1、安徽六校教育研究会 2019 届高三第二次联考数学试题（理）考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集 UR，集合 ， ，则集合 ( )3Ax6BxUABCA B C D36x336x2某工
2、厂生产的 A，B，C 三种不同型号的产品数量之比为 235，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的 A，B，C 三种产品中抽出样本容量为 n 的样本，若样本中 A 型产品有 10 件，则 n 的值为( )A15 B25 C50 D603若复数 z 满足 zi1i ，则 z 的共轭复数是( )A1i B1i C1i D1i4若 ，那么 的值为( )5sn()4cos)4A B C D 22555设 则( )0.21413,log65abcA B C Dbacabac6一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为 r 的圆，若该几何体的体积为 ，则它的表面积是( )98A B
3、2C D45547若执行如图所示的程序框图，输入 ，则123,2xx输出的数等于（ ）A 13B 2C D8已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，2(0)ypx(5,)t6分别为抛物线与圆 上的动点，则 的最小值为（ ）PQ、 261yPQA B C D1252519已知函数 在区间 内没有极值点，则()3sinco3cos(0)fxxx,的取值范围为（ ）A B C D51,2410,251,2451,2410某地举办科技博览会，有 个场馆，现将 个志愿者名额分配给这 个场馆，要求每个场3 3馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种A B C D22527628411定义在
4、 上的奇函数 ，当 时， 则关于 的函数R()fx012,()log()0,1xfx的所有零点之和为（ ）()01FxfaA B C D122aa12设 的内角 所对边的长分别为 ，则下列命题正确的是（ ）C,A,bc（1）若 ，则 ； （2） 若 ，则 ；22abc23C（3）若 ，则 ； （4） 若 ，则 ；33()a2（5）若 ，则 .222ca3CA （1） （2） （3） B （1） （2） （5） C （1） （3） （4） D （1） （3） （5）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 a(2，m) ， b(1，2)，若 ab，则 b 在向量
5、上的投影为_ cab14若实数 x，y 满足约束条件 则 zln yln x 的最小值是_04xy15已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 过 ，且与双21(0,)ab12F、 MN2F曲线右支交于 两点，若 ， ，则双曲线的两条渐近MN、 112coscosFMN1线的倾斜角分别为 和 . 16三棱锥 中，底面 满足 ， ，点 在底面 的射影为PABCBACPABC的中点，且该三棱锥的体积为 ，当其外接球的表面积最小时， 到底面 的距离为 .196三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题
6、，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17(本小题满分 12 分) 已知 是各项均为正数的等比数列，且 ，等差na1232+=aa,数列 的前 项和为 ，且 .nbnS34516bS,（）求数列 、 的通项公式；na（）如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 有 点 、 、 ,1(,0)P2(,)a(,0)nP1()n、 ，若记 的面积为 ,求数列 的前 项和 .1(,)Q2(,)(,)nQa1nQcnT18.（ 本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 所 示 ， 直 三 棱 柱ABC-ABC的 侧 棱 长 为 4， AB BC， 且 AB BC 4， 点 D，E 分别
7、是棱 AB，BC 上的动点，且ADBE .（）求证：无论 D 在何处，总有 BCC D；（）当三棱锥 B-DBE 的体积取最大值时，求二面角 D-BE-A的余弦值19. （本小题满分 12 分）为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的 600 名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：支付方式 微信 支付宝 购物卡 现金人数 200 150 150 100现 有 甲 、 乙 、 丙 三 人 将 进 入 该 超 市 购 物 ， 各 人 支 付 方 式 相 互 独 立 ， 假 设 以 频 率 近 似 代 替 概 率 .（）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；（）记 X 为三
