1、18.1.2 平行四边形判定,第十八章 平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第3课时 三角形的中位线,1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线 定理.（重点） 2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.(重点）,问题 平行四边形的性质和判定有哪些？,导入新课,复习引入,边：,角：,对角线：,ABCD, ADBC,AB=CD, AD=BC,ABCD, AD=BC,BAD=BCD，ABC=ADC,AO=CO,DO=BO,判定,性质,我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧.,思考 如图
2、，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？,讲授新课,概念学习,定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.,如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为ABC的中位线.,问题1 一个三角形有几条中位线？你能在ABC中画出它所有的中位线吗？,A,B,C,D,E,F,有三条，如图，ABC的中位线是DE、DF、EF.,问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？,中位线是连接三角形两边中点的线段.,中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.,问题3：如图，DE是ABC的中位线， DE与BC有怎样的关系？,两条线段的关系,位置关系
3、,数量关系,分析：,DE与BC的关系,猜想：,DEBC,？,度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论,问题4：,平行,角,平行四边形,或,线段相等,一条线段是另一条线段的一半,倍长短线,分析1：,猜想： 三角形的中位线平行于三角形的 第三边且等于第三边的一半,问题3：如何证明你的猜想？,分析2：,互相平分,构造,平行四边形,倍长DE,证明：,延长DE到F，使EF=DE,连接AF、CF、DC ,AE=EC，DE=EF ，,四边形ADCF是平行四边形,F,四边形BCFD是平行四边形，,CF AD ,CF BD ,又 ，,DF BC , DEBC， ,如图，在ABC中，点D
4、,E分别是AB,AC边的中点， 求证：,证一证,证明：,延长DE到F，使EF=DE,F,四边形BCFD是平行四边形,ADECFE,ADE=F,连接FC,AED=CEF，AE=CE，,证法2：,，AD=CF,BD CF,又 ，,DF BC , DEBC， ,CF AD ,三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半,ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，则DEBC，DE= BC,三角形中位线定理：,符号语言：,归纳总结,F,重要发现：,中位线DE、EF、DF把ABC 分成四个全等的三角形；有三 组共边的平行四边形，它们是 四边形ADFE和BDEF，四边形 BFED和CFDE，四边形
5、ADFE 和DFCE.,顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.,由此你知道怎样分蛋糕了吗,典例精析,例1 如图，在ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分CAB，交DE于点F.若DF3，求AC的长,解：D、E分别为AC、BC的中点， DEAB， 23. 又AF平分CAB， 13， 12， ADDF3， AC2AD2DF6.,1,2,3,例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，ABD=20，BDC=70，求PMN的度数,解：M、N、P分别是AD、BC、BD的中点， PN
6、，PM分别是CDB与DAB的中位线， PM= AB，PN= DC，PMAB，PNDC， AB=CD， PM=PN， PMN是等腰三角形， PMAB，PNDC， MPD=ABD=20，BPN=BDC=70， MPN=MPD+(180NPB)=130， PMN=(180130) 2 =25,例3 如图，在ABC中，ABAC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BDAB，求证：CD2CE.,证明：取AC的中点F，连接BF. BDAB， BF为ADC的中位线，DC2BF. E为AB的中点，ABAC， BECF，ABCACB. BCCB，EBCFCB, CEBF， CD2CE.,F,恰当地构造三
7、角形中位线是解决线段倍分关系的关键,练一练,1. 如图，ABC中，D、E分别是AB、AC中点,（1） 若DE=5，则BC= ,（2） 若B=65，则ADE= ,（3） 若DE+BC=12，则BC= ,10,65,8,2.如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离为_m,N,M,40,例4 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点 求证：四边形EFGH是平行四边形,四边形问题,连接对角线,三角形问题,（三角形中位线定理）,分析：,证明:连接AC.,E,F,G,H分别
8、为各边的中点, EFHG, EF=HG.,EFAC,HGAC,四边形EFGH是平行四边形.,顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.,【变式题】如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点求证：四边形EFGH为平行四边形.,证明：如图，连接BD. E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点， EH是ABD的中位线，FG是BCD的中位线， EHBD且EH= BD，FGBD且FG= BD， EHFG且EH=FG， 四边形EFGH为平行四边形.,证明：D、E分别为AB、AC的中点， DE为ABC的中位线， DE BC，DE= BC. CF= BC， DE=FC；,例5 如图，等
9、边ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF= BC，连接CD和EF （1）求证：DE=CF；,例5 如图，等边ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF= BC，连接CD和EF （2）求EF的长,解：DEFC，DE=FC， 四边形DEFC是平行四边形， DC=EF， D为AB的中点，等边ABC的边长是2， AD=BD=1，CDAB，BC=2， EF=DC= ,练一练,1.如图，在ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 （ ）A.8 B.10 C.12 D.16,D,2.如图，A
10、BCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求DOE的周长,解：ABCD的周长为36， BC+CD=18 点E是CD的中点， OE是BCD的中位线，DE= CD， OE= BC， DOE的周长为OD+OE+DE=（BD+BC+CD）=15， 即DOE的周长为15,当堂练习,2.如图，在ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于 （ ） A.2 B.3 C.4 D.5,1.如图，在ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点若EF的长为2，则BC的长为 （ ） A.1 B.2 C.4 D.8,第2题图,第1题图,C,C,3.如图，点 D、E、F
11、 分别是 ABC 的三边AB、BC、 AC的中点. （1）若ADF=50，则B= ； （2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则 DEF的周长为 .,50,15,A,B,C,D,F,E,4.在ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 .,11,5.如图，在ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分BAC，BDAD于点D，BD的延长线交AC于 点F，E为BC的中点，求DE的长,解：AD平分BAC，BDAD， AB=AF=6，BD=DF， CF=AC-AF=4， BD=DF，E为BC的中点， DE= CF=2,
12、6.如图，E为ABCD中DC边的延长线上一点，且CEDC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论,解：ABOF，AB2OF. 证明如下：四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ABCD，OAOC， BAFCEF，ABFECF. CEDC， ABCE, ABFECF(ASA)， BFCF.OAOC， OF是ABC的中位线， ABOF，AB2OF.,7.如图，在四边形ABCD中，ACBD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长,解：取BC边的中点G，连接EG、FG E，F分别为AB，CD的中点， EG是ABC的中位线，FG是BCD的中位线，,又BD=12，AC=16，ACBD， EG=8，FG=6，EGFG， ,EGAC,FGBD,G,课堂小结,三角形的中位线,三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半,三角形的中位线定理,三角形的中位线定理的应用,