1、2019 年春人教版九年级下册数学第 27 章 相似单元测试题一选择题（共 10 小题）1已知 ，则 的值是（ ）A B C D2比例尺为 1：800 的学校地图上，某条路的长度约为 5cm，它的实际长度约为（ ）A400 cm B40m C200 cm D20 m3下列说法正确的是（ ）A每条线段有且仅有一个黄金分割点B黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的 0.618 倍C若点 C 把线段 AB 黄金分割，则 AC2AB BCD以上说法都不对4如图，DEFGBC，若 DB4FB ，则 EG 与 GC 的关系是（ ）AEG4GC BEG 3GC CEG GC DEG 2
2、GC5下列图形中，形状一定相同的两个图形是（ ）A两个直角三角形 B两个正三角形C两个矩形 D两个梯形6制作一块 3m2m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）A360 元 B720 元 C1080 元 D2160 元7已知ABCABC，如果它们的相似比为 2：3，那么它们的面积比是（ ）A3：2 B2：3 C4：9 D9：48如图，如果BADCAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABCADE 的是（ ）ABD BCAED C D 9如图，在ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC
3、交 BD 于点 F，那么 EF 与 CF 的比是（ ）A1：2 B1：3 C2：1 D3：110如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条边DF50 cm，EF30cm，测得边 DF 离地面的高度 AC1.5m，CD20m ，则树高 AB 为（ ）A12 m B13.5 m C15 m D16.5 m二填空题（共 8 小题）11已知 ，则 的值为 12如图，直线 l1、l 2、l 6 是一组等距离的平行线，过直线 l1 上的点 A 作两条射线 m、n，射线m 与直线 l3、l
4、 6 分别相交于 B、C，射线 n 与直线 l3、l 6 分别相交于点 D、E若 BD1，则 CE的长为 13已知 5a2b，则 a：b 14如图，线段 AE、BD 交于点 C，如果 AC9，CE 4，BC CD6，DE 3，那么 AB 15如图，ABC 中，EF BC ，S AEF ：S 四边形 BEFC1：2，则 EF：BC 16如图，AB90，AB7，AD2，BC3，在边 AB 上取点 P，使得PAD 与PBC相似，则满足条件的 AP 长 17如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1.5，0），D （4.5，0），ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心若 DE7.5 ，则 AB 18为
5、测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板 DEF 的斜边 DF与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上测得 DE0.5 米，EF0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG1.5 米，到旗杆的水平距离 DC20 米按此方法，请计算旗杆的高度为 米三解答题（共 8 小题）19已知 ，且 2x+3yz18，求 4x+y3z 的值20如图所示，在线段 AB 上有 C、D 两点，已知 AB7，AC1，且线段 CD 是线段 AC 和 BD 的比例中项，求线段 CD 的长21如图，在ABC 中，D 为 AC 边上一点，DBCA（1）求证：BDCABC；（2）若 B
6、C4，AC8，求 CD 的长22已知：如图，在ABC 中，ABAC ，点 E、F 在边 BC 上，EAFB求证：BFCE AB223如图，在ABC 中，BC3，D 为 AC 延长线上一点，AC 3CD，过点 D 作 DHAB，交 BC的延长线于点 H，求 CH 的长24如图，OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0）、A（3， 2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的 2 倍，得到对应点 D、E、F（1）在图中画出DEF；（2）点 E 是否在直线 OA 上？为什么？（3）OAB 与DEF 位似图形（填“是”或“不是”）25如图，在ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，连接
7、 DE，且ADEACB（1）求证：ADEACB；（2）如果 E 是 AC 的中点，AD 8，AB10，求 AE 的长26如图，在正方形 ABCD 中，AB4，P 是 BC 边上一动点（不与 B，C 重合），DEAP 于 E（1）试说明ADEPAB；（2）若 PAx，DEy ，请写出 y 与 x 之间的函数关系式2019 年春人教版九年级下册数学第 27 章 相似单元测试题参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1已知 ，则 的值是（ ）A B C D【分析】依据 ，可设 a13k，b5k，代入分式计算化简即可【解答】解： ，可设 a13k，b5k ， ，故选：D【点评】本题主要考查了比例的
8、性质，解题时注意：内项之积等于外项之积，解决问题的关键是利用设 k 法2比例尺为 1：800 的学校地图上，某条路的长度约为 5cm，它的实际长度约为（ ）A400 cm B40m C200 cm D20 m【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可【解答】解：设实际长度为 xcm，则： ，解得：x4000cm40m则它的实际长度为 40m故选：B【点评】本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换3下列说法正确的是（ ）A每条线段有且仅有一个黄金分割点B黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的 0.618 倍C若点
9、C 把线段 AB 黄金分割，则 AC2AB BCD以上说法都不对【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可【解答】解：A、每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B、黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的 0.618 倍，正确；C、若点 C 把线段 AB 黄金分割，则 AC2AB BC，不正确，有可能 BC2ABAC；故选：B【点评】此题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键4如图，DEFGBC，若 DB4FB ，则 EG 与 GC 的关系是（ ）AEG4GC BEG 3GC CEG GC DEG 2GC【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案【解答】解：