8、人中使用支付宝支付的人数，求 X 的分布列及数学期望.20(本小题满分 12 分) 已知椭圆 : 的左、右焦点分别为 ，离心C21(0)xyab12,F率为 ，直线 ： 与椭圆交于 ，四边形 的面积为 .2l2yx,MN12F43（）求 的方程；C（）作与 平行的直线与椭圆交于 两点，且线段 的中点为 ，若 的斜率分l ,ABABP12,F别为 ，求 的取值范围.12,k12k21(本小题满分 12 分) 已知函数 ， .2()1xfe2()10()xgaeaR（）求曲线 在 处的切线方程；(yfx1,（）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.0ga（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22
9、、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，以直角坐标系的原点为极点， 轴正32cos1inxy x半轴为极轴建立极坐标系.（）求曲线 C 的极坐标方程；（）若直线 的极坐标方程为 ，求曲线 C 上的点到直线 的最大距离.l 1si2cosl23选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分）已知函数 ， .()2fxmxn,0,（）若 恒成立，求 的最小值；1（）若 ，求不等式 的解集.,3n()5f安 徽 六 校 教 育 研 究 会 2019 届 高 三 第 二 次 联 考数 学
10、 试题答案（理）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C B D B C B D C A A D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 14. ln3 15. 16. 1022,3319三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.解：(1)设数列 公比为 ,由已知 ,由题意得：得 ，又 ，解得 ，则 3 分设数列 的公差为 ，由题意得：解得 ，则 6 分(
11、2)由(1)有 = ， ，故 8 分+ 1 2- 得- 1 2=故 12 分18.根据题意，以 B 为原点，以 BC，BA，BB所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 B(0，0，0) ， A(0，4，0)， A(0，4，4) ，C (4，0，0)，C(4，0，4)，B(0，0，4)(1)证明：设 D(0，a，0) ，则 E(4a，0，0)，得 (4，0，4)， (4，a，4)，BC 故 0，有 ，即总有 BCC D. 4 分BC BC (2) 当且仅当 a2 时，取等号，此时 D (0，2，0)，E(2 ，0，0) 6 分则 ,设面 DBE 的法向量为 ,由
12、可取同理可得面 ABE 的一个法向量 10 分由易得二面角 D-BE-A的余弦值为 。 12 分19.解：(1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为 ，设 Y 为三人中使用微信支付的人数，Z 为使用现金支付的人数，事件 A 为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数” ，则 P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1 且 Z=0)= 6 分(2)由题意可知 ,故所求分布列为 X 0 1 2 3P10 分E(X)= 12 分20. 解：由（1） 可得 21yxab24aby， 2 分2cea2e2,abc，带入得243b328，椭圆方程为 5 分1a21xy（2）设
13、直线 的方程为AB(0)m由 ，得21yxm2298x，得 ， 7 分22643()029m3,0,设 ,则120(,),AxyBPxy21218,9mxx004,99m（ ） 10 分20122008116yxykxm216012 分128,7k21. 解：(1) , ()12xxfe(1)2fe,所求切线方程为 4 分(1)f21yexe(2)令 2()()10()hxfgxaax()1()xeaee 当 时， ， 时， ； 时，00xln2x(hln()0hx在 上是减函数，在 上是增函数，()hx,ln2,2)(ln)lln80aa，即 7 分(l(l40a4 当 时， 在 上是增函数
14、，在 上是减函数，在 上是增函02()hx,l2aln2,数，要使 ，()则 ，解得 9 分(ln0)h0ln2a 当 时， ， 在 上是增函数，l2a()hx()0,，成立 10 分()9ln0h 当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数，()x,ln2ln2,a,a要使 ，()则 ，解得 0()hall10a综上，实数 的取值范围为 12 分ln24,l22. 解：(1)由 ，消去 ，得3cos1ixy22314xy将 代入得 ，sin22ssin化简得 5 分26co2i6(2) 由 ，得 ，即1sin2cossin2cos1210xy圆心 到直线 的距离3,C0xy365d所以 C 上点到直线的最大距离为 10 分652dr23.（1） 2 22nnnxmnxxmxm， 的最小值为 5 分,n2（2）当 时， ，得 ，2x235x43xx当 时， ,得 ，300当 时， ，得 ，2xx2x综上，不等式解集为 10 分,02,