1、2018 年秋四川省棠湖高三期末考试数学（理）试题第 I 卷（选择题 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.集合 ，Z 为整数集，则 中元素的个数是|2AxAZ（A）3 （B）4 （C）5 （D）62. 设 i 为虚数单位，则 的展开式中含 x4 的项为6()xi（A）15x 4 （B ）15x 4 （C ）20i x 4 （D）20i x 43. 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点sin(2)3ysn2y（A）向左平行移动 个单位长度 （B）向右平行移动 个单位长度3（C）向左平行移动
2、 个单位长度 （D）向右平行移动 个单位长度6 64.投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.3125.用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有（A）144 个 （ B）120 个 （C）96 个 （D）72 个6.设四边形 ABCD 为平行四边形， 6A， 4.若点 M，N 满足 3BC，2DNC，则 MN（A）20 （B）15 （C）9 （D）67.若 ，则 3cos()
3、45sin2（A） （B） （C） （D）7215157258.已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于2(0,)xyabbA，B 两点. 设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的1d2126d方程为 (A) (B) (C) (D) 214xy214xy239xy2193xy9已知函数 若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围e0()lnxf， ， ， ()gxfa是(A) 1，0） (B)0，+） (C)1， +） (D) 1，+）10.已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时， ；当 时， ；当3()fxx()(fxf
4、时， .则 f(6)= （ ）2x1()2ff（A）2 （B）1 （C）0 （D）211已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（A） （B） （C） （D）34233243212.已知直线 是曲线 与曲线 的一条公切线， 与曲线 切于点 ，lxyexyelxye,ab且 是函数 的零点，则 的解析式可能为aff（A） （B）2(ln1)xe2(ln1)2xfe（C ） （D）f第 II 卷（非选择题 90 分）二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. = .12cossin214.若 满足约束条件 ，错误！未找
5、到引用源。则 错误！未找到引用源。的最大,xy04xy yx值为 .15.若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ykxbln2yxln(1)yb16.在底面是正方形的四棱锥 中， 底面 ，点 为棱 的中点，点 在棱PABCDABCDEPBF上，平面 与 交于点 ， 且 ， ，则四棱锥 的外接球ADCEFK32FKACD的表面积为 三.解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 . sincos()6AaB（I）求角 B 的大小；（II）设 a=2，c=3
6、 ，求 b 和 的值.sin(2)18.（本小题满分 12 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为1,24（）设 X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X的分布列和数学期望；（）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率19.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 是平行四边， ，PABCDPABCDA45ABC， ， 是 中点，点 在线段 上.2AD2EFPB（）证明： ；（）试确定点 的位置，使直线 与平面 所成角和直FFPC线 与平面 所成角相等.EABCD20.
7、（本小题 12 分）已知抛物线 C：y 2=2px 过点 P(1，1).过点(0， 12)作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B ，其中 O 为原点.（）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证： A 为线段 BM 的中点.21.（本小题 12 分）已知函数 的两个极值点 满足 ，且 ，其中 为自然对数()4lnafxx12,x12x23ee的底数.（）求实数 的取值范围；（）求 的取值范围.21()fxf（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
8、分。22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建xOy1C|2ykxx立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .22cos30（1）求 的直角坐标方程；2C（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程.1 1C23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 ， 为不等式 的解集1()|2fxxM()2fx（）求 ；M（）证明：当 时， ,ab|1|ab2018 年秋四川省棠湖中学高三期末考试数学（理）试题答案1.C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.C 7.D 8.C 9.C 10.D 11.A 12.B 13
9、. 14.3 15. 16.231ln24862517.（）解：在ABC 中，由正弦定理 ，可得 ，又由siiabABsiniAaB，得 ，即 ，可得 又因为sincos()6bAaBsinco()6aBsco()6tn3，可得 B= (0)， 3（）解：在ABC 中，由余弦定理及 a=2，c =3，B = ，有 ，故322cos7baBb= 7由 ，可得 因为 ac，故 因此sincos()6AaB3sin7A2os7A， 43i2i721cos所以， sin()sin2inABAB433721418.（）随机变量 X的所有可能取值为 0，1，2，31(0)()(34P， 11)()()22
10、342342，1()(1(X，34P所以，随机变量 的分布列为 X0 1 2 3P42414随机变量 X的数学期望113()02442EX（）设 Y表示第 1 辆车遇到红灯的个数， Z表示第 2 辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 ()(0,)(1,0)()1PZZPYPYZ114248Y所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为14819.解：（1） 中 ， ；PAD 22PD90ADPA连 ， 中ACB cos4CBCB ，22平面 中， 平面 PAPA（2）由（1）： ，又侧面 底面DBCD于 ， 底面 ，以 为原点， 延长线、 、 分别为 、 、 轴建系；ADBCAPxyz ，
11、， , ， ，(0)(20)(20)(0)，(10)E(2)， ， ， ，PCPD2PB设 ， （ ） ，则FB01(2)F，(22)(12EL，设平面 的一个法向量 ，则 ，可得PCD()mxyz， 0mPCD(1)，又平面 的一个法向量AB(01)n，由题： ，即coscosEFEF， 23EF解得： （注： 时，解得 ）32BP1220.（）由抛物线 C： 2ypx过点 P(1，1) ，得 p.所以抛物线 C 的方程为 2yx.抛物线 C 的焦点坐标为( 14，0)，准线方程为 14x.因为 211212yxyxx1212()()kxkx121()()kx2()4kkx0，所以 21y.
12、 故 A 为线段 BM 的中点.21.解：（） ，224()axafx由题意知 即为方程 的两个根.12， 0由韦达定理： ，整理得 .124xa 212441xx又 在 上单调递增， .2yx,3e26,)5ea（） ，212()ffax2114ln4lnxx ， ，12x212()aff 222lla221()8lnaxx由（）知 ，代入得 ，241xa2218()xfxf221()8lnx2(1)8lnx令 ，于是可得 ，2(,9)te4lntht故 264)(1htt22(1)()0tt 在 上单调递减，t,9e .212316()(8ln,)5fxfe22 （1）由 ， 得 的直角坐
13、标方程为 cossiy2C2(1)4xy（2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆2C(1,0)A由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射1,Byy1ly线为 由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且2l21C2 1l2C与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点Cl21l2C当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故1l2A1l 2|1k或 43k0经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个1l2C43k1l2C2lC公共点当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故2lCA2l22|1k或 0k43经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点1l2C43k2lC综上，所求 的方程为 1C4|23yx23.（I2,()1,2,.xfx当 时，由 得 解得 ；1x()f2,x1当 时， ；2()f当 时，由 得 解得 .1x()2fx,1x所以 的解集 .()f|M（II）由（I）知，当 时， ，,ab1,1ab从而 ，22222()(1)()0a因此 |.