10、DEFGBC ，DB 4FB ， 故选：B【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键5下列图形中，形状一定相同的两个图形是（ ）A两个直角三角形 B两个正三角形C两个矩形 D两个梯形【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等，然后对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误；B、两个正三角形，对应角都是 60，相等，对应边一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；C、两个矩形，对应角对应相等，对应边不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个
11、梯形，对应角不一定对应相等，对应边也不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误故选：B【点评】本题考查了相似图形的定义，注意从对应角与对应边两方面考虑6制作一块 3m2m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）A360 元 B720 元 C1080 元 D2160 元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可【解答】解：3m2m6m 2，长方形广告牌的成本是 120620 元/m 2，将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，则
12、面积扩大为原来的 9 倍，扩大后长方形广告牌的面积9654m 2，扩大后长方形广告牌的成本是 54201080m 2，故选：C【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键7已知ABCABC，如果它们的相似比为 2：3，那么它们的面积比是（ ）A3：2 B2：3 C4：9 D9：4【分析】直接利用相似三角形的性质求解【解答】解：ABCABC，S ABC ：S A BC2 2：3 24：9故选：C【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方8如图，如果BADCAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABCADE 的是（ ）AB
13、D BCAED C D 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案【解答】解：BADCAE，DAEBAC，A，B，D 都可判定 ABC ADE选项 C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C【点评】此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似9如图，在ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，那么 EF 与 CF 的比是（ ）A1：2 B1：3 C2：1 D3：1【分析】根据平
14、行四边形的性质可以证明BEFDCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案【解答】解：由平行四边形的性质可知：ABCD，BEF DCF，点 E 是 AB 的中点， ，故选：A【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型10如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条边DF50cm，EF30cm ，测得边 DF 离地面的高度 AC1.5m，CD20m ，则树高 AB 为（ ）A12 m B13.5 m C15 m D16.5 m【分析】利
15、用直角三角形 DEF 和直角三角形 BCD 相似求得 BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高 AB【解答】解：DEFBCD90D DDEFDCB DF50cm 0.5m，EF30cm0.3m ，AC 1.5m ，CD 20m，由勾股定理求得 DE40cm， BC15 米，ABAC+BC1.5+1516.5 米，故选：D【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型二填空题（共 8 小题）11已知 ，则 的值为 【分析】依据 ，即可得到 1 ，进而得出 的值【解答】解： ， 1 ， ，故答案为： 【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外
16、项之积12如图，直线 l1、l 2、l 6 是一组等距离的平行线，过直线 l1 上的点 A 作两条射线 m、n，射线m 与直线 l3、l 6 分别相交于 B、C，射线 n 与直线 l3、l 6 分别相交于点 D、E若 BD1，则 CE的长为 【分析】由直线 l1、l 2、l 6 是一组等距的平行线，得到ABDACE，推出比例式求得结果【解答】解：l 3l 6，BDCE，ABDACE， ，BD1，CE 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟记定理是解题的关键13已知 5a2b，则 a：b 2：5 【分析】依据比例的性质进行变形即可【解答】解：5a2b，a：b
17、2：5故答案为：2：5【点评】本题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键14如图，线段 AE、BD 交于点 C，如果 AC9，CE 4，BC CD6，DE 3，那么 AB 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案【解答】解：AC9，CE4，BCCD6， ，ACBDCE，ACBDCE， ，DE ，故答案为：【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型15如图，ABC 中，EF BC ，S AEF ：S 四边形 BEFC1：2，则 EF：BC 【分析】由题意可得 SAEF ：S ABC 1：3，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
18、可求EF： BC 的比值【解答】解：S AEF ：S 四边形 BEFC1：2，S AEF ：S ABC 1：3，EFCBAEF ABC 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的面积与边长之间的关系，能够掌握并求解一些简单的计算问题16如图，AB90，AB7，AD2，BC3，在边 AB 上取点 P，使得PAD 与PBC相似，则满足条件的 AP 长 2.8 或 1 或 6 【分析】根据相似三角形的性质分情况讨论得出 AP 的长【解答】解：分两种情况：如果 PADPBC，则 PA：PBAD：BC2：3，又 PA+PBAB7，AP7252.8；如果 PADCBP，则 PA：BCAD：BP，即
