1、2017 年湖南省岳阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）16 的相反数是（ ）A6 B C6 D6【分析】根据相反数的定义求解即可【解答】解：6 的相反数是6，故选 A【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数2下列运算正确的是（ ）A 5=x5 Cx 3x2=x6 D3x 2+2x3=5x5【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项计算法则进行解答【解答】解：A、原式=x 6，故本选项错误；B、原式 =x5，故本选项正确；C、原式 =x5，故本选项错误；D、3x 2 与 2x3 不是同类项，不能合并，故本选
2、项错误；故选：B 【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键3据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为 39000000000 吨油当量，将 39000000000 用科学记数法表示为（ ）A3.910 10 B3.910 9 C0.3910 11 D3910 9【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中1|a|10， n 为整数，据此判断即可【解答】解：39000000000=3.910 10故选：A【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|1
3、0 ，确定 a 与 n 的值是解题的关键4下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）A B C D【分析】分别分析圆锥、圆柱、球体、三棱柱的主视图、左视图、俯视图，从而得出结论【解答】解：球的主视图、左视图、俯视图都是圆，主视图、左视图、俯视图都相同的是 B，故选 B【点评】本题考查三视图，熟练掌握常见几何体的三视图，是解决问题的关键5从 ，0， ，3.14，6 这 5 个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）A B C D【分析】根据有理数的定义可找出在 ，0，3.14，6 这 5 个数中只有0、3.14 和 6 为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率【解答】
4、解：在 ，0，3.14，6 这 5 个数中只有 0、3.14 和 6 为有理数，从 ，0， ，3.14，6 这 5 个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是 故选 C【点评】本题考查了概率公式以及有理数，根据有理数的定义找出五个数中的有理数的个数是解题的关键6解分式方程 =1，可知方程的解为（ ）Ax=1 Bx=3 Cx= D无解【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案【解答】解：去分母得：22x=x1，解得：x=1 ，检验：当 x=1 时，x1=0 ，故此方程无解故选：D【点评】此题主要考查了解分式方程，正确掌握解题步骤是解题关键7观察下列等式：2 1=2，2 2=4，
5、2 3=8，2 4=16，2 5=32，2 6=64，根据这个规律，则 21+22+23+24+22017 的末位数字是（ ）A0 B2 C4 D6【分析】根据题目中的式子可以知道，末尾数字出现的 2、4、8、6 的顺序出现，从而可以求得 21+22+23+24+22017 的末位数字本题得以解决【解答】解：2 1=2，2 2=4，2 3=8，2 4=16，2 5=32，2 6=64，20174=5061 ，（2+4+8+6）506+2=10122，2 1+22+23+24+22017 的末位数字是 2，故选 B【点评】本题考查尾数特征，解答本题的关键是发现题目中的尾数的变化规律，求出相应的式
6、子的末位数字8已知点 A 在函数 y1= （x0）的图象上，点 B 在直线 y2=kx+1+k（k 为常数，且 k0）上若 A，B 两点关于原点对称，则称点 A，B 为函数 y1，y 2 图象上的一对“ 友好点” 请问这两个函数图象上的 “友好点”对数的情况为（ ）A有 1 对或 2 对 B只有 1 对 C只有 2 对 D有 2 对或 3 对【分析】根据“ 友好点” 的定义知，函数 y1 图象上点 A（a ， ）关于原点的对称点 B（ a， ）一定位于直线 y2 上，即方程 ka2（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a1）（ka1）=0，据此可得答案【解答】解：设 A（a ， ），由题意知
7、，点 A 关于原点的对称点 B（a， ），）在直线 y2=kx+1+k 上，则 =ak+1+k，整理，得：ka 2（k+1）a+1=0 ，即（a1）（ka1）=0，a1=0 或 ka1=0，则 a=1 或 ka1=0，若 k=0，则 a=1，此时方程只有 1 个实数根，即两个函数图象上的“友好点” 只有 1 对；若 k0，则 a= ，此时方程有 2 个实数根，即两个函数图象上的“友好点” 有2 对，综上，这两个函数图象上的“友好点” 对数情况为 1 对或 2 对，故选：A【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点 ”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征
