1、定远重点中学 2019 届高三上学期期末考试数学（文科）试题本试卷分第卷和第卷两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。请在答题卷上作答。第 I 卷 （选择题 共 60 分） 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。) 1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 2.已知复数 ，若 ，则 的值为（ ）,zaiR2zaA. 1 B. C. D. 3133.设函数 ，则“函数 在 上存在零点” 是“ ”的（ 2loggxmxgx2,81,m）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分且必要条件 D.
2、既不充分也不必要条件4.过抛物线 （ ）的焦点 作斜率大于 的直线 交抛物线于 ， 两点2ypx0F0lAB（ 在 的上方） ，且 与准线交于点 ，若 ，则 （ ）ABlC4BFA. B. C. D. 5352325.设 ， 分别为椭圆 ： 与双曲线 ： 1FF1211(0)xyab2C的公共焦点，它们在第一象限内交于点 ， ，22(0,)xyabb M129F若椭圆的离心率 ，则双曲线 的离心率 的值为（ ）134e2C2eA. B. C. D. 92 3546.已知函数 ，若 的值域为 ，则实数 的取值范围是 214,1 logaxafxfxRa（ ）A. B. C. D. 1,2,0,2
3、2,7.已知 ，若曲线 上存在不同两点 ，使得曲线4201xfxafx,AB在点 处的切线垂直，则实数 的取值范围是（ ）,ABaA. B. C. D. 32,3,22,38.执行如图所示的程序框图，输出的 TA. 29 B. 44 C. 52 D. 629.已知等比数列 满足 ，则 的值为（ ）A. 2 B. 4 C. D. 610.定义行列式运算 ，将函数 的图像向左平移 个1212334aasin23co1xf单位，以下是所得函数图像的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. ,04,02,03,01211.在 中， 是边 的中点， 是 的中点，若 ，且 的面积为ABCPBCQBP6A
4、BC，则 的最小值为（ ）1QA. B. C. D. 232313312.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知实数 满足 ，则 的最大值为_,xy102 yx2zxy14.设函数 （ 是常数， ）.若 在区间sinfA,A0,Afx上具有单调性，且 ，则 的最小正周期为 .,62 236ffffx15.设正项等比数列 的前 项和为 ，则以 ， ， 为前三项的等差数列的第nanS13S48 项与第 4 项之比为_.16.平面四边形 中， ,沿直
5、线 将 翻折成 ，当三棱锥 的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是_三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 17.（本小题满分 10 分）已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，.（1）求角 ；（2）求 面积的最大值 .18. （本小题满分 12 分）如图，设双曲线 的上焦点为 ，上顶点为 ，点 为双曲线21:(0,)yxCabFAB虚轴的左端点，已知 的离心率为 ，且 的面积123AB312S（1）求双曲线 的方程；1（2）设抛物线 的顶点在坐标原点，焦点为 ，动直线 与 相切于点 ，与 的准2CFl2CP2C线相交于点 ，试推断以线段
6、 为直径的圆是否恒经过 轴上的某个定点 ？若是，QPQyM求出定点 的坐标；若不是，请说明理由.M19. （本小题满分 12 分）已知数列 前 项和为 ，且 .nanS21na（1）证明数列 是等比数列；（2）设 ，求数列 的前 项和 .21nnbnbnT20. （本小题满分 12 分）如图，椭圆 的离心率为 ，其左顶点 在圆 上.2:1(0)xyWab32A2:16Oxy（1）求椭圆 的方程；（2）直线 与椭圆 的另一个交点为 ，与圆 的另一APPO个交点为 .Q（）当 时，求直线 的斜率；82|5A（）是否存在直线 ，使 ？若存在，求出直线P|3Q的斜率；若不存在，说明理由.AP21. （
