1、小结与复习,第十八章平行四边形,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,一、几种特殊四边形的性质,对边平行且相等,对边平行且相等,对边平行 且四边相等,对边平行 且四边相等,对角相等,四个角 都是直角,对角相等,四个角 都是直角,互相平分,互相平分且相等,互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角,轴对称图形,轴对称图形,轴对称图形,互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角,二、几种特殊四边形的常用判定方法：,1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等 3.两组对角分别相等 4.对角线互相平分 5.一组对边平行且相等,1.定义：有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3
2、.有三个角是直角的四边形,1.定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2.对角线互相垂直的平行四边形,3.四条边都相等的四边形,1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形,5种判定方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,四、其他重要概念及性质,1.两条平行线之间的距离：,2.三角形的中位线定理：,两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的
3、距离.,三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.,3.直角三角形斜边上的中线：,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,考点讲练,例1 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AGCD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG. (1)求证：四边形DEGF是平行四边形； (2)如果点G是BC的中点，且BC12，DC10，求四边形AGCD的面积,解：(1)AGDC，ADBC， 四边形AGCD是平行四边形， AGDC.,E、F分别为AG、DC的中点， GE AG，DF DC， 即GEDF，GEDF， 四边形DEGF是平行四边形. (2)点G是BC的中点，BC12，
4、 BGCG BC6. 四边形AGCD是平行四边形，DC10，AGDC10， 在RtABG中，根据勾股定理得AB8， 四边形AGCD的面积为6848.,例2 在ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DFAC交直线AB于点F，DEAB交直线AC于点E (1)当点D在边BC上时，如图，求证：DE+DF=AC,证明：DFAC，DEAB， 四边形AFDE是平行四边形 AF=DE. DFAC，FDB=C, 又AB=AC， B=C， FDB=B, DF=BF, DE+DF=AF+BF=AB=AC.,（2）当点D在边BC的延长线上时，如图；当点D在边BC的反向延长线上时，如图，请分别写出图、
5、图中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明 （3）若AC=6，DE=4，求DF的值,解：（2）图中：AC+DE=DF图中：AC+DF=DE （3）当如图的情况，DF=AC-DE=6-4=2；当如图的情况，DF=AC+DE=6+4=10,2.如图，在ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则BOC的周长是 （ ） A45cm B59cm C62cm D90cm,B,1.如图，在ABCD中，ODA=90，AC=10cm， BD=6cm，则AD的长为 （ ） A4cm B5cm C6cm D8cm,A,3.如图是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理
6、如图雨刷EFAD，垂足为A，AB=CD且AD=BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论,证明：AB=CD，AD=BC， 四边形ABCD是平行四边形， ADBC. 又EFAD， EFBC,图,图,例3 如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高 （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）求证：DHF=DEF,证明：（1）点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， DE、EF都是ABC的中位线， EFAB，DEAC， 四边形ADEF是平行四边形.,（2）四边形ADEF是平行四边形， DEF=BAC， D，F分别是AB，CA的
7、中点，AH是边BC上的高， DH=AD，FH=AF， DAH=DHA，FAH=FHA， DAH+FAH=BAC，DHA+FHA=DHF， DHF=BAC， DHF=DEF,例4 如图，在RtABC中，ACB=90，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF= BC若AB=12，求EF的长,解：连接CD， 点D，E分别是边AB，AC的中点， DEBC，DE= BC，DC= AB. CF= BC， DE FC，DE =FC， 四边形DEFC是平行四边形， DC=EF， EF= AB=6,5.如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=4m，A
8、=30，则DE等于 （ ） A1m B2m C3m D4m,A,4.如图，等边三角形ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则DEC的度数为（ ）A150 B120C60 D30,B,6.如图，在ABC中，CAB=90，DE、DF是ABC的中位线，连接EF、AD，求证：EF=AD,证明：DE，DF是ABC的中位线， DEAB，DFAC， 四边形AEDF是平行四边形， 又BAC=90， 平行四边形AEDF是矩形， EF=AD,例5 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，过点D作EDAC，两线相交于点E 求证：四边形AODE是菱形；,证明：AEBD，EDAC， 四
