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2019年1月北京市丰台区高三数学理科期末试卷及答案

1、丰台区 20182019 学年度第一学期期末练习 高三数学(理科) 2019.01第一部分 (选择题 共 40 分) 一、 选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1已知集合 , ,那么1,023A|2Bx AB(A) , (B) 1,02(C) 1,023(D) |x 2若复数 的实部与虚部互为相反数,则实数(i)aa(A)3 (B) 13(C) 13(D) 33执行如图所示的程序框图,输出的 的值为S(A) 4(B) 45(C) 56(D) 674已知等差数列 中, , .na132a若 ,则数列 的前 5 项和等于2nbb(A)

2、30 (B)45(C)90 (D)1865某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的棱中,最长的棱的长度为(A)2 (B) 5(C) (D) 231主主主主主2 22 2主k=1, S0+k(1) 4k=+1主主S6设 , 是非零向量,则“ ”是“ ”的abab2Aab(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件7一种画双曲线的工具如图所示,长杆 通过 处的铰O链与固定好的短杆 连接,取一条定长的细绳,一端固定OA在点 ,另一端固定在点 ,套上铅笔(如图所示).作图B时,使铅笔紧贴长杆 ,拉紧绳子,移动笔尖 (长杆M绕 转动) ,画出的曲线即为双曲线

3、的一部分.若B, ,细绳长为 8,则所得双曲线的离心率|10OA|2为(A) 65(B) 54(C) 32(D) 528如图,在棱长为 2 的正方体 中, 分1ADB,EFG别是棱 的中点, 是底面 内一动点,若直线1,CP与平面 不存在公共点,则三角形 的面积的最小值1DPEFG1为(A) 2(B)1(C) (D) 2第二部分(非选择题 共 110 分)二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。9在极坐标系中,圆 C: 的圆心到点 的距离为_sin(1,0)10 展开式中 的系数为_5(21)x2x11能够说明“设 是任意非零实数若 ,则 ”是假命题的一组整数 的,abbaa,a

4、b值依次为_ 12若 满足 则 的最大值为_,xy1,20,y 2zxy1 C1B1A1 GFDCBAEPMOBA13动点 在圆 上沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周.已知时间 时,(,)Axy21y 0t点 的坐标是 ,则当 时,动点 的纵坐标 关于 (单位:秒)的3(,)06t Ayt函数的值域为_ 14已知函数3,()2.xaf 若 ,则函数 的零点有_个;0a()f 若存在实数 ,使得函数 总有三个不同的零点,则实数 的取值范围m()yfxma是_ 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15 (本小题 13 分)在 中,角 的对边分别为 ,

5、, , .ABC , ,abc32b1cos3B()求 的值;c()求 的面积.16 (本小题 14 分)如图,在四棱锥 中,底面 为正方形,PABCDB侧棱 底面 , 为棱 的中点, PAQPA()求证: ;()求直线 与平面 所成角的正弦值;CA()求二面角 的余弦值QDQADCBP17 (本小题 13 分)2018 年 11 月 5 日上午,首届中国国际进口博览会拉开大幕,这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为 7 个展区,每个展区统计了备受关注百分比,如下表:展区类型 智能及高 端装备 消费电子 及家电 汽车 服装

6、服饰及日用消费品 食品及农产品 医疗器械及 医药保健 服务贸易展区的企业数 (家)400 60 70 650 1670 300 450备受关注百分比 25 20 10 23 18 8 24备受关注百分比指:一个展区中受到所有相关人士关注(简称备受关注)的企业数与该展区的企业数的比值()从企业产品展 7 个展区的企业中随机选取 1 家,求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率;()从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中,任选 2 家接受记者采访.(i)记 为这 2 家企业中来自于 “消费电子及家电”展区的企业数,求随机变量 的X X分

7、布列;(ii)假设表格中 7 个展区的备受关注百分比均提升 10 .记 为这 2 家企业中来自于Y“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量 的均值 和 的大小.(只,X()E(需写出结论)18 (本小题 14 分)已知椭圆 C: 的右焦点为 ,离心率为 ,直线21(0)xyab(1,0)F12:(4)lykx与椭圆 C 交于不同两点 ,直线 分别交 轴于 两点.(0)k,MN,y,AB()求椭圆 C 的方程;()求证: .|FAB19 (本小题 13 分)设函数 ()sincos,02fxax()当 时,求证: ;1()f()如果 恒成立,求实数 的最小值()0fx a20 (本小题 1

