1、2019 届高三年级第一次模拟考试数学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)参考公式：锥体体积公式：V Sh，其中 S 为底面积，h 为高13圆锥侧面积公式：Srl，其中 r 为底面半径，l 为母线长一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1. 已知集合 A0，1，2，集合 B1，0，2，3 ，则 AB_2. 函数 f(x) 的定义域为_lg（3 x）3. 从 1，2，3，4，5 这 5 个数中，随机抽取 2 个不同的数，则这 2 个数的和为6 的概率是_4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的 i 的值为_5. 已知一个圆锥的底面积为 ，侧面积为 2，则该圆锥的
2、体积为 _6. 抛物线 y28x 的焦点到双曲线 1 渐近线的距离为_x216 y297. 设 Sn 是等比数列a n的前 n 项的和，若 ，则 _a6a3 12 S6S38. 已知函数 f(x) 2 x，则满足 f(x25x)f(6)0 的实数 x 的取值范围是_12x9. 若 2cos 2sin ， ，则 sin 2_(4 ) (2，)10. 已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，D ，E 分别是边 AB，BC 的中点，连结 DE 并延长到点 F，使得 DE3EF，则 的值为_AF BC 11. 已知等差数列a n的公差为 d(d0)，前 n 项和为 Sn，且数列 也为公差为 d 的等
3、差Sn n数列，则 d_12. 已知 x0，y0 ，xy ，则 xy 的最小值为_1x 4y13. 已知圆 O： x2y 21，圆 M：(xa) 2(y 2) 22.若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得 PAPB，则实数 a 的取值范围为_14. 设函数 f(x)ax 3bx 2cx(a，b，cR，a0) 若不等式 xf(x)af (x)2 对一切 xR 恒成立，则 的取值范围为_b ca二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a
4、，b，c ，且 ccos Bbcos C3acos B.(1) 求 cos B 的值；(2) 若| |2，ABC 的面积为 2 ，求边 b.CA CB 216. (本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是矩形，VD 平面 ABCD，过 AD 的平面分别与VB，VC 交于点 M，N.(1) 求证：BC平面 VCD；(2) 求证：ADMN.17. (本小题满分 14 分)某房地产商建有三栋楼宇 A，B，C，三楼宇间的距离都为 2 千米，拟准备在此三楼宇围成的区域 ABC 外建第四栋楼宇 D，规划要求楼宇 D 对楼宇 B，C 的视角为 120，如图所示，假设楼宇大小高
5、度忽略不计(1) 求四栋楼宇围成的四边形区域 ABDC 面积的最大值；(2) 当楼宇 D 与楼宇 B，C 间距离相等时，拟在楼宇 A， B 间建休息亭 E，在休息亭 E 和楼宇A，D 间分别铺设鹅卵石路 EA 和防腐木路 ED，如图已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元/千米，a 为常数) 记BDE，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值18. (本小题满分 16 分)已知椭圆 C： 1(ab0)的长轴长为 4，两准线间距离为 4 .设 A 为椭圆 C 的左顶x2a2 y2b2 2点，直线 l 过点 D(1，0) ，且与椭圆 C 相交于 E，F 两点(1) 求椭圆 C 的
6、方程；(2) 若AEF 的面积为 ，求直线 l 的方程；10(3) 已知直线 AE，AF 分别交直线 x3 于点 M，N ，线段 MN 的中点为 Q，设直线 l 和 QD 的斜率分别为 k(k0)，k.求证：kk为定值19. (本小题满分 16 分)设数列a n是各项均为正数的等比数列， a12，a 2a464，数列b n满足：对任意的正整数n，都有 a1b1 a1b2a nbn(n 1)2 n1 2.(1) 分别求数列a n与b n的通项公式；(2) 若不等式 0)恒成立，求实数 m 的取值范围.2019 届高三年级第一次模拟考试(二)数学附加题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)
