1、丰台区 20182019 学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 2019.01第一部分 （选择题 共 40 分） 一、 选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合 ， ，那么1,023A|2Bx AB（A） , （B） 1,02（C） 1,023（D） |x 2若复数 的实部与虚部互为相反数，则实数(i)aa（A）3 （B） 13（C） 13（D） 33执行如图所示的程序框图，输出的 的值为S（A） 4（B） 45（C） 56（D） 674已知等差数列 中， ， .na132a若 ，则数列 的前 5 项和等于2nbb（A）
2、30 （B）45（C）90 （D）1865某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（A）2 （B） 5（C） （D） 231主主主主主2 22 2主k=1, S0+k(1) 4k=+1主主S6设 ， 是非零向量，则“ ”是“ ”的abab2Aab（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7一种画双曲线的工具如图所示，长杆 通过 处的铰O链与固定好的短杆 连接，取一条定长的细绳，一端固定OA在点 ，另一端固定在点 ，套上铅笔（如图所示）.作图B时，使铅笔紧贴长杆 ，拉紧绳子，移动笔尖 （长杆M绕 转动） ，画出的曲线即为双曲线
3、的一部分.若B， ，细绳长为 8，则所得双曲线的离心率|10OA|2为（A） 65（B） 54（C） 32（D） 528如图，在棱长为 2 的正方体 中， 分1ADB,EFG别是棱 的中点， 是底面 内一动点，若直线1,CP与平面 不存在公共点，则三角形 的面积的最小值1DPEFG1为（A） 2（B）1（C） （D） 2第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9在极坐标系中，圆 C： 的圆心到点 的距离为_sin(1,0)10 展开式中 的系数为_5(21)x2x11能够说明“设 是任意非零实数若 ，则 ”是假命题的一组整数 的,abbaa,a
4、b值依次为_ 12若 满足 则 的最大值为_,xy1,20,y 2zxy1 C1B1A1 GFDCBAEPMOBA13动点 在圆 上沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周.已知时间 时，(,)Axy21y 0t点 的坐标是 ，则当 时，动点 的纵坐标 关于 （单位：秒）的3(,)06t Ayt函数的值域为_ 14已知函数3,()2.xaf 若 ，则函数 的零点有_个；0a()f 若存在实数 ，使得函数 总有三个不同的零点，则实数 的取值范围m()yfxma是_ 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15 （本小题 13 分）在 中，角 的对边分别为 ，
5、， ， .ABC , ,abc32b1cos3B（）求 的值；c（）求 的面积.16 （本小题 14 分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，PABCDB侧棱 底面 ， 为棱 的中点， PAQPA（）求证： ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值；CA（）求二面角 的余弦值QDQADCBP17 （本小题 13 分）2018 年 11 月 5 日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为 7 个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：展区类型 智能及高 端装备 消费电子 及家电 汽车 服装
6、服饰及日用消费品 食品及农产品 医疗器械及 医药保健 服务贸易展区的企业数 (家)400 60 70 650 1670 300 450备受关注百分比 25 20 10 23 18 8 24备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值（）从企业产品展 7 个展区的企业中随机选取 1 家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选 2 家接受记者采访.（i）记 为这 2 家企业中来自于 “消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量 的X X分
7、布列；（ii）假设表格中 7 个展区的备受关注百分比均提升 10 .记 为这 2 家企业中来自于Y“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量 的均值 和 的大小.（只,X()E(需写出结论）18 （本小题 14 分）已知椭圆 C: 的右焦点为 ，离心率为 ，直线21(0)xyab(1,0)F12:(4)lykx与椭圆 C 交于不同两点 ，直线 分别交 轴于 两点.(0)k,MN,y,AB（）求椭圆 C 的方程；（）求证： .|FAB19 （本小题 13 分）设函数 ()sincos,02fxax（）当 时，求证： ；1()f（）如果 恒成立，求实数 的最小值()0fx a20 （本小题 1