8、3 分)将 阶数阵 记作 (其中,当且仅当 时,mn12112,nmmna ijmna,isjt).如果对于任意的 ,当 时,都有 ,那么称数阵ijsta3,i 12j12ijija具有性质 .ijmnA()写出一个具有性质 的数阵 ,满足以下三个条件: ,数列34ija 14是公差为 2 的等差数列,数列 是公比为 的等比数列;1na1m2()将一个具有性质 A 的数阵 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,ijna形成一个新的 阶数阵,记作数阵 .试判断数阵 是否具有性质 A,并说mnijmbijmnb明理由.丰台区 20182019 学年度第一学期期末练习高三数学(理科)参考答案

9、及评分参考201901一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D B C D A D C二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分)9 10 11 满足 且 即可2400ba,bZ121 13 142; 且1,21三、解答题(共 6 小题,共 80 分)15.(共 13 分)解:()在 中,因为 , , ,ABC3a2b1cos3B由余弦定理 , .2 分22bc可得 , .4 分30c所以 ,或 (舍) .6 分1()因为 ,cos,(0,)3B所以 .2sin1cs3所以

10、 的面积 . .13 分ABC12sin332SacB16.(共 14 分)解:()因为 P底面 D, 底面 ABCD,所以 CA,正方形 B中 ,又因为 , 所以 平面 ,因为 AQ平面 PD,所以 C .4 分()正方形 B中 A,侧棱 P底面 ABCD.如图建立空间直角坐标系 ,不妨设 2.Oxyz依题意,则 ,(0,)(2,0)(,)(0,1)CQ所以 ,A,P.设平面 AQ的法向量 nzyx, 因为 ,0Cn所以 02zyx.令 1x,得 z,即 n1,, 所以 , cos,3|CPAn所以直线 与平面 Q所成角的正弦值为 31; 11 分()由()知 D平面 PA,所以 0,2D为

11、平面 PAD的法向量,因为 , 且二面角 QC为锐角,cos, 3|Cnz yx QA DCBP所以二面角 DAQC的余弦值为 3 14 分17 (共 13 分)解:()7 个展区企业数共 400+60+70+650+1670+300+450=3600 家,其中备受关注的智能及高端装备企业共 4025%10家,设从各展区随机选 1 家企业,这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件 A,所以 0()36PA. 4 分()消费电子及家电备受关注的企业有 6021家,医疗器械及医药保健备受关注的企业有 384家,共 36 家.X的可能取值为 0,1,2.436()5CP;12436();2136()

12、05CPX;所以随机变量 的分布列为:0 1 2X4156310511 分() ()EY 13 分18.(共 14 分)解:()由题意得 解得 221.cab, , 3.ab,所以椭圆 C 的方程为 5 分14xy()设 .1212,()MyNx且由 得 24,1.3ykx22236410kxk依题意 ,即 .222=4214k则8 分2123,64.kx因为 12MFNykx124x121258kx2212643584kkx .0所以直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补,即 .MFNFOFAB因为 ,所以 . 14 分OAB|B19 (共 13 分)解:()因为 ,所以 . 1a()sinco

13、s,fxx()sinfx当 时, 恒成立,0,2x()0f所以 在区间 上单调递增, ()f,2所以 . . .5 分x()因为 ,()sincos,02fax所以 . ()1cosinfxax当 时,由()知, 对 恒成立; ()0f ,2x当 时,因为 ,所以 .1a0,2xf因此 在区间 上单调递增,()f,所以 对 恒成立; 0x 0,2x当 时,令 ,则 ,1a()gf()2)sincosgxax因为 ,所以 恒成立,0,2x0x因此 在区间 上单调递增, ()g,且 ,01()2ag,所以存在唯一 使得 ,即 .0,x0()x0()fx所以任意 时, ,所以 在 上单调递减.0(,

14、)f,所以 ,不合题意. . .12 分fxf综上可知, 的最小值为 1. . .13 分a20 (共 13 分)解:() (答案不唯一). . .4 分4,68102357,9()数阵 具有性质 A.ijmnb只需证明,对于任意的 ,都有 ,其中 .1,23,in (1)ijijb,23,1jn下面用反证明法证明:假设存在 ,则 都大于 ,即在第 列中,至(1)pqb(1)(2),pqmqb (1)pq少有 个数大于 ,且 .1mp(1)pqb(1)()12(1)(1)pqpqqqbb根据题意,对于每一个 ,都至少存在一个(),2t tia,使得 ,即在第 列中,至少有 个数小于(,23,)ti (1)tiqtap.(1)pqb所以,第 列中至少有 个数,这与第 列中只有 个数矛盾.mpqm所以假设不成立.所以数阵 具有性质 A. . .13 分ijnb(若用其他方法解题,请酌情给分)(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)