7、21. (本小题满分 10 分)求函数 y3cos 的图象在 x 处的切线方程(2x 3) 51222. (本小题满分 10 分)已知定点 A(2，0) ，点 B 是圆 x2y 28x120 上一动点，求 AB 中点 M 的轨迹方程. 23. (本小题满分 10 分)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 ABAC，AB2，AC4，AA 13，D 是 BC 的中点(1) 求直线 DC1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值；(2) 求二面角 B1DC1A1 的余弦值24. (本小题满分 10 分)已知 x，y 为整数，且 xy0， ，n 为正整数，cos ，sin ，记(0，2) x2 y2x
8、2 y2 2xyx2 y2An(x 2y 2)ncos n，B n(x 2y 2)nsin n.(1) 试用 x，y 分别表示 A1， B1；(2) 用数学归纳法证明：对一切正整数 n，A n 均为整数2019 届高三年级第一次模拟考试(二)(镇江)数学参考答案1. 0，2 2. x|x2 3. 4. 8 5. 6. 7. 8. (2，3) 9. 10. 11. 12. 3 13. 15 33 65 12 78 13 122，2 14. 16， )15. (1) 由正弦定理 ，(1 分)asin A bsin B csin C且 ccos Bbcos C 3a cos B，得 sin Ccos
9、 Bsin Bcos C3sin Acos B，(3 分)则 3sin Acos Bsin(BC) sin (A)sin A，(5 分)又 A(0， )，则 sin A0，(6 分)则 cos B .(7 分)13(2) 因为 B(0，)，则 sin B0，sin B .(9 分)1 cos2B1 (13)2 223因为| | |c 2， (10 分)CA CB BA 又 S acsin B a2 2 ，12 12 223 2解得 a3.(12 分)由余弦定理得，b 2a 2c 22accos B94232 9，则 b3.(14 分)13故边 b 的值为 3.16. (1) 在四棱锥 VABC
10、D 中，因为 VD平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 VDBC.(3 分)因为底面 ABCD 是矩形，所以 BCCD.(4 分)又 CD平面 VCD，VD平面 VCD，CDVDD，则 BC平面 VCD.(7 分)(2) 因为底面 ABCD 是矩形，所以 ADBC，(8 分)又 AD平面 VBC，BC 平面 VBC，则 AD平面 VBC，(11 分)又平面 ADNM平面 VBC MN，AD平面 ADNM，则 ADMN.(14 分)17. (1) 因为三楼宇间的距离都为 2 千米，所以 ABAC BC2，(1 分)因为楼宇 D 对楼宇 B，C 的视角为 120，所以BDC120，(2 分)在
11、BDC 中，因为 BC2BD 2DC 22BDDCcos BDC，(3 分)所以 22BD 2CD 22BDCDcos 120oBD 2CD 2BDCD2BDCDBDCD3BDCD，则 BDCD ，(4 分)43当且仅当 BDCD 时等号成立，此时DBCDCB 30，BDCD .1cos 30 233区域最大面积 SS ABC S BCD 22sin 60 BDCDsin 120 (平方千米)(7 分)12 12 433(或者：因为直角三角形ABD，ACD 全等，区域最大面积 SS ABD S ACD 2S ABD 2 ABBD (平方千米)(7 分)12 433(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木