9、边形AODE是平行四边形. 四边形ABCD是矩形， AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD， OA=OC=OD， 四边形AODE是菱形.,【变式题】如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BEAC，CEBD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.,D,A,B,C,E,O,解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形.ACBD.BOC=90.BEAC,CEBD，四边形CEBO是平行四边形.四边形CEBO是矩形.,例6 如图，已知在四边形ABFC中，ACB90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CFAE； (1)试判断四边形BECF是
10、什么四边形？并说明理由； (2)当A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论,解：(1)四边形BECF是菱形 理由如下：EF垂直平分BC， BFFC，BEEC， 31. ACB90， 3490，1290,24，,ECAE，BEAE. CFAE， BEECCFBF， 四边形BECF是菱形； (2)当A45时，菱形BECF是正方形 证明如下：A45，ACB90， CBA45，EBF2CBA90， 菱形BECF是正方形,正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；还可以先判定四边形是平行四边形，再用或
11、进行判定,例7 如图，ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角ACG的平分线于点F，连接AE、AF. (1)求证：ECF90； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请 说明理由；,(1)证明：CE平分BCO， CF平分GCO， OCEBCE，OCFGCF， ECF 18090.,(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形理由如下： MNBC， OECBCE，OFCGCF. 又CE平分BCO，CF平分GCO， OCEBCE，OCFGCF， OCEOEC，OCFOFC， EOCO，FOCO， OEOF. 又当点O运
12、动到AC的中点时，AOCO， 四边形AECF是平行四边形. ECF90， 四边形AECF是矩形.,解：当点O运动到AC的中点时， 且满足ACB为直角时，四边形AECF是正方形 由(2)知当点O运动到AC的中点时，四边形AECF 是矩形， 已知MNBC， 当ACB90， 则AOFCOECOFAOE90， 即ACEF， 四边形AECF是正方形,(3)在(2)的条件下，ABC应该满足什么条件时， 四边形AECF为正方形,7.如图，两个含有30角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的是（ ） A四边形ACDF是平行四边形 B当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 C当点B与点
13、E重合时，四边形ACDF是菱形 D四边形ACDF不可能是正方形,B,8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为_,30,9.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，12，34. (1)证明：ABEDAF； (2)若AGB30，求EF的长,(1)证明：四边形ABCD是正方形， ABAD. 在ABE和DAF中，ABEDAF.,(2) 解：四边形ABCD是正方形， 1490. 34， 1390， AFD90. 在正方形ABCD中， ADBC， 1AGB30. 在RtADF中，AFD90，AD2
14、， AF ，DF1. 由(1)得ABEDAF， AEDF1， EFAFAE 1.,例8 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少.,解：如图，在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，ADBC， AEB=CBE 又ABE=CBE, ABE=AEB, AB=AE （1）当AE=2时，则平行四边形的周长=2(2+5)=14 （2）当AE=3时，则平行四边形的周长=2(3+5)=16,分类讨论思想,考点四 本章解题思想方法,平行四边形的性质与判定中要是出现角平分线，常与等腰三角形的性质和判定结合起来考查，当边指向不明时需要分类讨论
15、，常见的的模型如下：,例9 如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求： （1）FC的长； （2）EF的长,方程思想,解：（1）由题意得AF=AD=10cm， 在RtABF中，AB=8， BF=6cm， FC=BC-BF=10-6=4cm （2）由题意可得EF=DE，可设DE的长为x， 在RtEFC中，(8-x)2+42=x2， 解得x=5， 即EF的长为5cm,例10 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，其交点为O，若BC=6，BC边上的高为4，试求阴影部分的面积,转化思想,解：四边形ABCD为平行四边形， OA=OC，OB=OD. ABCD， EAO=HCO. 又 AOECOH， AEOCHO（ASA）， 同理可得OAQOCG，OPDOFB， S阴影=SBCD， 则SBCD= S平行四边形ABCD= 64=12,E,H,Q,G,F,P,四边形,课堂小结,矩形,菱形,正 方 形,平行四边形,两组对边平行,一个角是直角,一组邻边相等,一组邻边相等,一个角是直角,一个角是直角且一组邻边相等,