8、转化为方程的问题求解是解题的关键二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）9函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 x7 【分析】根据分母不为零，即可解决问题【解答】解：函数 y= 中自变量 x 的范围是 x 7故答案为 x7【点评】本题考查函数自变量的取值范围，知道分母不能为零是解题的关键10因式分解：x 26x+9= （x 3） 2 【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可【解答】解：x 26x+9=（x 3） 2【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键11在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：
9、95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数是 92 ，众数是 95 【分析】环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数【解答】解：这组数据从小到大排列为：83，85，90，92，95，95，96则中位数是：92；众数是 95故答案是：92，95【点评】本题考查了众数、中位数的定义，注意中位数是大小处于中间未知的数，首先把数从小到大排列12如图，点 P 是NOM 的边 OM 上一点，PD ON 于点 D，OPD=30，PQON，则MPQ 的度数是 60 【分析】根据直角三角形的内角和，
10、求得O，再根据平行线的性质，即可得到MPQ 【解答】解：PDON 于点 D，OPD=30，Rt OPD 中，O=60，又PQON，MPQ=O=60，故答案为：60 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等13不等式组 的解集是 x 3 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可【解答】解：解不等式得：x3，解不等式得：x3，不等式组的解集为 x3，故答案为：x3【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键14在ABC 中 BC=2，AB=2 ，AC=b ，且关于 x 的方程
11、x24x+b=0 有两个相等的实数根，则 AC 边上的中线长为 2 【分析】由根的判别式求出 AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出 ABC 是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论【解答】解：关于 x 的方程 x24x+b=0 有两个相等的实数根，=16 4b=0，AC=b=4，BC=2，AB=2 ，BC 2+AB2=AC2，ABC 是直角三角形，AC 是斜边，AC 边上的中线长= AC=2；故答案为：2【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明ABC 是直角三角形是解决问题的关键15我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术” ，认为圆内接正
12、多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率 的近似值，设半径为 r的圆内接正 n 边形的周长为 L，圆的直径为 d，如图所示，当 n=6 时， =3，那么当 n=12 时， = 3.10 （结果精确到 0.01，参考数据：sin15=cos750.259）【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为 30的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得L=6.207r，d=2r，进而得到 = 3.10【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成如图所示的十二个等腰三角形，其顶角为 30，即 O=30，ABO= A=75，作 BCAO 于点 C，则
13、ABC=15，AO=BO=r，BC= r，OC= r，AC=（1 ）r，Rt ABC 中，cosA= ，即 0.259= ，AB0.517r，L=120.517r=6.207r，又d=2r， = 3.10，故答案为：3.10【点评】本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，把一个圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆16如图，O 为等腰ABC 的外接圆，直径 AB=12，P 为弧 上任意一点（不与 B，C 重合），直线 CP 交 AB 延长线于点 Q，O 在点 P 处切线 PD 交BQ 于点 D，下列
14、结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）若PAB=30，则弧 的长为 ；若 PDBC，则 AP 平分CAB；若 PB=BD，则 PD=6 ；无论点 P 在弧 上的位置如何变化， CPCQ 为定值【分析】根据POB=60，OB=6，即可求得弧 的长；根据切线的性质以及垂径定理，即可得到 = ，据此可得 AP 平分CAB；根据BP=BO=PO=6，可得BOP 是等边三角形，据此即可得出 PD=6 ；判定ACPQCA，即可得到 = ，即 CPCQ=CA2，据此可得 CPCQ 为定值【解答】解：如图，连接 OP，AO=OP， PAB=30，POB=60，AB=12，OB=6，弧 的长为 =2，故错误；
15、PD 是O 的切线，OPPD，PDBC，OPBC， = ，PAC=PAB，AP 平分CAB ，故正确；若 PB=BD，则 BPD=BDP ，OPPD，BPD+BPO=BDP+BOP ，BOP=BPO，BP=BO=PO=6，即BOP 是等边三角形，PD= OP=6 ，故正确；AC=BC，BAC=ABC ，又ABC=APC，APC=BAC，又ACP=QCA，ACPQCA， = ，即 CPCQ=CA2（定值），故正确；故答案为：【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质以及弧长公式的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形，解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦
16、所对的弧三、解答题（本大题共 8 小题，共 64 分）17（6 分）计算：2sin60 +|3 |+（2） 0（ ） 1【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可【解答】解：原式=2 +3 +12=2【点评】本题考查的是实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质是解题的关键18（6 分）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程已知：如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O， AC
17、 BD 求证： 四边形 ABCD 是菱形 【分析】由命题的题设和结论可填出答案，由平行四边形的性质可证得 AC 为线段 BD 的垂直平分线，可求得 AB=AD，可得四边形 ABCD 是菱形【解答】已知：如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AC BD，求证：四边形 ABCD 是菱形证明：四边形 ABCD 为平行四边形，BO=DO，ACBD ，AC 垂直平分 BD，AB=AD，四边形 ABCD 为菱形故答案为：ACBD；四边形 ABCD 是菱形【点评】本题主要考查菱形的判定及平行四边形的性质，利用平行四边形的性质证得 AB=AD 是解题的关键19（8 分）如图，直线 y=x+b
18、与双曲线 y= （k 为常数，k0）在第一象限内交于点 A（1，2），且与 x 轴、y 轴分别交于 B，C 两点（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点 P 在 x 轴上，且 BCP 的面积等于 2，求 P 点的坐标【分析】（1）把 A（1，2）代入双曲线以及直线 y=x+b，分别可得 k，b 的值；（2）先根据直线解析式得到 BO=CO=1，再根据BCP 的面积等于 2，即可得到 P 的坐标【解答】解：（1）把 A（1，2）代入双曲线 y= ，可得 k=2，双曲线的解析式为 y= ；把 A（1，2）代入直线 y=x+b，可得 b=1，直线的解析式为 y=x+1；（2）设 P 点的坐标为（ x，
19、0），在 y=x+1 中，令 y=0，则 x=1；令 x=0，则 y=1，B（ 1，0），C （0，1），即 BO=1=CO，BCP 的面积等于 2， BPCO=2，即 |x（ 1）|1=2 ，解得 x=3 或 5，P 点的坐标为（ 3，0）或（ 5，0）【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式20（8 分）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等第一次他们领来这批书的 ，结果打了 16 个包还多 40 本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了
20、9 个包，那么这批书共有多少本？【分析】设这批书共有 3x 本，根据每包书的数目相等即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设这批书共有 3x 本，根据题意得： = ，解得：x=500，3x=1500答：这批书共有 500 本【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据每包书的数目相等列出关于x 的一元一次方程是解题的关键21（8 分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：课外阅读时间（单位：频数（人数） 频率小时）0t2 2 0.0
21、42t4 3 0.064t6 15 0.306t8 a 0.50t8 5 b请根据图表信息回答下列问题：（1）频数分布表中的 a= 25 ，b= 0.10 ；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）学校将每周课外阅读时间在 8 小时以上的学生评为“阅读之星” ，请你估计该校 2000 名学生中评为“阅读之星” 的有多少人？【分析】（1）由阅读时间为 0t2 的频数除以频率求出总人数，确定出 a 与b 的值即可；（2）补全条形统计图即可；（3）由阅读时间在 8 小时以上的百分比乘以 2000 即可得到结果【解答】解：（1）根据题意得：20.04=50（人），则 a=50（2+3+15+5）=25；
22、b=5 50=0.10；故答案为：25；0.10；（2）阅读时间为 6t8 的学生有 25 人，补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：20000.10=200（人），则该校 2000 名学生中评为“阅读之星” 的有 200 人【点评】此题考查了频率（数）分布表，条形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键22（8 分）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管 AB与支架 CD 所在直线相交于点 O，且 OB=OD，支架 CD 与水平线 AE 垂直，BAC=CDE=30，DE=80cm，AC=165cm （1）求支架 CD 的长；（2）求真空热水管 AB 的长（
23、结果保留根号）【分析】（1）在 RtCDE 中，根据CDE=30 ，DE=80cm，求出支架 CD 的长是多少即可（2）首先在 RtOAC 中，根据 BAC=30，AC=165cm，求出 OC 的长是多少，进而求出 OD 的长是多少；然后求出 OA 的长是多少，即可求出真空热水管 AB 的长是多少【解答】解：（1）在 RtCDE 中，CDE=30 ，DE=80cm，CD=80cos30=80 =40 （cm）（2）在 RtOAC 中， BAC=30，AC=165cm，OC=AC tan30=165 =55 （cm），OD=OCCD=55 40 =15 （cm ），AB=AOOB=AOOD=55