12、路的总费用为 y 元，在 RtBDE 中，由(1) 知，BDE ，(8 分)(0，3)则 DE ， BE tan ，AEABBE2 tan ，(9 分)233cos 233 233所以 y2aEDaAE2a a 2a， .(10 分)(233cos ) (2 233tan ) 23a3 (2 sin cos ) (0，3)记 f() ，令 f() 0，2 sin cos 1 2sin cos2解得 .(11 分)6 (0，3)当 时， f()0，函数 f()为增函数(6，3)所以当 时，f()取最小值，6此时 ymin4a( 元)(12 分)答：(1)四栋楼宇围成的四边形区域 ABDC 面积的
13、最大值为 平方千米；433(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为 4a 元(14 分)18. (1)由长轴长 2a4，准线间距离 2 4 ，a2c 2解得 a2，c ，(2 分)2则 b2a 2c 22，即椭圆方程为 1.(4 分)x24 y22(2) 若直线 l 的斜率不存在，则 EF ，6AEF 的面积 S ADEF 不合题意；(5 分)12 362若直线 l 的斜率存在，设直线 l：yk(x1) ，代入得，(12k 2)x24k 2x2k 240，因为点 D(1，0)在椭圆内，所以 0 恒成立设点 E(x1，y 1)，F(x 2，y 2)，则 x1，2 ，(6 分)4k2223
14、k2 22（1 2k2）EF |x1x 2| .(7 分)（x1 x2）2 （y1 y2）2 1 k2 1 k2223k2 21 2k2点 A 到直线 l 的距离 d 为 ，(8 分)3|k|1 k2则AEF 的面积 S dEF ，(9 分)12 12 3|k|1 k2 1 k2223k2 21 2k2 323k4 2k21 2k2 10解得 k1.综上，直线 l 的方程为 xy 10 或 xy10.(10 分)(3)设直线 AE： y (x2)，y1x1 2令 x3，得点 M ，(3，5y1x1 2)同理可得点 N ，(3，5y2x2 2)所以点 Q 的坐标为 .(12 分)(3， 5y12
15、（x1 2） 5y22（x2 2）)所以直线 QD 的斜率为 k ，(13 分)54( y1x1 2 y2x2 2)而 y1x1 2 y2x2 2 k（x1 1）x1 2 k（x2 1）x2 2k .(14 分)(2x1x2 x1 x2 4x1x2 2（x1 x2） 4)由(2)中得，x 1x 2 ，x 1x2 ，代入上式得， (15 分)4k21 2k2 2k2 41 2k2 k y1x1 2 y2x2 2 4k2 8 4k2 4（1 2k2）2k2 4 8k2 4 8k2 . 12k18k2 23k则 k ，56k所以 kk 为定值(16 分 )5619. (1) 设等比数列a n的公比为
16、 q(q0)，因为 a12，a 2a4a 1qa1q364，解得 q2，则 an2 n.(1 分)当 n1 时，a 1b12，则 b11，(2 分)当 n2 时，a 1b1a 2b2a nbn(n 1)2 n1 2，a1b1a 2b2a n1 bn1 (n2)2 n2，由得，a nbnn2 n，则 bnn.综上，b nn.(4 分)(2)不等式 0，(1 12)(1 14) (1 12n)当 0 时，不等式显然成立；(5 分)当 0 时，则不等式等价于 f(2)f(3)f(n)，所以 f(n)maxf(1) ，1 32则 02019，(12 分)又因为 2 0191 0659544772，(1
17、4 分)所以当 m9(22 22 8)477996 时，T m2 019.即存在 m996，使得 Tm2 019.(16 分)20. 当 a1，b1 时，f(x)ln xx，(1 分)则 f(x) 1，则 f(1) 10.(3 分)1x 11又 f(1) 1，则所求切线方程为 y1.(4 分)(2) 当 a1 时，f(x)ln xbx，则 f(x) b ，(5 分)1x 1 bxx由题意知，函数的定义域为(0，) ，若 b0，则 f(x)0 恒成立，则函数 f(x)的增区间为 (0，)；(6 分)若 b0，则由 f(x)0，得 x ，1b当 x 时， f(x)0，则函数 f(x)的单调增区间为
18、 ；(7 分)(0，1b) (0，1b)当 x 时，f(x)0 时，函数 f(x)的单调增区间为 ，单调减区间为 .(0，1b) (1b， )(3) 因为 x1，x 2 分别是方程 aln xx0 的两个根，即 aln x1x 1，aln x 2x 2.两式相减 a(ln x2ln x 1)x 2x 1，则 a ，(9 分)x2 x1lnx2x1则不等式 a0)，可变为 0 ，ln t0 ，所以 ln t 0 在 t(1，) 上恒成立，(11 分 )t 11 m mt令 k(t)ln t ，则 k(t) ，t 11 m mt （t 1）m2t （m 1）2t（1 m mt）2 m2（t 1）t