8、3 分）将 阶数阵 记作 （其中，当且仅当 时，mn12112,nmmna ijmna,isjt）.如果对于任意的 ，当 时，都有 ，那么称数阵ijsta3,i 12j12ijija具有性质 .ijmnA（）写出一个具有性质 的数阵 ，满足以下三个条件： ，数列34ija 14是公差为 2 的等差数列，数列 是公比为 的等比数列；1na1m2（）将一个具有性质 A 的数阵 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，ijna形成一个新的 阶数阵，记作数阵 .试判断数阵 是否具有性质 A，并说mnijmbijmnb明理由.丰台区 20182019 学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案
9、及评分参考201901一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D B C D A D C二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分）9 10 11 满足 且 即可2400ba,bZ121 13 142； 且1,21三、解答题（共 6 小题，共 80 分）15.（共 13 分）解：（）在 中，因为 ， ， ，ABC3a2b1cos3B由余弦定理 ， .2 分22bc可得 ， .4 分30c所以 ，或 （舍） .6 分1（）因为 ，cos,(0,)3B所以 .2sin1cs3所以
10、 的面积 . .13 分ABC12sin332SacB16.（共 14 分）解：（）因为 P底面 D， 底面 ABCD，所以 CA，正方形 B中 ，又因为 ， 所以 平面 ，因为 AQ平面 PD，所以 C .4 分（）正方形 B中 A，侧棱 P底面 ABCD.如图建立空间直角坐标系 ，不妨设 2.Oxyz依题意，则 ，(0,)(2,0)(,)(0,1)CQ所以 ,A,P.设平面 AQ的法向量 nzyx， 因为 ，0Cn所以 02zyx.令 1x，得 z，即 n1,， 所以 ， cos,3|CPAn所以直线 与平面 Q所成角的正弦值为 31； 11 分（）由（）知 D平面 PA，所以 0,2D为
11、平面 PAD的法向量，因为 ， 且二面角 QC为锐角，cos, 3|Cnz yx QA DCBP所以二面角 DAQC的余弦值为 3 14 分17 （共 13 分）解：（）7 个展区企业数共 400+60+70+650+1670+300+450=3600 家，其中备受关注的智能及高端装备企业共 4025%10家，设从各展区随机选 1 家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件 A,所以 0()36PA. 4 分（）消费电子及家电备受关注的企业有 6021家，医疗器械及医药保健备受关注的企业有 384家，共 36 家.X的可能取值为 0，1，2.436()5CP；12436()；2136()
12、05CPX；所以随机变量 的分布列为：0 1 2X4156310511 分（） ()EY 13 分18.（共 14 分）解：（）由题意得 解得 221.cab， ， 3.ab，所以椭圆 C 的方程为 5 分14xy（）设 .1212,()MyNx且由 得 24,1.3ykx22236410kxk依题意 ，即 .222=4214k则8 分2123,64.kx因为 12MFNykx124x121258kx2212643584kkx .0所以直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补，即 .MFNFOFAB因为 ，所以 . 14 分OAB|B19 （共 13 分）解：（）因为 ，所以 . 1a()sinco
13、s,fxx()sinfx当 时， 恒成立，0,2x()0f所以 在区间 上单调递增， ()f,2所以 . . .5 分x（）因为 ，()sincos,02fax所以 . ()1cosinfxax当 时，由（）知， 对 恒成立； ()0f ,2x当 时，因为 ，所以 .1a0,2xf因此 在区间 上单调递增，()f,所以 对 恒成立； 0x 0,2x当 时，令 ，则 ，1a()gf()2)sincosgxax因为 ，所以 恒成立，0,2x0x因此 在区间 上单调递增， ()g,且 ，01()2ag，所以存在唯一 使得 ，即 .0,x0()x0()fx所以任意 时， ，所以 在 上单调递减.0(,
14、)f,所以 ，不合题意. . .12 分fxf综上可知， 的最小值为 1. . .13 分a20 （共 13 分）解：（） （答案不唯一）. . .4 分4,68102357,9（）数阵 具有性质 A.ijmnb只需证明，对于任意的 ，都有 ，其中 .1,23,in (1)ijijb,23,1jn下面用反证明法证明：假设存在 ，则 都大于 ，即在第 列中，至(1)pqb(1)(2),pqmqb (1)pq少有 个数大于 ，且 .1mp(1)pqb(1)()12(1)(1)pqpqqqbb根据题意，对于每一个 ，都至少存在一个(),2t tia，使得 ，即在第 列中，至少有 个数小于(,23,)ti (1)tiqtap.(1)pqb所以，第 列中至少有 个数，这与第 列中只有 个数矛盾.mpqm所以假设不成立.所以数阵 具有性质 A. . .13 分ijnb（若用其他方法解题，请酌情给分）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）