1、第二十八章 锐角三角函数一、选择题 1.在 ABC中，若tan A1，sin B ，你认为最确切的判断是( )A ABC是等腰三角形B ABC是等腰直角三角形C ABC是直角三角形D ABC是一般锐角三角形2.在 ABC中， A， B都是锐角，且cos A ，sin B ，则 ABC是( )A 直角三角形B 钝角三角形C 锐角三角形D 不能确定3.如图，若锐角 ABC内接于 O，点 D在 O外(与点 C在 AB同侧)，则下列三个结论：sin Csin D；cos Ccos D；tan Ctan D中，正确的结论为( )A B C D 4.如图，小明为测量一条河流的宽度，他在河岸边相距80 m的
2、 P和 Q两点分别测定对岸一棵树 R的位置， R在 Q的正南方向，在 P东偏南36的方向，则河宽( )A 80tan 36B 80tan 54CD 80tan 545.在Rt ABC中， C90， AB2 BC，现给出下列结论：sin A ；cos B ；tan A ；tan B ，其中正确的有( )A B C D 二、填空题 6.在 ABC中，若|cos A |(1tan B)20，则 ABC的形状是_7. ABC中， AB AC5， BC8，那么sin B_.8.如图，某山坡 AB的坡角 BAC30，则该山坡 AB的坡度为_9.在 ABC中， C90，sin A ， BC12，那么 AC_
3、.10.在Rt ABC中， C90， AB2 BC，现给出下列结论：sin A ；cos B ；tan A；tan B ，其中正确的结论是_(只需填上正确结论的序号)三、解答题 11.对于钝角 ，定义它的三角函数值如下：sin sin (180 )，cos cos (180 )；若一个三角形的三个内角的比是114， A， B是这个三角形的两个顶点，sin A，cosB是方程4 x2 mx10的两个不相等的实数根，求 m的值及 A和 B的大小12.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米， CB DB，坡面 AC的倾斜角为45，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面 DC的坡度为 i 3.若
4、新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角( A点处)6米的一棵树是否需要移栽？(参考数据： 1.414， 1.732)13.若 ， 为直角三角形的两个锐角，若cos ，求sin 的值14.如图， ABC中， B60， C75， AC3 ，求 AB的长15.如图，港口 B位于港口 A的南偏东37方向，灯塔 C恰好在 AB的中点处，一艘海轮位于港口 A的正南方向，港口 B的正西方向的 D处，它沿正北方向航行5 km到达 E处，测得灯塔 C在北偏东45方向上，这时， E处距离港口 A有多远？(参考数据：sin 370.60，cos 370.80，tan 370.75)16.在Rt ABC中， C90
5、， A30， a5，解这个直角三角形17.已知三角函数值，求锐角(精确到1)(1)已知sin 0.501 8，求锐角 ；(2)已知tan 5，求锐角 .18.如图，长方形广告牌架在楼房顶部，已知 CD2 m，经测量得到 CAH37， DBH60， AB10 m，求 GH的长(参考数据：tan 370.75， 1.732，结果精确到0.1 m)答案解析1.【答案】B【解析】tan A1，sin B ， A45， B45.又三角形内角和为180， C90. ABC是等腰直角三角形故选B.2.【答案】B【解析】由 A， B都是锐角，且cos A ，sin B ，得A B30， C180 A B180
6、3030120，故选B.3.【答案】D【解析】如图，连接 BE，根据圆周角定理，可得 C AEB， AEB D DBE， AEB D， C D，根据锐角三角形函数的增减性，可得，sin Csin D，故正确；cos Ccos D，故错误；tan Ctan D，故正确，故选D.4.【答案】A【解析】 R在 P东偏南36的方向， QPR36，tan 36 ， PQ80， QRtan 36PQ80tan 36，故选A.5.【答案】D【解析】 C90， AB2 BC， AC BC，sin A ；cos B ；tan A ；tan B ，正确的有，故选D.6.【答案】锐角三角形【解析】由题意得：cos