24、 215 =95 （cm）【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）23（10 分）问题背景：已知EDF 的顶点 D 在ABC 的边 AB 所在直线上（不与 A，B 重合），DE 交 AC 所在直线于点 M，DF 交 BC 所在直线于点N，记ADM 的面积为 S1，BND 的面积为 S2（1）初步尝试：如图，当ABC 是等边三角形，AB=6，EDF=A，且DEBC ，AD=2 时，则 S1S2= 12 ；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点 D 沿 AB 平移，使 AD=4，再将EDF 绕点 D
25、 旋转至如图所示位置，求 S1S2 的值；（3）延伸拓展：当ABC 是等腰三角形时，设B=A=EDF=（）如图 ，当点 D 在线段 AB 上运动时，设 AD=a，BD=b ，求 S1S2 的表达式（结果用 a，b 和 的三角函数表示）（）如图 ，当点 D 在 BA 的延长线上运动时，设 AD=a，BD=b ，直接写出S1S2 的表达式，不必写出解答过程【分析】（1）首先证明ADM，BDN 都是等边三角形，可得S1= 22= ，S 2= （4） 2=4 ，由此即可解决问题；（2）如图 2 中，设 AM=x，BN=y首先证明AMDBDN，可得 = ，推出 = ，推出 xy=8，由 S1= ADAM
26、sin60= x，S 2= DBsin60= y，可得 S1S2= x y= xy=12；（3）如图 3 中，设 AM=x，BN=y ，同法可证AMDBDN，可得 xy=ab，由 S1= ADAMsin= axsin，S 2= DBBNsin= bysin，可得 S1S2= （ab ）2sin2（）结论不变，证明方法类似；【解答】解：（1）如图 1 中，ABC 是等边三角形，AB=CB=AC=6，A=B=60 ，DE BC，EDF=60，BND= EDF=60，BDN= ADM=60，ADM，BDN 都是等边三角形，S 1= 22= ，S 2= （4） 2=4 ，S 1S2=12，故答案为 1
27、2（2）如图 2 中，设 AM=x，BN=yMDB= MDN+NDB=A+AMD，MDN=A ，AMD= NDB，A= B ，AMDBDN， = ， = ，xy=8 ，S 1= ADAMsin60= x，S 2= DBsin60= y，S 1S2= x y= xy=12（3）如图 3 中，设 AM=x，BN=y ，同法可证AMDBDN，可得 xy=ab，S 1= ADAMsin= axsin，S 2= DBBNsin= bysin，S 1S2= （ab） 2sin2如图 4 中，设 AM=x，BN=y，同法可证AMDBDN，可得 xy=ab，S 1= ADAMsin= axsin，S 2= D
28、BBNsin= bysin，S 1S2= （ab） 2sin2【点评】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题24（10 分）如图，抛物线 y= x2+bx+c 经过点 B（3，0），C（0，2），直线 l：y= x 交 y 轴于点 E，且与抛物线交于 A，D 两点，P 为抛物线上一动点（不与 A，D 重合）（1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 在直线 l 下方时，过点 P 作 PMx 轴交 l 于点 M，PNy 轴交 l 于点 N，求 PM+PN 的最大值（3
29、）设 F 为直线 l 上的点，以 E，C，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 F 的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）把 B（3，0），C（0， 2）代入 y= x2+bx+c 解方程组即可得到结论；（2）设 P（m ， m2 m2），得到 N（m， m ），M（m 2+2m+2， m2m2），根据二次函数的性质即可得到结论；（3）求得 E（0， ），得到 CE= ，设 P（m， m2 m2），以 CE 为边，根据 CE=PF，列方程得到 m=1，m=0（舍去），以 CE 为对角线，连接 PF交 CE 于 G，CG=GE，PG=FG，得到 G（0， ），设 P（m ，
30、 m2 m2），则 F（m， m ），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论【解答】解：（1）把 B（3，0），C（0， 2）代入 y= x2+bx+c 得，抛物线的解析式为：y= x2 x2；（2）设 P（m ， m2 m2），PMx 轴，PN y 轴， M，N 在直线 AD 上，N（m， m ），M（ m2+2m+2， m2 m2），PM+PN= m2+2m+2m m m2+ m+2= m2+ m+ = （m ） 2+ ，当 m= 时，PM+PN 的最大值是 ；（3）能，理由：y= x 交 y 轴于点 E，E（0， ），CE= ，设 P（m， m2 m2），以 E，C，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形，以 CE 为边，CEPF ，CE=PF ，F（m， m ）， m m2+ m+2= ，m=1 ，m=0（舍去），以 CE 为对角线，连接 PF 交 CE 于 G，CG=GE，PG=FG，G（0， ），设 P（m， m2 m2），则 F（m， m ）， （ m2 m2+ m ）= ，0，此方程无实数根，综上所述，当 m=1 时，以 E，C，P，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键