是根据两组对应值（或两个点的坐标）建立 k、b 的方程组，求出函数表达式.本题描述的数量关系有：购买 x 个甲种文具，则减少购买（100x）个甲种文具；购买 y 个乙种文具的数量2减少购买的甲种文具的数量； 购买甲种文具
30、的金额购买乙种文具的金额540 元【解答】解：（1）：当减少购买 1 个甲种文具时，x100199，y2；答案：99，2：购买 x 个甲种文具时，减少购买（100x）个甲种文具根据题意，得：y2（100x）2x200y 与 x 之间的函数关系式为：y2x200（2）根据题意，得： y 2x 2005x 3y 540)解得： x 60y 80)答：甲、乙两种文具各购买了 60 个和 80 个24 （8 分）如图，PA、PB 是O 的切线，A、B 为切点连接 AO 并延长，交 PB 的延长线于点 C连接PO，交O 于点 D（1）求证：PO 平分APC （2）连接 DB若C30，求证：DBAC【考点
31、】切线的性质，圆周角定理、三角形全等的判定、角平分线的性质等【分析】熟悉常用的解题思路，如：PA、PB 是O 的切线，连接经过切点的半径，则OAPOBP90，很容易即可证得 OAPOBP；C30，则图中所有角的度数均可以求出来，应用角的关系，易证 DBAC【解答】证明：（1）如图，连接 OBPA、PB 是O 的切线，A、B 为切点OAAP ，OB BP15 / 22OAOBPO 平分 APC（2）OAAP ，OBBPOBC OBP CAP90C30190C60APC90C 60PO 平分 APC4 APC3012290460OB ODOBD 为等边三角形36013DB AC25 （8 分）如图
32、，港口 B 位于港口 A 的南偏东 37方向，灯塔 C 恰好在 AB 的中点处一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口 B 的正西方向的 D 处，它沿正北方向航行 5km 到达 E 处，测得灯塔 C 在北偏东 45方向上这时，E 处距离港口 A 有多远？（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）【考点】三角函数的应用，中位线性质或图形的相似等【分析】三角函数的应用通常需要构造直角三角形，解法有两种，其一为直接计算，其二为不能直接计算时需要建立方程（组）进行解答，方程模型通常有：线段的和差、三角函数式、勾股方程等本题已知条件中C 为中点，可以取 AD 中点 F，连接 C
33、F，得到中位线 CF，则 CFBD，从而构造出两个直角三角形；方程可以由：ADAEDE（5km）建立，只要选择一个线段长为未知数（x） ，把 AD、AE 分别用 x 的代数式表示出来即可求解，显然，选择 CF 为未知数最为合适【解答】解：如图，取 AD 中点 F，连接 CF，设 CFxC 恰好在 AB 的中点CF 是ABD 的中位线CFBD，BD2CF2x在 RtACF 中，A 37tanA CFAF16 / 22AF CFtanA xtan37在 RtECF 中，CEF45tanCEF CFEFEF xCFtan CEF xtan45AE AFEF xxtan37在 RtABD 中，A37t
34、anA BDADAD BDtanA 2xtan37ADAEDE （ x）52xtan37 xtan37即 x5xtan37x 155tan371 tan3750.751 0.75AE AFEF x 1535（km） xtan37 15tan37E 处距离港口 A 大约 35km26 （8 分）已知函数 yx 2（m1）xm （m 为常数） （1）该函数的图像与 x 轴公共点的个数是（ ）A0 B1 C 2 D1 或 2（2）求证：不论 m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数 y（x1） 2 的图像上（3）当2m3 时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围【考点】二次函数的图像与性质，二次函数图
35、像与 x 轴交点个数的判定，点与图像位置关系的判定，二次函数的取值范围等【分析】解决二次函数问题，需要借助图像，形、数、式要充分结合起来，寻求问题解决的突破口判定函数的图像与 x 轴公共点的个数：即确定 b24ac 的值与 0 的大小关系；判断一个点是否在函数图像上，通常是代入横坐标，比较纵坐标，实际上是将位置关系问题，转化为数（代数式）的计算（化简）问题本函数 yx 2（m1）xm 根据顶点坐标公式（或配方法）等方法可以得到顶点坐标为（ ， ） ，把顶点横坐标 x 代入m 12 （ m 1） 24 m 1217 / 22y（x1） 2 中化简，将化简结果与顶点纵坐标 比较，如相等，则得证，实
36、际上就是（ m 1） 24代数式的化简求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围，根据顶点纵坐标：k ，可以把顶点的纵坐（ m 1） 24标 k 看作是关于 m 的二次函数，问题也就转化为当 2m 3 时，求函数 k 的取值（ m 1） 24范围了，结合图像（对应于解答图中的实线部分）即可得解【解答】解：（1）b 24ac（m1） 24（1）mm 22m 14mm 22m 1（m1） 2（m1）20b 24ac0当 b24ac0 时，该函数的图像与 x 轴有唯一的公共点；当 b24ac0 时，该函数的图像与 x 轴有 2 个公共点；综上：该函数的图像与 x 轴有 1 个或 2 个公共点答案：D（2）