7、A 0,1tan B0，解得cos A ，tan B1， A60， B45. C180604575. ABC是锐角三角形7.【答案】【解析】过 A作 AD BC于 D， AB AC5， BC8， ADB90， BD BC4，由勾股定理得 AD 3，sin B .8.【答案】【解析】根据坡度等于坡角的正切值即可得到结果根据题意，得该山坡 AB的坡度为tan 30 .9.【答案】5【解析】在 ABC中， C90，sin A ， BC12， AB13， AC 5.10.【答案】【解析】如图所示：在Rt ABC中， C90， AB2 BC，sin A ，故错误； A30， B60，cos Bcos 6
8、0 ，故正确； A30，tan Atan 30 ，故正确； B60，tan Btan 60 ，故正确故答案为.11.【答案】解 三角形的三个内角的比是114，三个内角分别为30，30，120，当 A30， B120时，方程的两根为 ， ，将 代入方程，得4 2 m 10，解得 m0，经检验 是方程4 x210的根， m0符合题意；当 A120， B30时，两根为 ， ，不符合题意；当 A30， B30时，两根为 ， ，将 代入方程得：4( )2 m 10，解得 m0，经检验 不是方程4 x210的根综上所述： m0， A30， B120.【解析】分三种情况进行分析：当 A30， B120时；当
9、 A120， B30时；当 A30， B30时，根据题意分别求出 m的值即可12.【答案】解 不需要移栽，理由： CB AB， CAB45， ABC为等腰直角三角形， AB BC5米，在Rt BCD中，新坡面 DC的坡度为 i 3，即 CDB30， DC2 BC10米， BD BC5 米， AD BD AB(5 5)米3.66米，23.665.666，不需要移栽【解析】根据题意得到三角形 ABC为等腰直角三角形，求出 AB的长，在直角三角形 BCD中，根据新坡面的坡度求出 BDC的度数为30，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出 DC的长，再利用勾股定理求出 DB的长，由 DB AB求出
10、 AD的长，然后将 AD2与6进行比较，若大于则需要移栽，反之不需要移栽13.【答案】解 ， 为直角三角形的两个锐角，sin cos (90 )cos .【解析】根据互余两角三角函数的关系进行解答14.【答案】解 过点 C作 CD AB于点 D， B60， C75， A45，在 ADC中， AC3 ，sin A ， ADsin 453 3 CD，在 BDC中， DCB30，tan BCD ， BDtan 303 ， AB 3.【解析】过点 C作 CD AB于点 D，先根据三角形内角和定理计算出 A45，在Rt ADC中，利用 A的正弦可计算出 CD，进而求得 AD，然后在Rt BDC中，利用
11、B的余切可计算出 BD，进而就可求得 AB.15.【答案】解 如图作 CH AD于 H.设 CH xkm，在Rt ACH中， A37，tan 37 ， AH ，在Rt CEH中， CEH45， CH EH x， CH AD， BD AD， CH BD， ， AC CB， AH HD， x5， x 15， AE AH HE 1535 km， E处距离港口 A有35 km.【解析】如图作 CH AD于 H.设 CH xkm，在Rt ACH中，可得 AH ，在Rt CEH中，可得 CH EH x，由 CH BD，推出 ，由 AC CB，推出 AH HD，可得 x5，求出 x即可解决问题16.【答案】
12、解 在Rt ABC中， B90 A60，tan B ， b atanB5tan 605 ，由勾股定理，得 c 10.【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt ABC中， C90则 A90 B60，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素17.【答案】解 (1)sin 0.501 8， 30.119 1. a3079；(2)tan 5， 78.690 0784124.【解析】利用计算器进行计算即可，然后将结果化为度分秒的形式即可18.【答案】解 延长 CD交 AH于点 E，如图所示：根据题意得 CE AH，设 DE xm，则 CE( x2)m，在Rt AEC和Rt BED中，tan 37 ，tan 60 ， AE ， BE ， AE BE AB， 10，即 10，解得 x5.8， DE5.8 m， GH CE CD DE2 m5.8 m7.8 m.答： GH的长为7.8 m.【解析】首先构造直角三角形，设 DE xm，则 CE( x2)m，由三角函数得出 AE和 BE，由 AE BEAB得出方程，解方程求出 DE，即可得出 GH的长