1、18.2.3 正方形,第十八章 平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 正方形的性质,1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（难点）,导入新课,观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.,情景引入,你还能举出其他的例子吗？,讲授新课,矩 形,问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？,问题引入,正方形,问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？,正方形,邻边相等,矩形,正方形,菱 形,一个角是直角,正方形,正方形定
2、义：,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.,归纳总结,已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.,A,B,C,D,证明：四边形ABCD是正方形.A=90, AB=AC （正方形的定义）. 又正方形是平行四边形.正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义).A=B =C =D = 90,AB= BC=CD=AD.,证一证,已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD.,A,B,C,D,O,证明：正方形ABCD是矩形, AO=BO=CO=DO.正方形ABCD是菱形.AC
3、BD.,思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考. 正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?,对称性： . 对称轴： .,轴对称图形,4条,A,B,C,D,矩形,菱形,正 方 形,平行四边形,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：,性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.,归纳总结,例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O.,求
4、证: ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形.,证明: 四边形ABCD是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都 是等腰直角三角形,并且 ABO BCO CDO DAO.,典例精析,例2 如图，在正方形ABCD中， BEC是等边三角形， 求证： EADEDA15 .,证明： BEC是等边三角形， BE=CE=BC,EBC=ECB=60， 四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD,ABC=DCB=90， AB=BE=CE=CD, ABE= DCE=30， ABE，DCE是等腰三角形， BAE= BEA= CDE= CE
5、D=75， EAD= EDA=90-75=15.,【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边ADE，求BEC的大小,解：当等边ADE在正方形ABCD外部时，如图，ABAE，BAE9060150. AEB15. 同理可得DEC15. BEC60151530；,当等边ADE在正方形ABCD内部时，如图， ABAE，BAE906030， AEB75. 同理可得DEC75. BEC360757560150. 综上所述，BEC的大小为30或150.,易错提醒：因为等边ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等本题分两种情况：等边ADE在正方形的外部或在正方形的内部,【变式题2】
6、 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD （1）求证：APBDPC；,解：四边形ABCD是正方形， ABC=DCB=90 PB=PC， PBC=PCB ABC-PBC=DCB-PCB， 即ABP=DCP 又AB=DC，PB=PC， APBDPC,证明：四边形ABCD是正方形， BAC=DAC=45 APBDPC， AP=DP 又AP=AB=AD， DP=AP=AD APD是等边三角形 DAP=60 PAC=DAP-DAC=15 BAP=BAC-PAC=30 BAP=2PAC,（2）求证：BAP=2PAC,例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PEB
7、C于E， PFDC于F.试说明：AP=EF.,解:,连接PC，AC.,又PEBC ， PFDC,四边形ABCD是正方形,FCE=90, AC垂直平分BD,四边形PECF是矩形,PC=EF.,AP=PC.,AP=EF.,在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.,1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等,B,D,练一练,3.如图，四边形
8、ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO2，求正方形的周长与面积,解：四边形ABCD是正方形， ACBD，OAOD2. 在RtAOD中，由勾股定理，得正方形的周长为4AD ，面积为AD28.,2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （ ） A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2,A,1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D对角线互相垂直且相等,A,当堂练习,3在正方形ABC中,ADB= ,DAC= , BOC= .4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则EBC的度数是 .,45
9、,90,22.5,第3题图,第4题图,45,5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分BAC，EFAC，求BE的长,解：四边形ABCD为正方形， B90，ACB45，ABBC1cm. EFAC，EFAEFC90. 又ECF45， EFC是等腰直角三角形，EFFC. BAEFAE，BEFA90，AEAE， ABEAFE， ABAF1cm，BEEF. FCBE. 在RtABC中， FCACAF( 1)cm， BE( 1)cm,6. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.,解：BE=DF,且BEDF.理由如下： 四边形ABCD是正方形. BC=DC,BCE =90 . DCF=180-BCE=90. BCE=DCF. 又CE=CF. BCEDCF. BE=DF.,A,B,D,C,F,E,延长BE交DE于点M, BCEDCF , CBE =CDF. DCF =90 , CDF +F =90, CBE+F=90 , BMF=90. BEDF.,A,B,D,F,E,C,M,课堂小结,1.四个角都是直角,2.四条边都相等,3.对角线相等且互相垂直平分,正方形的性质,性质,定义,有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.,