19、 （m 1）2m2 t（1 m mt）2当 1，即 m 时，（m 1）2m2 12k(t)0 在 (1，)上恒成立，则 k(x)在(1 ， )上单调递增，又 k(1)0，则 k(t)0 在(1， )上恒成立；(13 分)当 1，即 0m 时，（1 m）2m2 12当 t 时，k(t)0 ，(1，（1 m）2m2 )则 k(x)在 上单调递减，(1，（1 m）2m2 )则 k(x)k(1) 0，不符合题意 (15 分)综上，m .(16 分)1221. 因为 y3cos ，(2x 3)所以 y6sin ，(4 分 )(2x 3)所以函数图象在 x 处的切线斜率 k6sin 6.(6 分)512
20、(56 3)当 x 时，y 3cos 0，(7 分)512 (56 3)所以所求切线方程为 y06 ，(x 512)即 y6x .(10 分)5222. 设点 M(x，y)，点 B(x0，y 0)因为 M 为 AB 的中点，所以 x ，y ，(4 分)x0 22 y0 02所以 x02x2，y 02y.(6 分 )将点 B(x0，y 0)代入圆 x2y 2 8x120 得(2x 2) 24y 24，化简得(x1) 2y 21.即点 M 的轨迹方程为(x1) 2y 21.(10 分)23. (1) 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，有 ABAC，AA 1AB，AA 1AC，故可以 ， ， 为正
21、交基底，建立如图所示的空间直角坐标系(1 分)AB AC AA1 因为 AB2，AC4，AA 13，所以 A(0，0， 0)，B(2，0，0)，C(0，4，0) ，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3) 因为 D 是 BC 的中点，所以 D(1，2，0)所以 (1，2，3)DC1 设 n1(x 1，y 1，z 1)为平面 A1B1D 的法向量，因为 (2 ，0，0)， (1，2，3) ，A1B1 B1D 所以 即A1B1 n1 0，B1D n1 0，) 2x1 0， x1 2y1 3z1 0，)令 y13，则 x10，z 12，所以平面 A1B1D 的一个法向量为 n
22、1(0 ，3，2)(3 分)设直线 DC1 与平面 A1B1D 所成的角为 ，则 sin |cos ，n 1| ，DC1 121314 618291所以直线 DC1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值为 .(5 分)618291(2) 由(1)知 (1，2，3)， (2，4，0) ，DC1 B1C1 设 n2(x 2，y 2，z 2)为平面 B1DC1 的法向量，则 即DC1 n2 0，B1C1 n2 0，) x2 2y2 3z2 0， 2x2 4y2 0， )令 x22，则 y21，z 20，所以平面 B1DC1 的一个法向量为 n2(2，1，0) (7 分)同理可以求得平面 A1DC1 的
23、一个法向量 n3(3 ，0，1)，所以 cosn2， n3 ，(9 分)6105 325由图可知二面角 B1DC1A1 的余弦值为 .(10 分)32524. (1) A1(x 2y 2)cos (x 2y 2) x 2y 2，(1 分)x2 y2x2 y2B1(x 2y 2)sin (x 2y 2) 2xy.(2 分)2xyx2 y2(2) 当 n1 时，由(1) 得 A1x 2y 2，B 12xy.因为 x，y 为整数，所以 A1，B 1 均为整数，所以结论成立；(4 分)当 nk(k2，kN *)时，假设 Ak，B k均为整数，则当 nk1 时，A k1 (x 2y 2)k1 cos (k1) (x 2 y2)(x2y 2)k(cos kcos sin ksin )(x 2 y2)cos (x2y 2)kcos k (x 2y 2)ksin k(x2y 2)sin A 1AkB 1Bk.(9 分)因为 A1，B 1，均为整数，所以 Ak1 也为整数，即当 nk1 时，结论也成立综合得，对一切正整数 n，A n均为整数(10 分)