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2019年春人教版八年级下数学《17.2.2勾股定理的逆定理的应用》课件

1、17.2 勾股定理的逆定理,第十七章 勾股定理,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 勾股定理的逆定理的应用,1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.(重点) 2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.(难点),导入新课,问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理 的知识有了一定的认识,你能说出它们的内容吗?,回顾与思考,a2+b2=c2 (a,b为直角边,c斜边),RtABC,C是直角,勾股定理,勾股定理的逆定理,a2+b2=c2 (a,b为较短边,c为最长边),RtABC,且C是直角.,(2)等腰 ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是

2、 cm.,8,(1)已知 ABC中,BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为 三角形, 是最大角.,直角,A,快速填一填:,思考 前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题,那么勾股定理的逆定理解决哪些实际问题呢?你能举举例吗?,在军事和航海上经常要确定方向和位置,从而常需要使用一些数学知识和方法,其中勾股定理的逆定理经常会被用到,这节课让我们一起来学习吧.,讲授新课,1,2,例1 如图,某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R

3、处,且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?,N,E,P,Q,R,问题1 认真审题,弄清已知是什么?要解决的 问题是什么?,1,2,N,E,P,Q,R,161.5=24,121.5=18,30,“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知,如图.,问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长,要求角,由此你联想到了什么?,实质是要求出两艘船航 向所成角.,勾股定理逆定理,解:根据题意得,PQ=161.5=24(海里),PR=121.5=18(海里),QR=30海里.,242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,QPR=90.,由“远航”号

4、沿东北方向航行可知1=45. 2=45,即“海天”号沿西北方向航行.,解决实际问题的步骤:构建几何模型(从整体到局部);标注有用信息,明确已知和所求;应用数学知识求解.,【变式题】 如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海,晚上10时28分,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近,便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向,经检测,AC=10海里,BC=8海里,AB=6海里,若该船只的速度为12.8海里/时,则可疑船只最早何时进入我领海?,分析:根据勾股定理的逆定可得ABC是直角三角形,然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD,

5、然后再利用勾股定理便可求CD.,解:AC=10,AB=6,BC=8, AC2=AB2+BC2, 即ABC是直角三角形. 设PQ与AC相交于点D,根据三 角形面积公式有 BCAB= ACBD, 即68=10BD,解得BD= 在RtBCD中,,又该船只的速度为12.8海里/时, 6.412.8=0.5(小时)=30(分钟), 需要30分钟进入我领海,即最早晚上10时58分进入我领海.,例2 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中A和DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?,D,A,B,C,4,3,5,13,12,D,A,B,C,图,图,在BCD中, BCD

6、是直角三角形,DBC是直角. 因此,这个零件符合要求.,解:在ABD中, ABD 是直角三角形,A是直角.,D,A,B,C,4,3,5,13,12,图,1.A、B、C三地的两两距离如图所示,A地在B地的正东方向,C在B地的什么方向?,解: BC2+AB2=52+122=169, AC2 =132=169, BC2+AB2=AC2, 即ABC是直角三角形, B=90. 答:C在B地的正北方向,练一练,2.如图,是一农民建房时挖地基的平面图,按标准应为长方形,他在挖完后测量了一下,发现ABDC8m,ADBC6m,AC9m,请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格?,解:ABDC8m,ADBC6m,

7、 AB2BC282626436100. 又AC29281, AB2BC2AC2, ABC90, 该农民挖的不合格,例3 如图,四边形ABCD中,B90,AB3,BC4,CD12,AD13,求四边形ABCD的面积.,解析:连接AC,把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度,再利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形.,解:连接AC.,在RtABC中,在ACD中, AC2+CD2=52+122=169=AD2, ACD是直角三角形, 且ACD=90. S四边形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.,四边形问题对角线是常用的辅助线,它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在

8、使用勾股定理的逆定理解决问题时,它与勾股定理是“黄金搭挡”,经常配套使用.,【变式题1】 如图,四边形ABCD中,ABAD,已知AD=3cm,AB=4cm,CD=12cm,BC=13cm,求四边形ABCD 的面积.,解:连接BD. 在RtABD中, 由勾股定理得 BD2=AB2+AD2, BD=5m. 又 CD=12cm,BC=13cm, BC2=CD2+BD2,BDC是直角三角形. S四边形ABCD=SRtBCDSRtABD= BDCD ABAD= (51234)=24 (cm2),C,B,A,D,【变式题2】 如图,在四边形ABCD中,ACDC,ADC的面积为30 cm2,DC12 cm,

9、AB3cm,BC4cm,求ABC的面积.,解: SACD=30 cm2,DC12 cm. AC=5 cm. 又 ABC是直角三角形, B是直角. ,例4 如图,ABC中,AB=AC,D是AC边上的一点,CD=1,BC 5 ,BD=2 (1)求证:BCD是直角三角形; (2)求ABC的面积,(1)证明:CD=1,BC 5 ,BD=2, CD2+BD2=BC2, BDC是直角三角形; (2)解:设腰长AB=AC=x, 在RtADB中,AB2=AD2+BD2, x2=(x-1)2+22, 解得,用到了方程的思想,1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示,超市在医院的南偏东25的方向,且到医院的距离

10、为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向.,65,当堂练习,2.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中摆放方法正确的是 ( ),A. B. C. D.,D,3.如图,某探险队的A组由驻地O点出发,以12km/h的速度前进,同时,B组也由驻地O出发,以9km/h的速度向另一个方向前进,2h后同时停下来,这时A,B两组相距30km此时,A,B两组行进的方向成直角吗?请说明理由.,解:出发2小时,A组行了122=24(km),B组行了92=18(km), 又A,B两组相距30km, 且有242+1

11、82=302, A,B两组行进的方向成直角,4.如图,在ABC中,AB=17,BC=16,BC边上的中线AD=15,试说明:AB=AC.,解:BC=16,AD是BC边上的中线, BD=CD= BC=8. 在ABD中, AD2+BD2=152+82=172=AB2, ABD是直角三角形,即ADB=90 ADC是直角三角形. 在RtADC中, AB=AC.,5.在寻找某坠毁飞机的过程中,两艘搜救艇接到消息,在海面上有疑似漂浮目标A、B于是,一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40的方向向目标A的前进,同时,另一艘搜救艇也从港口O出发,以12海里/时的速度向着目标B出发,1.5小

12、时后,他们同时分别到达目标A、B此时,他们相距30海里,请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度?,解:根据题意得OA=161.5=24(海里), OB=121.5=18(海里), OB2+OA2=242+182=900,AB2=302=900, OB2+OA2=AB2, AOB=90. 第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40的方向向目标A的前进, BOD=50, 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度,解:设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm, 周长为36cm,即AB+BC+AC=36cm, 3x+4x+5x=36,解得x=3. AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm. AB2+BC2=AC2, ABC是直角三角形, 过3秒时,BP=9-32=3(cm),BQ=12-13=9(cm), 在RtPBQ中,由勾股定理得,6.如图,在ABC中,AB:BC:CA=3:4:5且周长为36cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动,点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动,如果同时出发,则过3s时,求PQ的长,课堂小结,勾股定理的逆定理的应用,应用,航海问题,方法,认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题,与勾股定理结合解决不规则图形等问题,