19、 PAPB236，又PA+PBAB7，PA、PB 是一元二次方程 x27x+60 的两根，解得 x11，x 26，AP1 或 6综上，可知 AP2.8 或 1 或 6故答案为 2.8 或 1 或 6【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型17如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1.5，0），D （4.5，0），ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心若 DE7.5 ，则 AB 2.5 【分析】利用以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 得到位似比为 ，然后根据相似的性质计算 AB 的长【解答】解：A
20、（1.5，0），D （4.5，0）， ，ABC 与DEF 位似，原点 O 是位似中心， AB DE 7.52.5故答案为 2.5【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 18为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板 DEF 的斜边 DF与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上测得 DE0.5 米，EF0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG1.5 米，到旗杆的水平距离 DC20 米按此方法，请计算旗杆的高度为 11.5 米【分析】根据题意证出DEFDC
21、A，进而利用相似三角形的性质得出 AC 的长，即可得出答案【解答】解：由题意得：DEFDCA90，EDFCDA，DEFDCA，则 ，即 ，解得：AC10，故 ABAC+BC10+1.511.5（米），即旗杆的高度为 11.5 米；故答案为：11.5【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键三解答题（共 8 小题）19已知 ，且 2x+3yz18，求 4x+y3z 的值【分析】设 k，进而解答即可【解答】解：设 k，可得：x2k，y 3k，z4k，把 x2k，y3 k，z4k 代入 2x+3yz18 中，可得：4k+9k 4k18，解得：k2，所以 x4，y6
22、，z8，把 x4，y6，z8 代入 4x+y3z16+6 242【点评】此题考查比例的性质，关键是设 k 得出 k 的值20如图所示，在线段 AB 上有 C、D 两点，已知 AB7，AC1，且线段 CD 是线段 AC 和 BD 的比例中项，求线段 CD 的长【分析】根据题意列方程即可得到结论【解答】解：AB7，AC1，BDABAC CD 6CD，线段 CD 是线段 AC 和 BD 的比例中项，CD 2ACBD，即 CD21（6CD），解得：CD2【点评】本题考查了比例线段，一元二次方程的解法，正确的理解题意是解题的关键21如图，在ABC 中，D 为 AC 边上一点，DBCA（1）求证：BDCA
23、BC；（2）若 BC4，AC8，求 CD 的长【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案（2）根据相似三角形的性质即可求出 CD 的长度【解答】解：（1）DBCA，BCDACB，BDCABC；（2）BDCABC， ，BC4，AC8，CD2【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型22已知：如图，在ABC 中，ABAC ，点 E、F 在边 BC 上，EAFB求证：BFCE AB2【分析】利用两角对应成比例可得ABFECA ，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所求的乘积式【解答】证明：AECB+ BAEEAF+BAEBAF，又ABAC，BC，A
24、BF ECA，AB：CEBF：AC，BFECABACAB 2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质注意证得ABFECA 是解此题的关键23如图，在ABC 中，BC3，D 为 AC 延长线上一点，AC 3CD，过点 D 作 DHAB，交 BC的延长线于点 H，求 CH 的长【分析】根据相似三角形的判定得出两三角形相似，得出比例式，代入求出即可；【解答】解：DHAB，ABCDHC， ，BC3，AC3CD，CH1【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，能求出ABC DHC 是解此题的关键24如图，OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0）、A（3， 2）、B（2，0
25、），将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的 2 倍，得到对应点 D、E、F（1）在图中画出DEF；（2）点 E 是否在直线 OA 上？为什么？（3）OAB 与DEF 是 位似图形（填“是”或“不是”）【分析】（1）根据题意将各点坐标扩大 2 倍得出答案；（2）求出直线 OA 的解析式，进而判断 E 点是否在直线上；（3）利用位似图形的定义得出OAB 与DEF 的关系【解答】解：（1）如图所示：DEF，即为所求；（2）点 E 在直线 OA 上，理由：设直线 OA 的解析式为： ykx，将 A（3，2）代入得：23k，解得：k ，故直线 OA 的解析式为：y x，当 x6 时，y 64，故点 E 在直
26、线 OA 上；（3）OAB 与DEF 是位似图形故答案为：是【点评】此题主要考查了位似变换以及待定系数法求正比例函数解析式，正确把握位似图形的定义是解题关键25如图，在ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，连接 DE，且ADEACB（1）求证：ADEACB；（2）如果 E 是 AC 的中点，AD 8，AB10，求 AE 的长【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证（2）由于点 E 是 AC 的中点，设 AEx，根据相似三角形的性质可知 ，从而列出方程解出 x 的值【解答】解：（1）ADEACB，AA，ADEACB；（2）由（1）可知：ADEACB， ，点 E 是 AC 的中点，
27、设 AEx，AC2AE2 x，AD8，AB10， ，解得：x2 ，AE2 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型26如图，在正方形 ABCD 中，AB4，P 是 BC 边上一动点（不与 B，C 重合），DEAP 于 E（1）试说明ADEPAB；（2）若 PAx，DEy ，请写出 y 与 x 之间的函数关系式【分析】（1）根据正方形的性质以及 DEAP 即可判定ADE PAB （2）根据相似三角形的性质即可列出 y 与 x 之间的关系式，需要注意的是 x 的范围【解答】解：（1）四边形 ABCD 为正方形，BADABC90，EAD+BAP90，BAP+APB90，EADAPB，又DEAP，AEDB90，ADEPAB（2）由（1）知PABADE， ，y （4x 4 ）【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题型