37、设函数 yx 2（m1）xm 的顶点坐标为（h，k） 根据顶点坐标公式得：顶点横坐标：h b2a m 12（ 1） m 12把顶点横坐标：h ，代入函数关系式，得：m 12顶点纵坐标： k（ ） 2（m1） m 【注：也可用顶点纵坐标公式来求】m 12 m 12 m（ m 1） 24 （ m 1） 22 （ m 1） 2 4m4 （ m 1） 24即：顶点坐标为：（ ， ） m 12 （ m 1） 24【注】顶点坐标也可通过配方法求得：yx 2（m1）xmx 2（m1）xmx 2（m1）x（ ） 2（ ） 2m m 12 m 12（x ） 2（ ） 2mm 12 m 12（x ） 2（ ） 2
38、mm 12 m 1218 / 22（x ） 2 m 12 （ m 1） 24把 x ，代入函数 y（x1） 2 得：m 12y（ 1） 2（ ） 2 m 12 m 12 （ m 1） 24不论 m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数 y（x1） 2 的图像上（3）顶点纵坐标 k ，k 为 m 的二次函数（ m 1） 24该函数的顶点坐标为（1，0） ，如图所示当 m1 是，k 有最小值 0当 m1 时，k 随 m 的增大而减小当 m1 时，k 随 m 的增大而增大当 m2 时，k 14当 m3 时，k4当2m3 时，该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围是：0k427 （11 分）折纸的思考【操作
39、体验】用一张矩形纸片折等边三角形第一步对折纸片 ABCD（ABBC ） （图 ）使 AB 与 DC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平（图） 第二步如图，再一次折叠纸片，使点 C 落在 EF 上的 P 处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BG，折出PB、PC，得到PBC（1）说明PBC 是等边三角形【数学思考】（2）如图，小明画的矩形 ABCD 和等边三角形 PBC他发现，在矩形 ABCD 中把PBC 经过图形变化，可以得到图中更大的等边三角形请描述图形变化的过程19 / 22（3）已知矩形一边长 3cm 另一边长 acm对于每一个确定的 a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形请画出不同情形的
40、示意图，并写出对应的 a 的取值范围【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长为 4cm 和 1cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为_cm【考点】轴对称的性质，图形的变换，相似三角形的判定与性质，相似比方程模型等【分析】问题（1）应用折叠（重合）可得全等等相关知识；问题（2）审请题意，实际上问的就是图中的等边三角形经过哪些变换可得到图中的等边三角形，考查的图形的变换作图：旋转、位似（放大） ；问题（3）分析讨论情况 1：如图 1，一边在边长为 3cm 的边上，随着 a 逐渐增大，高 h（ha）逐渐增大（如图 2） ，当边长增大到 3cm 时（如图 3） ，达到最大，a
41、若再增大，等边三角形的一个顶点就在矩形外部了（如图 4） ，故此种情况 a 的最大值：ah .即：0a ；3cmacmh 3cmacmh 3cmacmh 3cmacmh图 1 图 2 图 3 图 4情况 2：一边在边长为 acm 的边上（如图 1） ，此时等边三角形的边长为 2 ，a2 方能在形内画3 3出最大的等边三角形（如图 2） ，若 a2 ，等边三角形的一个顶点就在矩形外部了（如图33） ，此种情况，a 的最小值为 2 .3即：a2 ；320 / 223cmacm 3cmacm 3cmacm图 1 图 2 图 3情况 3：介于上述两种情况之间，三边都在矩形的内部. 以情况 1 的情形为
42、起点：如图 1，此时等边三角形 AMN 的顶点 M 与 C 点重合，a ，点 M 由 C 点沿 CD 方向移动；当运动到如图 2 位置时，边长 BMBN3，线段 BN 向点 A 逼近，若此时 a 的值保持不变，点 N 就在矩形的外部，故 a 的值要增大，增大 AD 向上平移经过点 N 时的距离，如图 3所示；点 M 继续移动，如图 4，a 则继续增大；最终，BN 与 AB 重合，此时出现情况 2，如图 5；此时 a 的取值范围为： a2 33cmacmNDCBA M3cmacmNDCBA M3cmacmNDCBA M图 1 图 2 图 33cmacmN DCBA M3cmacmN DCBA M图 4 图 5问题（4） ，画出符合条件的图形，进行比较21 / 22裁法 1：a4cm ； 裁法 2：a cm； 裁法 3：a cm17165简述裁法 3 的解题过程：BAE90AEBFEC，又BC 90ABEECF = = ABECAEE