7、本小题满分 12 分）已知函数 .21ln(0)fxax（1）讨论 的单调性；（2）若 存在两个极值点 ，求证： .fx12,x123ln4fxf22. （本小题满分 12 分）如图，在几何体 中，四边形 是菱形， 平面 , ,且 .ABCDEFABCDBEACD/FBE2,3EF（1）证明：平面 平面 .（2）若 ，求几何体 的体积.1cos5文科数学试题答案1.C 2.D 3.B 4.A 5.B 6.A 7.A 8.A 9.B 10.B 11.A 12.B 13.-2 14. 15. 516.17.（1） （2）【解析】 （1）由 可得 故（2）由 ，由余弦定理可得 ，由基本不等式可得 ，
8、当且仅当 时， “=”成立从而 ，故 面积的最大值为 .18.（1） （2）以 为直径的圆恒经过 轴上的定点 .213yxPQy0,2M【解析】 （1）由已知 ，即 ，则 ，即 ，得3ca23ac243ac2243ab， ，3ab2又 ，则 ，得 .132c32b1b从而 ， ，所以双曲线 的方程为 .a21C23yx（2）由题设，抛物线 的方程为 ，准线方程为 ，228x2由 ，得 ，设点 ，则直线 的方程为 ，218yx14yx201,Pl 200184yxx即 ，联立 ，得 ，20148yx2y2016,xQ假设存在定点 满足题设条件，则 对任意点 恒成立，,MmMPP因为 ， ，则 ，
9、201,8Px2016,xm 22001618xxm即 对任意实数 恒成立，200所以 ，即 ，故以 为直径的圆恒经过 轴上的定点 .8m2PQy0,2M19.（1）数列 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列. （2） na123nT【解析】 （1）当 时， ，所以 ，11aS1a当 时， ，2nnnnaS所以 ，12n所以数列 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列. （2）由（1）知， ，1na所以 ，12nnb所以 （1）2353nnT（2）2121n n（1）-（2）得： 1212nnnTnn，32n所以 .23nnT20.（1） ；（2） （）1，-1；（）不存在直线 ，使得 64
10、xy AP|3Q【解析】 （1）因为椭圆 的左顶点 在圆 上，所以 ，WA2:16Oxy4a又离心率为 ，所以 ，所以 ，3232cea3c所以 ，所以 的方程为 .4bac2164xy（2） （）设点 ，显然直线 存在斜率，12(,)(,)PxyQAP设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立得 ，A(4)k2(4)16ykx化简得到 ，222(14)3610x因为-4 为上面方程的一个根，所以 ，213(4)kx所以 ，2146kx由 ，2182|(4)|5APx代入得到 ，解得 ，所以直线 的斜率为 1，-1.2|k1kAP（）圆心到直线 的距离为 ， ，AP2|4d22268|6Qdk因为 ，
11、|1QQ代入得到 ，222 28| 143114PQkkAk显然， ，所以不存在直线 ，使得 23kAP|3Q21.解析：（1） ，21(0)axfxa 若 ，所以 在 上单调递增；2,0,4aff,若 ，解 ，得 ，或 ，102xa1402ax142ax解 ，得 ，2xa4此时 在 上单调递减.f11,2a在 上单调递增，在 上单调递增.40,4,2a综上，当 时， 在 上单调递增， 1afx0,当 时， 在 上单调递减，在 上单调04f141,2a140,2a递增，在 上单调递增.1,2a（2）由（2）知 时， 存在两个极值点 ，104fx12,x且 是方程 的两根，所以 ，所以1,x2xa12a 22211 11212lnlnlnffxaxxax，lna令 ，1ln(0),ln024gxxgx所以 在 上单调递减，所以 ，,4 132ln4g所以 123lnfxf22.解析：（1）证明：四边形 是菱形，ABCDACBD 平面 BEACDE 平面 F平面 平面 B（2）设 与 的交点为 ， ，AO(0)ABa由（1）得 平面 ，CEFD 平面 ，BE ， ，/DFB ，22 8E2 ，13BEFDSD四 边 形 ，5cosA22 285ABADcosBa ，a ，223OB3O .26ACDEFAEFDBEFDVSA四 边 形